Закон больших чисел

Под законом  больших чисел и понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице (или нулю), произойдет событие, зависящее от очень большого, неограниченно увеличивающегося числа  случайных событий, каждое из которых  оказывает на него лишь незначительное влияние.

Точнее, под законом больших чисел  понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с  вероятностью, как угодно близкой  к единице, отклонение средней арифметической достаточно большого числа случайных  величин от постоянной величины -  средней арифметической их математических ожиданий, не превзойдет заданного как угодно малого числа.

Отдельные, единичные явления, которые мы наблюдаем  в природе и в общественной жизни, часто проявляются как  случайные (например, регистрируемый смертный случай, пол родившегося ребенка, температура воздуха и др.) вследствие того, что на такие явления действует  много факторов, не связанных с  существом возникновения или  развития явления. Предсказать суммарное  действие их на наблюдаемое явление  нельзя, и они различно проявляются  в единичных явлениях. По результатам  одного явления нельзя ничего сказать  о закономерностях, присущих многим таким явлениям.

Однако  давно было замечено, что средняя арифметическая числовых характеристик некоторых признаков (относительные частоты появления события, результатов измерений и т. д.) при большом числе повторений опыта подвержена очень незначительным колебаниям. В средней как бы проявляется закономерность, присущая существу явлений, в ней взаимно погашается влияние отдельных факторов, которые делали случайными результаты единичных наблюдений. Теоретически объяснить такое поведение средней можно с помощью закона больших чисел. Если будут выполнены некоторые весьма общие условия относительно случайных величин, то устойчивость средней арифметической будет практически достоверным событием. Эти условия и составляют наиболее важное содержание закона больших чисел.

 Первым  примером действия этого принципа  и может служить сближение  частоты наступления случайного  события с его вероятностью  при возрастании числа испытаний  – факт, установленный в теореме  Бернулли (швейцарский математик Якоб Бернулли (1654- 1705)).Теорема Бернулл является одной из простейших форм закона больших чисел и часто используется на практике. Например, частоту встречаемости какого-либо качества респондента в выборке принимают за  оценку соответствующей вероятности).

Выдающийся  французский математик Симеон Денни Пуассон (1781- 1840) обобщил эту теорему и распространил ее на случай, когда вероятность событий в испытании меняется независимо от результатов предшествующих испытаний. Он же впервые употребил термин «закон больших чисел».

Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821 - 1894) доказал, что закон больших чисел действует в явлениях с любой вариацией и распростаняется также на закономерность средней.

Дальнейшее  обобщение теорем закона больших  чисел связано с именами  А.А.Маркова, С.Н.Бернштейна, А.Я.Хинчина и А.Н.Колмлгорова.

Общая  современная постановка задачи, формулировка закона больших чисел, развитие идей и методов доказательства теорем, относящихся к этому закону, принадлежит  русским ученым П. Л. Чебышеву, А. А. Маркову  и А. М. Ляпунову.

Следствие 1. Если независимые случайные величины имеют одинаковые, равные а, математические ожидания, дисперсии их ограничены одной и той же постоянной С, а число их достаточно велико, то, сколько бы мало на было данное положительное число е, как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от  а  не превзойдет по абсолютной величине е.

То, что  за приближенное значение неизвестной  величины  принимают среднюю арифметическую результатов достаточно большого числа  ее измерений, произведенных в одних  и тех же условиях, можно обосновать этой теоремой. Действительно, результаты измерений являются случайными, так  как на них действует очень  много случайных факторов. Отсутствие систематических ошибок  означает, что математические ожидания отдельных  результатов измерений одинаковые и равны . Следовательно, по закону больших чисел средняя арифметическая достаточно большого числа измерений практически будет как угодно мало отличаться от истинного значения искомой величины.

(Напомним, что ошибки называются систематическими, если они искажают результат  измерения в одну и ту же  сторону по более или менее  ясному закону. К ним относятся ошибки, появляющиеся в результате несовершенства инструментов (инструментальные ошибки), вследствие личных особенностей наблюдателя (личные ошибки) и др.)

