Корреляционный анализ

Корреляционный  анализ

Содержание

 

Определение формы связи

Выбор формы связи

Аналитическое выражение связи

Измерение тесноты связи

Множественная корреляция

Методы  измерения тесноты связи

Список  использованной литературы

1 Определение формы связи

 

Корреляционный анализ решает две основные задачи:

Первая  задача заключается в определении  формы связи, т.е. в установлении математической формы, в которой  выражается данная связь.

Это очень  важно, так как от правильного  выбора формы связи зависит конечный результат изучения взаимосвязи между признаками.

Вторая  задача состоит в измерении тесноты, т.е. меры связи между признаками с целью установить степень влияния  данного фактора на результат.

Она решается математически путем определения  параметров корреляционного уравнения.

Затем проводятся оценка и анализ полученных результатов при помощи специальных  показателей корреляционного метода (коэффициентов детерминации, линейной и множественной корреляции и  т.д.), а также проверка существенности связи между изучаемыми признаками.

 

2 Выбор формы связи

 

Определяющая  роль в выборе формы связи между  явлениями принадлежит теоретическому анализу. Так, например, чем больше размер основного капитала предприятия (факторный  признак), тем больше при прочих равных условиях оно выпускает продукции (результативный признак).

С ростом факторного признака здесь, как правило, равномерно растет и результативный, поэтому зависимость между ними может быть выражена уравнением прямой Y=a+b*x, которое называется линейным уравнением регрессии.

Параметр b называется коэффициентом регрессии и показывает, насколько в среднем отклоняется величина результативного признака у при отклонении величины факторного признаках на одну единицу. При x = 0 a = Y. Увеличение количества внесенных удобрений приводит, при прочих равных условиях, к росту урожайности, но чрезмерное внесение их без изменения других элементов к дальнейшему повышению урожайности не приводит, а, наоборот, снижает ее.

Такая зависимость может быть выражена уравнением параболы Y=a+b*x+c*x².

Параметр c характеризует степень ускорения или замедления кривизны параболы, и при c>0 парабола имеет минимум, а при c<0 - максимум. Параметр b, характеризует угол наклона кривой, а параметр a - начало кривой.

Однако  с помощью теоретического анализа  не всегда удается установить форму связи. В таких случаях приходится только предполагать о наличии определенной формы связи. Проверить эти предположения можно при помощи графического анализа, который используется для выбора формы связи между явлениями, хотя графический метод изучения связи применяется и самостоятельно.

 

3 Аналитическое выражение связи

 

Применение  методов корреляционного анализа  дает возможность выражать связь  между признаками аналитически - в  виде уравнения - и придавать ей количественное выражение. Рассмотрим применение приемов корреляционного анализа на конкретном примере.

Допустим, что между стоимостью основного  капитала и выпуском продукции существует прямолинейная связь, которая выражается уравнением прямой Y=a+b*x.

Необходимо  найти параметры a и b, что позволит определить теоретические значения Y для разных значений x. Причем a и b должны быть такими, чтобы было достигнуто максимальное приближение к первоначальным (эмпирическим) значениям теоретических значений Y. Эта задача решается при помощи способа наименьших квадратов, основное условие которого сводится к определению параметров a и b, таким образом, чтобы

 

.

 

Математически доказано, что условие минимума обеспечивается, если параметры a и b, определяются при помощи системы двух нормальных уравнений, отвечающих требованию метода наименьших квадратов:

 

 

Первое  уравнение есть сумма всех первоначальных уравнений. Второе получается умножением обеих частей уравнения прямой на один и тот же множитель.

Математически доказано, что условие  соблюдается, если в качестве такого множителя принять значение факторного признака, т.е. если уравнение прямой умножить на х. Кроме рассмотренных функций связи в экономическом анализе часто применяются степенная, показательная и гиперболическая функции. Степенная функция имеет вид Y=ax^b.

Параметр b степенного уравнения называется показателем эластичности и указывает, на сколько процентов изменится  у при возрастании х на 1 %. При  х = 1 a = Y.

