Контрольная работа по "Теория вероятностей и математическая статистика"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика

 

 

 

 

Исполнитель: студент(ка)

Направление__________

Профиль

Группа    ЭТР-13 КТ

Ф.И.О Пузанова Татьяна Леонидовна

 

 

 

Екатеринбург

2015

Контрольная № 1

 

Вариант 6

1. Из 30 экзаменационных билетов студент выучил 23. На экзамене он берет билет первым. Какова вероятность, что ему попадется билет, который он знает? Какова будет эта вероятность, если студент пришел на экзамен последним и тянет последний оставшийся билет?

 

Решение:

Из 30 билетов имеющихся в наличии на начало экзамена студент знает 23. Следовательно, вероятность вытащить билет, ответ на который он знает равна:

Если студент пришел на экзамен последним и тянет последний оставшийся билет, то искомая вероятность равна отношению числа комбинаций, в которых оставшийся билет из тех 23, которые знает студент к количеству всех вариантов перестановок из 30 билетов.

Т.о. последним билетом может быть только один из 23. Остальные 29 могут переставляться 29! Способами. Откуда получаем:

Т.о. вероятность не зависит от того, каким по счету придет студент: первым или последним и равна .

 

 

 

 

2. В первой из двух студенческих групп учатся а юношей и в девушек, во второй с юношей и d девушек. Из каждой группы наугад вызывается по одному студенту. Какова вероятность, что это будут юноши?

 

Решение:

Для того, чтобы это были юноши необходимо чтобы произошло два события одновременно: из первой группы был вызван юноша (вероятность этого события равна ) и из второй группы также был вызван юноше ( )

По теореме о произведении независимых событий получаем:

 

 

 

 

3. В организацию внедрились три секретных агента, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение года секретный агент будет разоблачен, для первого агента равна 0,9, для 2-го равна 0,8, для 3-го агента равна 0,85. Найти вероятность того, что в течение года будет выявлен хотя бы один секретный агент.

 

Решение:

Определим событие А = «будет выявлен хотя бы один секретный агент». Вероятность этого события найдем по теореме о вероятности противоположного события. Рассмотри событие В = «не был выявлен ни один агент». Вероятность события В равна произведению вероятностей элементарных событий: не выявлен i-й агент.Т.е.

Следовательно, искомая вероятность равна:

 

 

 

4. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 12 новорожденных будет 10 девочек.

 

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли

Согласно условия задачи, p = 0,515, q = 1 – p =0,485, n = 12, k = 12 – 10 = 2. Т.е.

 

 

5. Поручик Ржевский знакомится только с блондинками. Но в среднем только 20% блондинок натуральные, остальные – крашеные. Из 25 знакомых блондинок поручик случайным образом выбирает трех, с которыми идет вечером в театр. Найти вероятность того, что две из окажутся натуральными, а одна – крашеной.

 

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли

Согласно условия задачи вероятность того, что блондинка окажется натуральной равна р = 20% или р = 0,2, откуда q = 0,8. Следовательно,

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 2.

 

6. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Изделия некоторого завода содержит 5% брака. Составить закон распределения случайной величины Х – числа бракованных изделий среди пяти взятых на удачу. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

 

Решение:

Среди 5 взятых наугад изделий бракованных может быть от 0 до 5. Т.е.

xi	0	1	2	3	4	5
pi

Вычислим, воспользовавшись формулой Бернулли их вероятности

По условию задачи p = 0,05. Откуда q = 1 – 0,05 = 0,95. Откуда:

Следовательно, закон распределения имеет вид

xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,7738	0,2036	0,0214	0,0011	0,0000296	0,0000003125

 

Вычислим математическое ожидание случайной величины

Вычислим дисперсию случайной величины

Вычислим среднеквадратическое отклонение случайной величины

 

 

 

 

 7. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (α, β). Построить графики функций F(X) и f(X).

 

Решение:

Плотность распределения есть суть производная от функции распределения. Т.е.

Находим математическое ожидание, воспользовавшись формулой:

Откуда

 

Находим дисперсию, воспользовавшись формулой:

Откуда

Вероятность попадания случайной величины в интервал (α, β) вычислим по формуле:

Т.о.

Построим графики функций: