Контрольная работа по "Теории статистике"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1.

ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ

 

ТЕМА №3. ГРУППИРОВКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ¹

 

Задание.

1. В таблице №1 «Макроэкономические показатели европейских стран» найдите данные (графу), соответствующие вашему варианту (последняя цифра зачетной книжки). По данным таблицы №1 построить структурную (вариационную) группировку. Количество групп взять равным 6.
2. По этим же данным построить графики распределения (кумуляту и гистограмму).

В таблице №1 представлена совокупность из 32 европейских стран (по горизонтали).

Варианты соответствуют следующим макроэкономическим показателям (по вертикали):

ВВП на душу населения (евро).

Таблица №1. «Макроэкономические показатели европейских стран»

Страна	Вариант
	7
Бельгия	31500
Болгария	3800
Чехия	12300
Дания	41500
Германия	29500
Эстония	11400
Ирландия	43700
Греция	20400
Испания	23400
Франция	29800
Италия	25900
Кипр	20000
Латвия	8800
Литва	8400
Люксембург	75600
Венгрия	10100
Нидерланды	34600
Австрия	32600
Польша	8100
Португалия	15400
Румыния	5800
Словения	17100
Словакия	10200
Финляндия	34000
Швеция	36200
Великобрит.	33700
Хорватия	8600
Македония	2700
Турция	6500
Исландия	46900
Норвегия	60400
Швейцария	42075

 

Решение:

Ширина интервала составит:

 

 

Xmax - максимальное значение  группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение  группировочного признака.

Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	2700	14850
2	14850	27000
3	27000	39150
4	39150	51300
5	51300	63450
6	63450	75600

 

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или  иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

 

2700	2700 - 14850	1
3800	2700 - 14850	2
5800	2700 - 14850	3
6500	2700 - 14850	4
8100	2700 - 14850	5
8400	2700 - 14850	6
8600	2700 - 14850	7
8800	2700 - 14850	8
10100	2700 - 14850	9
10200	2700 - 14850	10
11400	2700 - 14850	11
12300	2700 - 14850	12
15400	14850 - 27000	1
17100	14850 - 27000	2
20000	14850 - 27000	3
20400	14850 - 27000	4
23400	14850 - 27000	5
25900	14850 - 27000	6
29500	27000 - 39150	1
29800	27000 - 39150	2
31500	27000 - 39150	3
32600	27000 - 39150	4
33700	27000 - 39150	5
34000	27000 - 39150	6
34600	27000 - 39150	7
36200	27000 - 39150	8
41500	39150 - 51300	1
42075	39150 - 51300	2
43700	39150 - 51300	3
46900	39150 - 51300	4
60400	51300 - 63450	1
75600	63450 - 75600	1

Результаты группировки  оформим в виде таблицы:

 

Группы	№ совокупности	Частота fi	Частность	То же накопленным итогом
2700 - 14850	1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12	12	37,50%	37,50%
14850 - 27000	13,14,15,16,17,18	6	18,75%	56,25%
27000 - 39150	19,20,21,22,23,24,25,26	8	25,00%	81,25%
39150 - 51300	27,28,29,30	4	12,50%	93,75%
51300 - 63450	31	1	3,13%	96,88%
63450 - 75600	32	1	3,13%	100,00%

 

 

Рис.1. Гистограмма ВВП на душу населения (евро)

Рис.2. Кумулята ВВП на душу населения. (евро)

 

 

ТЕМА №4. ОБОБЩАЮЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОВОКУПНОСТИ

Задание.

1. По равноинтервальной группировке (результат выполнения задания темы №3) рассчитайте среднее арифметическое, медиану и моду

Таблица для расчета  показателей.

