Группировки в статистике

=Σx/Σx/y

Логическая формула исчисления численности студентов в группе равна – число студентов на факультетах делим на число групп.

 

=(325+245+390+560)/(325/25+245/35+390/30+560/28)=28, 679 29 человек

3. Средний балл в сессию ( ) в целом по учебному заведению определим, применив среднюю арифметическую взвешенную

=Σp* x_i/Σ x_i= (4, 2*325+4,3*245+4,5*390+3,9*560)/(325+245+390+560)=4, 18

4. Число вечеров отдыха за семестр в среднем проведенных каждым факультетом ( ) определим по формуле простой средней арифметической

=Σq/n=(3+5+2+3)/4=3,25 или 3

5. Средний процент отличников на факультете ( ) определим по формуле средней арифметической взвешенной, если абсолютное значение весов заменим процентом, представляющим удельный вес отличников на факультете.

=Σz*x/Σx=(325*28%+245*35%+390*25%+560*20%)/(325+245+390+560)=25, 41%

3 Задача: Имеются следующие данные о производстве яиц на одной из птицефабрик области:

Годы	Производство яиц, млн. штук
1983	56.2
1984	61.2
1985	64.5
1986	65.8
1987	67.8
1988	69.0
1989	71.5
1990	73.4
1991	72.1
1992	70.8
1993	70.6
1994	69.3
1995	65.4
1996	65.8
1997	68.4

Проанализируйте динамику производства яиц на птицефабрике. С этой целью:

1. Определите вид динамического  ряда;

2. Определите аналитические показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста и прироста (ценные и базисные), абсолютное содержание 1% прироста. Результаты расчетов оформите в таблице. Покажите взаимосвязь ценных и базисных показателей;

3. Определите динамические средние за период: средний уровень ряда, среднегодовой темп роста и прироста;

4. Для определения общей  тенденции изменения объема производства  яиц проведите аналитическое  выравнивание и выразите общую  тенденцию соответствующим математическим  уравнением;

5. Определите выровненные  (теоретические) уровни ряда динамики  и нанесите их на график  с фактическими данными;

6. Предполагая, что выявленная  тенденция сохранится в будущем,  определите ожидаемый объем производства  яиц на птицефабрике на ближайшие  5-7 лет.

Сделайте выводы.

Решение:

Представлен интервальный динамический ряд, характеризующий состояние  явлений за определенные интервалы (периоды) времени. Интервал здесь годичный.

Годы	Производство яиц, млн. шт. (y)	Абсолютный прирост		Темп роста,%		Темп прироста		Абсолютное содержание 1% прироста
		цепной	базисный	цепной Tр ц	базисный Тр б	цепной Тпр ц	базисный Тпр б
1983	56.2	-	-	-	100	-	-	-
1984	61.2	5	5	108,9	108,9	8,9	8,9	0, 5618
1985	64.5	3,3	8,3	105,4	114,8	5,4	14,8	0,6111
1986	65.8	1,3	9,6	102	117,1	2	17,1	0,6520
1987	67.8	2	11,6	103	120,6	3	20,6	0,6666
1988	69.0	1,2	12,8	101,8	122,8	1,8	22,8	0,6666
1989	71.5	2,5	15,3	103,4	127,2	3,6	27,2	0,6944
1990	73.4	1,9	17,2	102,7	130,6	2,7	30,6	0,7037
1991	72.1	-1,3	15,9	98,2	128,3	-1,8	28,3	0,7222
1992	70.8	-1,3	14,6	98,2	126	-1,8	26	0,7222
1993	70.6	-0,2	14,4	99,7	125,6	-0,3	25,6	0,6666
1994	69.3	-1,3	13,1	98,2	123,3	-1,8	23,3	0,7222
1995	65.4	-3,9	9,2	94,4	116,4	-5,6	16,4	0,6964
1996	65.8	0,4	9,6	100,6	117,1	0,6	17,1	0,6666
1997	68.4	2,6	12,2	103,95	121,7	4	21,7	0,6500

Т_{прироста цепной} = y_цi/(y_i – 1) = 5/56.2*100%=8.892

Т_{прироста базисный} = y_бi /y₀ = 8.3/56.2*100%=14.8

1% прироста=3,3/5,4=0,6111

Взаимосвязь между цепным и базисным показателями проявляется:

б = ц

Т_{р базис}  = T_{р ц1} * T_{р ц2} *…* T_{р ц n}

Т_пр =  T_р – 1

Т_{пр ц}  = T_{р ц} -1

Т_{пр б}= Т_{р б}-1

Т_пр(%)=T_р(%) -100

Т_{р б 1985}= T_{р ц 1984}* T_{р ц 1985}

1.1480=1.089*1054

Т_{пр ц}= T_{р ц} -1

0.02=1.02-1

3. Определите динамические средние за период:

• средний уровень ряда;
• среднегодовой темп роста;
• среднегодовой темп прироста.

    В интервальном  ряду средний уровень исчисляется как простая арифметическая, т.е. путем деления суммы уровней на их количество.

В приведенном ряду начальный  уровень – 56,2, конечный – 68,4. Среднегодовой  уровень производства яиц за период с 1983 – 1997гг. составляет:

= =Σx/n=(56.2+61.2+64.5+65.8+67.8+69+71.5+73.4+72.1+70.8+70.6+69.3+65.4+65.8+68.4)/15= =1011.8/15=67.45

Это и есть средний уровень  динамического ряда, свидетельствующий  о том, что за период с 1983г. по 1997г. в среднем ежегодно производилось 67, 45 млн. шт. яиц. 

Средний темп роста: р = (T_{р ц1*} T_{р ц2} * T_{р ц m)}^1/m = Т_{р б}^1/m,

где m – число темпов роста, T_{р ц} – темп роста для отдельных периодов.