Следствие 2. (Теорема Бернулли.)

 Если  вероятность р наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна, а их число достаточно велико, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что частота появления события как угодно мало отличается от  вероятности р его появления:

Теорема Бернулли, утверждает, что если вероятность  события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний  частота события стремится к  вероятности события и перестает быть случайной.

На практике сравнительно редко встречаются  опыты, в которых вероятность  появления события в любом  опыте неизменна, чаще она  разная в разных опытах. К схеме испытаний  такого типа относится теорема Пуассона:

Следствие 3. (Теорема Пуассона.)

Если  вероятность p_i появления события A в  i-ом  испытании не меняется, когда становятся известными результаты предыдущих испытаний, а их число достаточно велико, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что частота появления события как угодно мало отличается от  средней арифметической вероятностей p_i:

Теорема Пуассона утверждает, что частота  события в серии независимых  испытаний стремится к среднему арифметическому его вероятностей и перестает быть случайной.

В заключение заметим, что ни одна из рассмотренных  теорем не дает ни точного, ни даже приближенного  значения искомой вероятности, а  указывается лишь нижняя или верхняя  граница ее. Поэтому, если требуется  установить точное или хотя бы приближенное значение вероятностей соответствующих  событий, возможности этих теорем весьма ограничены.

Приближенные  значения вероятностей при больших  значениях  можно получить только с помощью предельных теорем. В  них или на случайные величины налагаются дополнительные ограничения (как это имеет место, например, в теореме Ляпунова), или рассматриваются  случайные величины определенного  вида (например, в интегральной теореме Муавра—Лапласа).

Теоретическое значение теоремы Чебышева, являющейся весьма общей формулировкой закона больших чисел, велико. Однако если мы будем применять ее при решении  вопроса о возможности применить  закон больших чисел к последовательности независимых случайных величин, то при утвердительном ответе теорема  часто будет требовать, чтобы  случайных величин было гораздо  больше, чем необходимо для вступления в силу закона больших чисел. Указанный  недостаток теоремы Чебышева объясняется  общим характером ее. Поэтому желательно иметь теоремы, которые точнее указывали  бы нижнюю (или верхнюю) границу искомой  вероятности. Их можно получить, если наложить на случайные величины некоторые  дополнительные ограничения, которые  для встречающихся на практике случайных величин обычно выполняются.

ЗАМЕЧАНИЯ О СОДЕРЖАНИИ ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Если  число случайных величин достаточно велико и они удовлетворяют некоторым весьма общим условиям, то, как бы они ни были распределены, практически достоверно, что средняя арифметическая их сколь угодно мало отклоняете а от постоянной величины - - средней арифметической их математических ожиданий, т. е. является практически постоянной величиной. Таково содержание теорем, относящихся к закону больших чисел. Следовательно, закон больших чисел - одно из выражений диалектической связи между случайностью и необходимостью.

Можно привести очень много примеров возникновения  новых качественных состояний как  проявления закона больших чисел, в  первую очередь среди физических явлений. Рассмотрим один из них.

По современным  представлениям газы состоят из отдельных  частиц  - молекул, которые находятся  в хаотическом движении, и нельзя точно сказать, где в данный момент будет находиться, и с какой  скоростью будет двигаться та или иная молекула. Однако наблюдения показывают, что суммарное действие молекул, например давление газа на стенку сосуда, проявляется с поразительным постоянством. Оно определяется числом ударов и силой каждого из них. Хотя первое и второе является делом случая, приборы не улавливают колебаний давления газа, находящегося в нормальных условиях. Объясняется это тем, что благодаря огромному числу молекул даже в самых небольших объемах изменение давления на заметную величину практически невозможно. Следовательно, физический закон, утверждающий постоянство давления газа, является проявлением закона больших чисел.