 

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	(x - xср) * f	(x - xср)2 * f	Частота, fi/n
2700 - 14850	8775	12	105300	12	195918.75	3198679716.8	0.38
14850 - 27000	20925	6	125550	18	25059.38	104662045.9	0.19
27000 - 39150	33075	8	264600	26	63787.5	508605644.53	0.25
39150 - 51300	45225	4	180900	30	80493.75	1619810947.27	0.13
51300 - 63450	57375	1	57375	31	32273.44	1041574768.07	0.0313
63450 - 75600	69525	1	69525	32	44423.44	1973441799.32	0.0313
		32	803250		441956.25	8446774921.88	1

 

Средняя взвешенная

 

 

Мода

Мода - наиболее часто встречающееся  значение признака у единиц данной совокупности.

 

где x₀ – начало модального интервала; h – величина интервала; f₂ –частота, соответствующая модальному интервалу; f₁ – предмодальная частота; f₃ – послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 2700, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

 

Наиболее часто встречающееся  значение ряда – 10800

Медиана

В интервальном ряду распределения  сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует  варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1)/2 = (32+1)/2 = 17.

Медианным является интервал 2700 - 14850, т.к. в этом интервале накопленная  частота S, больше медианного номера.

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.

 

 

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 22950

2. По этим же данным измерьте вариацию при помощи показателей размаха вариации, дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации.

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным  значениями признака первичного ряда.

R = X_max - X_min

R = 75600 - 2700 = 72900

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 25101.56 не более, чем  на 16246.9

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

 

Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.

 

 

 

 

ТЕМА №5. ВЫБОРОЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ.

Задание.

По данным таблицы  №1 «Макроэкономические показатели европейских стран», соответствующим вашему варианту с вероятностью 0,95 определите доверительный интервал для генеральной средней, считая эти данные собственно-случайной повторной выборкой.

Доверительный интервал для  генерального среднего.

 

Поскольку n>30, то определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(t_kp) = 1 - γ

Ф(t_kp) = (1 - γ)/2 = 0.95/2 = 0.475

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.475

t_kp(γ) = (0.475) = 1.96

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.

 

 

Оценка среднеквадратического  отклонения.

 

 

(25101.56 - 5719.34;25101.56 + 5719.34) = (19382.22;30820.9)

С вероятностью 0.95 можно  утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Как изменится доверительный  интервал, если вероятность увеличится до 0,99? Сделайте необходимый расчет.

В этом случае 2Ф(tkp) = 1 - γ

Ф(tkp) = (1 - γ)/2 = 0.99/2 = 0.495

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.495

tkp(γ) = (0.495) = 2.58

 

(25101.56 - 7528.52;25101.56 + 7528.52) = (17573.04;32630.08)

С вероятностью 0.99 можно  утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Какую по объему выборку  надо иметь, чтобы погрешность (ошибку) в доверительном интервале можно  было бы уменьшить в 2 раза относительно её первоначального значения (вероятность 0,95).

 

 

  

 

 

ТЕМА № 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СВЯЗИ²

Задание.

1. Из таблицы №1 «Макроэкономические показатели европейских стран» выберите две графы (признаки) данных, соответствующих вашему варианту (см. таблицу №2).
2. Построить аналитическую группировку.
3. Построить парное линейное уравнение связи между признаками.
4. Оценить тесноту связи с помощью эмпирического корреляционного отношения и коэффициента корреляции.
5. Проверить на значимость найденные параметры и регрессионную модель.
6. По полученному уравнению рассчитать прогноз значения У при условии, что величина Х будет на 20% выше своего максимального выборочного значения. (Вероятность 0,95).

Таблица №2.

вариант	7
№ графы	7,9

 

Y	X
31500	30
3800	3
12300	7
41500	27
29500	37
11400	7
43700	45
20400	27
23400	24
29800	30
25900	28
20000	31
8800	13
8400	5
75600	53
10100	6
34600	30
32600	30
8100	6
15400	17
5800	3
17100	18
10200	6
34000	29
36200	30
33700	35
8600	2
2700	1
6500	14
46900	5
60400	10
42075	12