Контрольная работа по "Статистике"

 

Транспонированная матрица.

 

1	1	1	1	1	1
10	12	15	11	30	25
8	11	12	9	20	22
206	210	212	184	302	230

 

Матрица A^TA.

 

6	103	82	1344
103	2115	1641	24594
82	1641	1294	19258
1344	24594	19258	309440

 

Полученная матрица  имеет следующее соответствие:

∑n	∑y	∑x1	∑x2
∑y	∑y2	∑x1 y	∑x2 y
∑x1	∑yx1	∑x1 2	∑x2 x1
∑x2	∑yx2	∑x1 x2	∑x2 2

 

Найдем парные коэффициенты корреляции.

Признаки x и y	∑xi		∑yi		∑xiyi
Для y и x1	82	13.67	103	17.17	1641	273.5
Для y и x2	1344	224	103	17.17	24594	4099
Для x1  и x2	1344	224	82	13.67	19258	3209.67

 

 

 

 

Признаки  x и y					Коэф кор
Для y и x1	28.89	57.81	5.37	7.6	0.95
Для y и x2	1397.33	57.81	37.38	7.6	0.89
Для x1  и x2	1397.33	28.89	37.38	5.37	0.74

 

Матрица парных коэффициентов  корреляции.

-	y	x1	x2
y	1	0.95	0.89
x1	0.95	1	0.74
x2	0.89	0.74	1

 

Частные коэффициенты корреляции.

Коэффициент частной  корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что  он измеряет парную корреляцию соответствующих  признаков (y и x_i) при условии, что влияние на них остальных факторов (x_j) устранено.

 

 

Теснота связи сильная

 

 

Теснота связи сильная

 

 

Теснота связи сильная

 

Множественный коэффициент корреляции:

Связь является высокой.

 

 

Значимость  коэффициента корреляции.

 

По таблице Стьюдента  находим Tтабл

T_крит(n-m-1;α/2) = (3;0.025) = 3.182

 

Наблюдаемое значение больше критического, поэтому коэффициент  множественной корреляции статистически  значим.

 

 

 

Задание 4.

Два контролера расположили 10 объектов в порядке улучшения  их качества:

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
У	1	2	10	3	6	5	7	9	4	8

 

Вычислить ранговые коэффициенты Спирмена и Кендалла и оценить  их значимость на уровне 0,05.

 

Решение

 

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Присвоим ранги признаку Y и фактору X. Найдем сумму разности квадратов d².

По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

 

X	Y	ранг X, dx	ранг Y, dy	(dx - dy)2
1	1	1	1	0
2	2	2	2	0
3	10	3	10	49
4	3	4	3	1
5	6	5	6	1
6	5	6	5	1
7	7	7	7	0
8	9	8	9	1
9	4	9	4	25
10	8	10	8	4
сумма				82

 

 

Связь между признаком Y и фактором X умеренная и прямая.

 

Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Для того чтобы при  уровне значимости α проверить нулевую  гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе H_i. p ≠ 0, надо вычислить критическую точку:

 

где n - объем выборки; p - выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t(α, к) - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n-2.

Если |p| < Т_kp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Если |p| > T_kp - нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

 

По таблице Стьюдента  находим t(α, k):

t(α, k) = (8;0.05) = 1.86

Поскольку T_kp > p, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначимая.

 

Коэффициент Кендэла.

 

Упорядочим данные по X.

В ряду Y справа от 1 расположено 9 рангов, превосходящих 1, следовательно, 1 породит в Р слагаемое 9.

Справа от 2 стоят 8 ранга, превосходящих 2 (это 10, 3, 6, 5, 7, 9, 4, 8), т.е. в Р войдет 8 и т.д. В итоге Р = 32 и с использованием формул имеем:

X	Y	ранг X, dx	ранг Y, dy	P	Q
1	1	1	1	9	0
2	2	2	2	8	0
3	10	3	10	0	7
4	3	4	3	6	0
5	6	5	6	3	2
6	5	6	5	3	1
7	7	7	7	2	1
8	9	8	9	0	2
9	4	9	4	1	0
10	8	10	8	0	0
сумма				32	13

 

 

Для того чтобы при  уровне значимости α проверить нулевую  гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла при конкурирующей гипотезе Н₁: τ ≠ 0,надо вычислить критическую точку:

 

где n - объем выборки; z_kp - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице функции Лапласа по равенству Ф(z_kp)=(1 — α)/2.

Если |τ| < T_kp — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками незначима. Если |τ| > T_kp — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

Найдем критическую точку z_kp

Ф(z_kp) = (1 - α)/2 = (1 - 0.05)/2 = 0.475

По таблице Лапласа  находим z_kp = 1.96

Найдем критическую  точку:

 

Так как τ < T_kp — принимаем нулевую гипотезу; ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначимая.