Контрольная работа по "Теория вероятности и математическая статистика"

1. На складе  имеется 20 приборов, из которых  два неисправны. При отправке  потребителю проверяется исправность  приборов.

Найти вероятность  того, что три первых проверенных  прибора окажутся исправными.

Решение:

Пусть событие А –  первые три проверенных прибора – исправны.

Общее число случаев  выбора 3 приборов из 20 равно  . Число случаев благоприятствующих событию А, равно . Тогда

Ответ: .

 

 

2. При выпуске телевизоров количество экземпляров высшего качества в среднем составляет 80%. Выпущено 400 телевизоров.

Найти:

а) вероятность  того, что 300 из выпущенных телевизоров  высшего качества;

б) границы, в  которых с вероятностью 0,9907 заключена  доля телевизоров высшего качества.

Решение:

Имеем

а) Применим локальную  теорему Муавра-Лапласа

, где  и

б) Воспользуемся следствием из интегральной теоремы Муавра-Лапласа

, где 

Т.к. , то ,  откуда

Следовательно, границы для доли равны:

Ответ: а) , б) .

 

 

3. В партии из восьми деталей шесть стандартных. Наугад отбирают две детали.

Составить закон распределения  случайной величины – числа стандартных  деталей среди отобранных. Найти  ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.

Решение:

Случайная величина X принимает следующие значения: 0, 1, 2

По условию  , следовательно,

Вероятности распределения найдем по схеме Бернулли

 

    

 

Составим закон распределения

X	0	1	2
p	0,0625	0,3750	0,5625

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Функция распределения:

Ответ: , .

 

 

 

4. Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно-случайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные данные представлены в таблице.

Количество  дней пребывания на больничном листе	Менее 3	3 – 5	5 – 7	7 – 9	9 – 11	Более 11	Итого
Число сотрудников	6	13	24	39	8	10	100

Найти:

а) вероятность  того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине);

б) границы, в  которых с вероятностью 0,95 заключена  доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы  для доли (см. п. б) можно гарантировать  с вероятностью 0,98.

 

Решение:

а) 

i	Интервалы xi	Середины интервалов xi		ni	uini	ui2ni	ui +1	(ui +1)2ni
1	1 – 3	2	-2	6	-12	24	-1	6
2	3 – 5	4	-1	13	-13	13	0	0
3	5 – 7	6	0	24	0	0	1	24
4	7 – 9	8	1	39	39	39	2	156
5	9 – 11	10	2	8	16	32	3	72
6	11 – 13	12	3	10	30	90	4	160
	∑			100	60	198		418

,  где k – ширина интервала по x, а с – один из серединных интервалов. 

k  = 2, с = 6

Проверка:

418 = 198 + 2·60 + 100 = 198 + 120 + 100 = 418    − расчеты верны.

 

Искомую вероятность найдем по формуле:

Р ( ) = Ф(t) = γ,    где    t = ,    ,

Имеем    ,   

Найдем среднюю квадратическую ошибку выборки для средней по формуле:

,   

t = = 4,07,   γ = Ф(t) = Ф(4,07) = 0,9999

Вероятность равна  Р( ) = 0,9999

Итак, вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине) равна 0,9999.

б)         m = 6 + 13 + 24 = 43       n = 100       N = 1560

         

Учитывая, что γ = Ф(t) = 0,95 t = 1,96 (по таблице), найдем предельную ошибку выборки для доли по формуле:

Теперь искомый доверительный  интервал определяем по формуле:

Итак, с вероятностью 0,95 доля всех сотрудников, пребывающих  на больничном листе не более семи дней заключена от 0,34 до 0,52.

 

в)

Объем выборки:  

.

 

 

 

5.  Распределение 110 образцов полимерных и композиционных материалов по содержанию в них нефтешламов X (%) и водопоглощению Y (%).

Y      X	15 – 25	25 – 35	35 – 45	45 – 55	55 – 65	65 – 75	Итого
5 – 15	17	4					21
15 – 25	3	18	3				24
25 – 35		2	15	5			22
35 – 45			3	13	7		23
45 – 55					6	14	20
Итого	20	24	21	18	13	14	110

 

Необходимо:

1. Вычислить  групповые средние  и и построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая,  что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения  прямых регрессии, построить их графики  на одном чертеже с эмпирическими  линиями регрессии и дать экономическую  интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить  коэффициент корреляции, на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте  и направлении связи между  переменными X и Y;

     в) используя соответствующее  уравнение регрессии, оценить средний процент водопоглощения в образцах содержащих 35% нефтешламов.

 

Решение:

Y      X	20	30	40	50	60	70	Итого
10	17	4					21
20	3	18	3				24
30		2	15	5			22
40			3	13	7		23
50					6	14	20
Итого	20	24	21	18	13	14	110

 

 

1)                                                 

                        

                          

                 

      

                                    

    

    

      

    

    

2) а)   

        

,       ,      ,          ,

,        ,        

Вычислим необходимые  суммы:

   

                

Итак, уравнения регрессии:

y_x – 42 = 1,12(x – 29,73) 

x_y – 29,73 = 0,80(y – 42)

или

y_x = 1,12x + 8,70

x_y = 0,80y – 3,87

Из уравнения регрессии Y по X следует, что при увеличении ПКМ по содержанию в них нефтешламов хотя бы  на 1%, их водопоглощение увеличится в среднем на 1,12%. Уравнение X по Y показывает, что для увеличения водопоглощения ПКМ хотя бы на  на 1%  необходимо в среднем увеличить содержание в них нефтешламов на 0,80%.

 

 

 

 

б)  Коэффициент корреляции:

Итак, связь между рассматриваемыми переменными прямая и  очень тесная.

Статистика критерия:

Для уровня значимости α = 0,05 и числа  степеней свободы k = 110 – 2 = 108 находим критическое значение статистики t_1-α;k = t_0.95;108 = 1,99.

Поскольку t > t_0.95;108 коэффициент корреляции между X и Y значимо отличается от нуля.

в) y_x = 1,12 ∙ 35 + 8,70 = 47,9%.