Для определения  параметров степенной функции вначале  ее приводят к линейному виду путем логарифмирования: lg y=lg a+ blg x, а затем строят систему нормальных уравнений:

 

Решив систему двух нормальных уравнений, находят логарифмы параметров логарифмической функции a и b, а затем и сами параметры a и b. При помощи степенной функции определяют, например, зависимость между фондом заработной платы и выпуском продукции, затратами труда и выпуском продукции и т.д.

Если  факторный признака x растет в арифметической прогрессии, а результативный у - в геометрической, то такая зависимость выражается показательной функцией Y=a+b^x. Для определения параметров показательной функции ее также вначале приводят к линейному виду путем логарифмирования: lg y=lg a+ xlg b, а затем строят систему нормальных уравнений:

 

 

Вычислив  соответствующие данные и решив  систему двух нормальных уравнений, находят параметры показательной  функции a и b.

В ряде случаев обратная связь между факторным и результативным признаками может быть выражена уравнением гиперболы:

Y=a+b/x.

И здесь задача заключается  в нахождении параметров a и b при  помощи системы двух нормальных уравнений:

 

 

При помощи гиперболической функции изучают, например, связь между выпуском продукции  и себестоимостью, уровнем издержек обращения (в процентах к товарооборот и товарооборотом в торговле, сроками уборки и урожайностью и т.д.).

Таким образом, применение различных функций  в качестве уравнения связи сводится к определению параметров уравнения  по способу наименьших квадратов  при помощи системы нормальных уравнений.

В малых  совокупностях значение коэффициента регрессии подвержено случайным колебаниям. Поэтому возникает необходимость в определении достоверности коэффициента регрессии. Достоверность коэффициента регрессии определяется так же, как и в выборочном наблюдении, т.е. устанавливаются средняя и предельная ошибки для выборочной средней и доли.

Средняя ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

 

 

где σ²₀ - случайная дисперсия;

σ² - общая дисперсия,

n - число  коррелируемых пар.

 

4 Измерение тесноты связи

 

Чтобы измерить тесноту прямолинейной  связи между двумя признаками, пользуются парным коэффициентом корреляции, который обозначается r.

Так как  при корреляционной связи имеют  дело не с приращением функции в связи с изменением аргумента, а с сопряженной вариацией результативных и факторных признаков, то определение тесноты связи, по существу, сводится к изучению этой сопряженности, т.е. того, в какой мере отклонение от среднего уровня одного признака сопряжено с отклонением другого. Это значит, что при наличии полной прямой связи все значения (х-X) и (у-Y) должны иметь одинаковые знаки, при полной обратной - разные, при частичной связи знаки в преобладающем числе случаев будут совпадать, а при отсутствии связи - совпадать примерно в равном числе случаев.

Для оценки существенности коэффициента корреляции пользуются специально разработанной таблицей критических  значений r.

Коэффициент корреляции r применяется только в тех случаях, когда между явлениями существует прямолинейная связь. Если же связь криволинейная, то пользуются индексом корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

 

где у - первоначальные значения;

- среднее значение;

Y - теоретические  (выровненные) значения переменной  величины.

Показатель остаточной, случайной дисперсии определяется по формуле:

 

 

Она характеризует  размер отклонений эмпирических значений результативного признака у от теоретических Y, т.е. случайную вариацию.

Общая дисперсия:

 

 

характеризует размер отклонений эмпирических значений результативного признака у от  , т.е. общую вариацию.

Отношение случайной дисперсии к общей  характеризует долю случайной вариации в общей вариации, а

 

 

есть  не что иное, как доля факторной  вариации в общей, потому что по правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме факторной и случайной дисперсий:

 

σ²=σ²_Y+σ²₀.

 

Подставим в формулу индекса корреляции соответствующие обозначения случайной, общей и факторной дисперсий  и получим:

 

 

Таким образом, индекс корреляции характеризует  долю факторной вариации в общей:

 

 

однако  с той лишь разницей, что вместо групповых средних берутся теоретические  значения Y.

Индекс  корреляции по своему абсолютному значению колеблется в пределах от 0 до 1.