Постоянство давления и некоторых других характеристик  газа в свое время служило веским аргументом против молекулярной теории строения вещества. Впоследствии научились  изолировать сравнительно небольшое  число молекул, добиваясь того, чтобы  влияние от дельных молекул еще  оставалось, и тем самым закон  больших чисел не мог проявиться в достаточной степени. Тогда  удалось наблюдать колебания  давления газа, подтверждающие гипотезу о молекулярном строении вещества.

Закон больших  чисел лежит в основе различных  видов страхования (страхование  жизни человека на всевозможные сроки, имущества, скота, посевов и др.).

При планировании ассортимента товаров широкого потребления  учитывается спрос на них населения. В этом спросе проявляется действие закона больших чисел.

Широко  применяемый в статистике выборочный метод находит свое научное обоснование  в законе больших чисел. Например, о качестве привезенной из колхоза  на заготовительный пункт пшеницы  судят по качеству зерен, случайно захваченных  в небольшую мерку. Зерна в  мерке немного по сравнению со всей партией, но во всяком случае мерку выбирают такой, чтобы зерен в ней было вполне достаточно для проявления закона больших чисел с точностью, удовлетворяющей потребности. Мы вправе принять за показатели засоренности, влажности и среднего веса зерен всей партии поступившего зерна соответствующие показатели в выборке.

Дальнейшие  усилия ученых по углублению содержания закона больших чисел были  направлены па получен наиболее общих условий применимости  этого закона к последовательности случайных величин. В этом направлении долго не было принципиальных успехов. После П. Л. Чебышева и А. А. Маркова только в 1926 г. советскому академику А. Н. Колмогорову удалось получить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы к последовательности независимых случайных величин был применим закон больших чисел. В 1928 г. советский ученый А. Я. Хинчин показал, что достаточным условием применимости закона больших чисел к последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин является существование у них математического ожидания.

Для практики исключительно важно полностью  выяснить вопрос о применимости закона больших чисел к зависимым  случайным величинам, так как  явления в природе и обществе находятся во взаимной зависимости  и взаимно обусловливают друг друга. Много работ посвящено  выяснению ограничений, которые необходимо наложить на зависимые случайные величины, чтобы к ним можно было применить закон больших чисел, причем наиболее важные принадлежат выдающемуся русскому ученому А. А. Маркову и крупным советским ученым С. Н. Бернштейну и А. Я. Хинчину.

 Основной  результат этих работ состоит  в том, что закон больших  чисел приложим к зависимым  случайным величинам, если только  сильная зависимость существует  между случайными величинами  с близкими номерами, а между  случайными величинами с далекими  номерами зависимость достаточно  слаба. Примерами случайных величин  такого типа являются числовые  характеристики климата. На погоду  каждого дня заметно влияет  погода предыдущих дней, причем  влияние заметно ослабевает с  удалением дней друг от друга.  Следовательно, многолетняя средняя  температура, давление и другие  характеристики климата данной  местности в соответствии с  законом больших чисел практически  должны быть близки к своим математическим ожиданиям. Последние являются объективными характеристиками климата местности.

В целях  экспериментальной проверки закона больших чисел в разное время  были произведены следующие опыты.

1. Опыт  Бюффона. Монета брошена 4040 раз.  Герб выпал 2048 раз. Частость его выпадения оказалась равной 0,50694 =

2. Опыт  Пирсона. Монета брошена 12 000 и  24 000 раз. Частость выпадения герба в первом случае оказалась равной 0,5016, в Втором — 0,5005.

З. Опыт Вестергаарда. Из урны, в которой было поровну белых и черных шаров, получено при 10 000 извлечений (с возвратом очередного вынутого шара в урну) 5011 белых и 4989 черных шаров. Частость белых шаров составила 0,50110 = (), а черных — 0,49890.

4. Опыт  В. И. Романовского. Четыре монеты брошены 21160 раз.

Результаты  экспериментальных проверок закона больших чисел убеждают нас в  большой близости опытных частостей вероятностям.