р₁ =(1,089*1,054*1,020*1,030*1,018*1,034*1,027*0,982*0,982*0,997*0,982*0,944*1,006*1,0395)^1/15=

=1,2148^1/15=1,0015 или 100,15%

Средний темп прироста = 0,15% (100,15-100)

 

Рис. 1. Динамика производства яиц птицефабрик области

 

4. Проведите аналитическое выравнивание и выразите общую тенденцию соответствующим математическим уравнением.

Аналитическое выравнивание по прямой выполним математическим уравнением:

 

ỹ_t = a + bt , где y_t – выровненный уровень динамического ряда; t – порядковый номер года или иного периода времени; a и b – параметры уравнения.

Система уравнения для  отыскания параметров a и b:

Σy = n*a + bΣt

Σyt = aΣt + bΣt²

 

n – число членов динамического ряда.

Для упрощения нахождения параметров a и b в динамическом ряду с нечетным числом уровней значения t среднего уровня, принимаем за начало отсчета и приравниваем к нулю. Значения t периодов (дат) расположенных выше середины, обозначим отрицательными числами: -1, -2, -3, -4 и т.д., а значения t периодов (дат), расположенных ниже середины, обозначим положительными числами: +1, +2, +3, +4 и т.д. В результате отмеченных преобразований сумма t будет равна 0 (Σt=0), а система нормальных уравнений упрощается:

 

 

Σy = n*a

                 Σyt = bΣt²  ,

отсюда параметр a = Σy/n, а параметр b= Σyt/ Σt²

Таблица 2

Выравнивание динамического  ряда по способу наименьших квадратов (уравнение прямой линии)

Год (n)	Производство яиц (y)	Отклонение от года, находящегося в середине (t)	Различные величины		ỹt =a+b*t
			yt	t2
1983	56.2	-7	-393,4	49	63,85
1984	61.2	-6	-367,2	36	64,36
1985	64.5	-5	-322,5	25	64,88
1986	65.8	-4	-263,2	16	65,39
1987	67.8	-3	-203,4	9	65,92
1988	69.0	-2	-138	4	66,43
1989	71.5	-1	-71,5	1	66,94
1990	73.4	0	0	0	67,45
1991	72.1	+1	72,1	1	67,96
1992	70.8	+2	141,6	4	68,48
1993	70.6	+3	211,8	9	68,99
1994	69.3	+4	277,2	16	69,52
1995	65.4	+5	327	25	70,02
1996	65.8	+6	394,8	36	70,54
1997	68.4	+7	478,8	49	71,05
Итого n=15  Σy=1011,8		Σt=0	Σyt=144,1	Σt2=280	~ Σy=1011,78

В итогах расчетной таблицы  №2 содержатся все данные для определения  неизвестных параметров a и b. Подставляя в 1-е упрощенное уравнение данные таблицы №2, получаем:

a = Σy/n = 1011,8/15=67,45

во второе уравнение:

b= Σyt/ Σt²=144,1/280=0,5146

Параметр a характеризует производство яиц в 1990г., т.е. даты года, значение t которого принято за нуль. Параметр b (или коэффициент пропорциональности) свидетельствует о том, что ежегодно за период с 1983 – 1997гг. производство возрастает на 0,5146 тыс. шт.

 Подставляя значение параметров a и b в уравнение прямой (ỹ_t = a + bt), рассчитаем среднее производство яиц птицефабрики на начало каждого года:

1983г. -67,45+0,5146(-7)=63,85

1984г. -67,45+0,5146(-6)=64,36

1985г. -67,45+0,5146(-5)=64,88

1986г. -67,45+0,5146(-4)=65,39

1987г. -67,45+0,5146(-3)= 65,91                           

1988г. -67,45+0,5146(-2)=66,42

1989г. -67,45+0,5146(-1)=66,94

1990г. -67,45+0,5146(0)=67,45

1991г. -67,45+0,5146(1)=67,96

1992г. -67,45+0,5146(2)=68,48

1993г. -67,45+0,5146(3)=68,99

1994г. -67,45+0,5146(4)=69,51

1995г. -67,45+0,5146(5)=70,02

1996г. -67,45+0,5146(6)=70,54

1997г. -67,45+0,5146(7)=71,05

Суммы значений эмпирических и теоретических данных о производстве яиц должны совпадать с данными таблицы №2. 1011,78=1011,78 . Таким образом, получили выровненный ряд производства яиц на птицефабрике (графа 6 табл. 2), который характеризует тенденцию роста производства яиц с 1983 – 1997гг., а ежегодовой прирост 0,5146 тыс. шт. Более наглядно эту тенденцию можно проследить, если эмпирические и выровненные данные нанести на график 2.

 

Рис. 2. Динамика производства яиц на птицефабрике с 1983 -1997гг.

 

6. Предполагая, что выявленная тенденция сохранится в будущем,  определим ожидаемый объем производства яиц на птицефабрике на ближайшие 5-7 лет.

Таблица 3

Производство яиц на птицефабрике при сложившейся тенденции на ближайшие 5-7 лет

Годы	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Производство яиц, тыс. шт.	68,9	69,4	69,9	70,46	70,9	71,5	72

68,4+0,5146=68,9

68,9+0,5146=69,4

69,4+0,5146=69,9

69,9+0,5146=70,46

70,46+0,5146=70,9

70,9+0,5146=71,5

71,5+0,5146=72

Вывод: Если предположить, что  тенденция роста производства яиц  на птицефабрике возрастет в среднем  за год на 0,5146, то динамический ряд примет вид в таблицы №3, что несколько выше теоретических данных таблицы №1.