При функциональной зависимости случайная вариация  , индекс корреляции равен 1. При отсутствии связи R = 0, потому что Y=y.

Коэффициент корреляции является мерой тесноты  связи только для линейной формы  связи, а индекс корреляции - и для  линейной, и для криволинейной. При прямолинейной связи коэффициент корреляции по своей абсолютной величине равен индексу корреляции:

 

|r|=R.

 

Если  индекс корреляции возвести в квадрат, то получим коэффициент детерминации

 

R²=σ²_Y/σ².

 

Он характеризует  роль факторной вариации в общей вариации и по построению аналогичен корреляционному отношению η².

Как и  корреляционное отношение, коэффициент  детерминации R²может быть исчислен при помощи дисперсионного анализа, так как дисперсионный анализ позволяет расчленить общую дисперсию на факторную и случайную.

Однако  при дисперсионном анализе для  разложения дисперсии пользуются методом  группировок, а при корреляционном анализе - корреляционными уравнениями.

Коэффициент детерминации является наиболее конкретным показателем, так как он отвечает на вопрос о том, какая доля в общем результате зависит от фактора, положенного в основание группировки.

При прямолинейной  парной связи факторную дисперсию  можно определить без вычисления теоретических значений Y по следующей  формуле:

 

5 Множественная корреляция

 

До сих  пор мы рассматривали корреляционные связи между двумя признаками: результативным (у) и факторным (х). Например, выпуск продукции зависит не только от размера основного капитала, но и от уровня квалификации рабочих, состояния оборудования, обеспеченности и качества сырья и материалов, организации труда и т.д. В связи с этим возникает необходимость в изучении, измерении связи между результативным признаком, двумя и более факторными. Этим занимается множественная корреляция.

Множественная корреляция решает три задачи. Она  определяет:

форму связи;

тесноту связи;

влияние отдельных факторов на общий результат.

Определение формы связи.

Определение формы связи сводится обычно к отысканию уравнения связно с факторами x,z,w,...v. Так, линейное уравнение зависимости результативного признака от двух факторных определяется по формуле

 

=a₀+a₁x+a₂z

 

Для определения  параметров а₀, a₁и а₂, по способу наименьших квадратов необходимо решить следующую систему трех нормальных уравнений:

 

 

Измерение тесноты связи.

При определении  тесноты связи для множественной  зависимости пользуются коэффициентом множественной (совокупной) корреляции, предварительно исчислив коэффициенты парной корреляции. Так, при изучении связи между результативным признаком y и двумя факторными признаками - х и z, нужно предварительно определить тесноту связи между у и х, между у и z, т.е. вычислить коэффициенты парной корреляции, а затем для определения тесноты связи результативного признака от двух факторных исчислить коэффициент множественной корреляции по следующей формуле:

 

 

где r_xy, r_zy, r_zx - парные коэффициенты корреляции.

Коэффициент множественной корреляции колеблется в пределах от 0 до 1. Чем он ближе  к 1, тем в большей мере учтены факторы, определяющие конечный результат.

Если  коэффициент множественной корреляции возвести в квадрат, то получим совокупный коэффициент детерминации, который  характеризует долю вариации результативного  признака у под воздействием всех изучаемых факторных признаков.

Совокупный  коэффициент детерминации, как и при парной корреляции, можно исчислить по следующей формуле:

 

R²=σ²_y/σ²_y

 

где σ²_Y - дисперсия факторных признаков,

σ²_y - дисперсия результативного признака.

Однако  вычисление теоретических значений Y при множественной корреляции и сложно, и громоздко. Поэтому факторную дисперсию σ²_Yисчисляют по следующей формуле:

 

Проверка  существенности связи при множественной  корреляции по сути ничем не отличается от проверки при парной корреляции.

Поскольку факторные признаки действуют не изолированно, а во взаимосвязи, то может возникнуть задача определения  тесноты связи между результативным признаком и одним из факторных  при постоянных значениях прочих факторов. Она решается при помощи частных коэффициентов корреляции. Например, при линейной связи частный коэффициент корреляции между х и у при постоянном z рассчитывается по следующей формуле: