Контрольная работа по дисциплине "Математическая статистика"

Контрольная работа №8

"Математическая  статистика"

Задание 8.1.

 

Из генеральной  совокупности извлечена выборка, представленная в виде статистического ряда (в  первой строке указаны выборочные значения , во второй - соответствующие им частоты ). Требуется вычислить выборочное среднее , выборочную дисперсию D_B , исправленную выборочную дисперсию s² и среднеквадратическое отклонение s, эмпирическую функцию распределения.

22.

xi	4	6	7	8	10	11	12
ni	6	9	20	30	20	10	5

 

Решение. Объём выборки равен . Выборочные среднее и дисперсия вычисляются по формулам

Исправленная выборочная дисперсия равна 

Тогда "исправленное" выборочное среднеквадратическое отклонение будет

Согласно определению  эмпирической функции распределения  её значение при любом x равно F_*(x) = n_x⁄100, где n_x - количество элементов x_i выборки, меньших, чем x. Например, при x=-1.3 имеем n_x= 0,  F_*(-1.3) = 0; при x =5.7 n_x=6, F_*(2.7)=6/100=0.06; при x=6.2 n_x=6+9=15, F_*(6.2)=0.15; при x =7.8 n_x=6+9+20=35, F_*(7.8)=0.35 и т.д. Тогда

     

 

 

Задание 8.2.

По заданным выборочным среднему и исправленному среднеквадратическому отклонению s найти с доверительной вероятностью  p доверительный интервал для математического ожидания  M[X], если :

 а)  известно (принять ),

 б)  неизвестно, а также доверительный интервал для . Число степеней свободы принять равным 3.

 

Вар.		s	N	p
22	69,5	9,6	250	0,99

 

Решение. а) В случае, когда среднеквадратическое отклонение (СКО) известно

(s  [X]=9.6), доверительный интервал для математического ожидания можно записать

где корень уравнения Φ(t) = g/2 = 0.495 отыскивается из таблицы значений функции Лапласа

и равен t = 2.58. Вычисляя величину

находим доверительный интервал (67.93;71.07).

б) Если СКО неизвестно, в  качестве его оценки принимается  значение s (s [X] ≈ s), причём значение t определяется из таблицы распределения Стьюдента при g = 0.99 и числе степеней свободы, равном 3 (t=5.841). Тогда доверительный интервал

 имеет вид (65,95;  73.05).

       Доверительный  интервал для s [X] запишется

s(1- q) < s [X] < (1 + q)

где q определяется из таблицы q = q(p, n) и для доверительной вероятности g  =0.99 и объёма выборки n=250 равно q = 0.120. Поэтому границы интервала принимают вид

s(1-q) = 9.6(1-0.120) =8.448,      s(1+q) = 9.6(1+0.120) =10.752,

т.е., 8.448 <  s [X] <10.752.

 

 

Задача 8.3.

 

1.Выборку значений СВ  Х, указанную в условии задачи 8.1 сгруппировать, разбивая отрезок [a,b] (а = min х_i;  b = max х_i) на 5 интервалов с границами

 и подсчитать частоты интервалов.

2. Предполагая, что Х распределена  по нормальному закону и принимая в качестве параметров М[X], s[X] их оценки  , s вычислить теоретические частоты интервалов.

3. С помощью критерия  согласия Пирсона при уровне  значимости α =0.1 проверить, согласуются ли выборочные данные с гипотезой о нормальном распределении величины Х. Число степеней свободы принять равным трём (3).

xi	4	6	7	8	10	11	12
ni	6	9	20	30	20	10	5

 

Решение. 1. Из статистического ряда задачи 8.1видно, что а= minx_i = 4, в = max x_i =12, поэтому (в-а)/5=(12 – 4)/5 =1.6 и границы интервалов будут ξ₀ = 2, ξ₁ = 4+1.6=5.6, ξ₂ =5.6+1.6=7.2, ξ₃ = 7.2+1.6= 8.8, ξ₄ = 8.8+1.6=10.4, ξ₅ = 10.4+1.6=12.

Эмпирическая частота r_j интервала (j =0,..,4) подсчитывается с помощью ряда как число наблюдений, попавших в интервал, отнесённое к объёму выборки n. Так, в первый (j =0) интервал [4;5.6] попало 6 значений, поэтому r₀ = 6/100 =0.06. Aналогично, r₁=0,09+ 0.20=029, r₂=0.3, r₃=0.2, r₄=0,1 + 0,05=0.15.

2. Примем в качестве  параметров нормального распределения Х вычисленные в задаче 8.1 значения точечных оценок

M[X] = = 8.28,      s[X] = s =1.995

Теоретические частоты  интервалов (j =0,1,..,4) являются вероятностями

С помощью таблиц интеграла  Лапласа находим

 

3. Вычисляем значение 

По таблице распределения χ² Пирсона для доверительной вероятности g = 1-α = 0.9 и числа степеней свободы n = 3 находим значение . Поскольку гипотезу о нормальном распределении СВ Х следует считать не противоречащей выборочным данным.

 

 

Задание 8.4.

По заданной корреляционной таблице найти выборочные средние  среднеквадратические отклонения s_x, s_y, коэффициент корреляции и уравнение линейной регрессии Y на X. Вычислить условные средние по данным таблицы и с помощью выборочного уравнения регрессии и найти наибольшее их отклонение.

 

 

 

22.

Y X	4	8	12	16	20	24	nx
30						1	1
38					2	1	3
46				2	19	10	31
54			5	15	2	2	24
62		5	4	5			14
70	4	8	3	6			21
78	5	1					6
ny	9	14	12	28	23	14	100

 

Решение. Вычислим выборочные средние и среднеквадратические отклонения для X,Y

Выборочный коэффициент  корреляции между Х и У отыскивается по формуле

 

Согласно таблице 

откуда 

    

Cвязь сильная, обратная.

Выборочное линейное уравнение  регрессии У на Х имеет вид 

или, с учётом вычисленных  значений,

 

                                                                                               (1)

Условное среднее при x = x_i вычисляется по формуле

где - число выборочных значений y_j , наблюдавшихся при данном x_i . Согласно данным из таблицы находим

 

Значения условных средних  , отыскиваемые по уравнению регрессии (1):

Отклонения значений ,    будут

 

d₁ = 24-27.46=-3.46;  d₂ = 21.33- 23.83 =-2.5; d₃ =21,03-20.2=0,83,

d₄ =16,17-16.56=-0,39; d₅ =12 -12.93=-0,93;

d₆ = 10,09-9.3=0.79;  d₇ = 4.67- 5.67 =-1.0.

 

Наибольшее по абсолютной величине отклонение равно 3.46.

 

 

 

. ЛИТЕРАТУРА

 

1. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А.  Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М. Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1988. 477 с.
2. Сборник задач по математике (для ВТУЗов) / специальные курсы /. Под ред. А.В. Ефимова. М. Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1984

      3. Жевняк Р.М. Карпук А.А. Высшая математика. Ч.5. Мн. Вышэйшая       школа. 1988

      4.  Статистика. Показатели и методы анализа (справочное пособие) под.ред.доктора экономических наук, проф. М.М.Новикова Мн. Современная школа  2005г.

      5.   Гринберг  А.С. Плющ О.Б. Новыш Б.В. Теория  вероятностей и математическая   статистика. Курс лекций. (Система  открытого образования). Мн. Академия  управления при Президенте  Республики  Беларусь2005