Методы статистического моделирования надежности

Метод статистического моделирования  надежности

(Метод Монте-Карло).

4.1 Метод  Монте-Карло

     Метод Монте-Карло  (метод статистических испытаний) - численный метод решения различных  задач при помощи моделирования  случайных событий. В приложении  к физике M.-К. м. можно определить  как метод исследования физ.  процесса путём создания и  эксплуатации стохастической модели, отражающей динамику данного  процесса.(4)

          M.-К. м. был сформулирован в 1949 в работах Дж. Неймана (J. Neumann), С. Улама (S. Ulam), H. Метрополиса (N. Metropolis). Предшественник M.-К. м. - статистическое моделирование, известное ещё в 19 в. Классическим примером такого моделирования является "игла Бюффона", т. е. получение числа p путём случайного бросания иглы на горизонтальную поверхность, расчерченную сеткой равноотстоящих параллельных линий. С появлением быстродействующих компьютеров метод обрёл второе рождение и получил в 1949 назв. "метод Монте-Карло".(2)

4.2 Техника  моделирования.

    Обычно M.-К. м.  реализуют в виде программы  на универсальной ЭВМ. Ранее  применялись механические устройства, ныне всё чаще используют спец. моделирующие устройства с применением микропроцессоров. С помощью таких устройств получен ряд результатов в статистической физике и квантовой теории поля.

    Для реализации  случайной величины в M.-К. м.  традиционно используют датчики,  генерирующие случайную последовательность  чисел, равномерно распределённых  на интервале (0,1). Различают три  типа случайных чисел. Истинно  случайные числа можно вырабатывать, напр., преобразуя случайные сигналы  от радиоактивного источника  или от шумового диода. Таким  способом можно достаточно быстро  получать большие последовательности  некоррелированных случайных чисел.  В расчётах на ЭВМ используют  псевдослучайные числа, полученные  с помощью некоторого алгоритма.  Назначение такого алгоритма  - генерировать числа, которые  похожи на случайные, хотя, строго говоря, они детерминированы. Необходимы спец. исследования и тесты, чтобы убедиться в достаточной случайности таких чисел (равномерность распределения, отсутствие корреляций и пр.). Квази (Квази... - Начальная часть сложных слов, вносящая значения: 1) мнимый, ненастоящий (квазиреволюционер, квазисоциалист, квазиученый и т.п.); 2) похожий, подобный (квазиалмазный, квазилинейный, квазичастица и т.п.). )случайные числа также получают при помощи некоторого алгоритма, причём в основу алгоритма закладывают требование равномерного заполнения точками заданного многомерного объёма. Известен ряд алгоритмов, дающих точки, распределённые в гиперкубе более равномерно, чем случайные и псевдослучайные. Следствием лучшей равномерности является более быстрая сходимость результата.

4.3 Применения  метода Монте - Карло.

    В нейтронной физике основными задачами являются моделирование прохождения потока нейтронов в среде, расчёт коэффициента размножения нейтронов в ядерном реакторе, расчёт защиты реактора и др. Используют как прямое, так и косвенное моделирование. В первом случае в объёме реактора моделируют набор некоторого числа нейтронов с заданными скоростями (первое поколение). Для каждого нейтрона прослеживают его судьбу (поглощение, вылет из реактора, деление). Образовавшиеся в результате деления нейтроны - это второе поколение, судьбу которых прослеживают аналогично. После моделирования достаточно большого числа поколений можно оценить критичность режима реактора. Метод удобен тем, что позволяет учитывать любую геом. форму реактора, наличие неоднородных примесей и пр. Однако время расчётов может быть существенно больше, чем при косвенном моделировании, когда движение нейтронов описывают интегральным уравнением переноса. Для решения уравнения составляют цепь Маркова. Характеристики поведения системы (в т. ч. и коэффициент размножения) являются функционалами от состояний этой цепи и могут быть оценены стандартными методами.

В физике элементарных частиц одним из первых применений M.-К. м. было моделирование электронно-фотонных ливней. Успех метода в приложении к этой задаче определяется тем, что  классическое описание процесса, хотя и не представляет принципиальных трудностей, практически бесполезно из-за чрезмерно  большого числа переменных. Решение  проблемы с помощью M.-К. м. сводится к последующему моделированию судьбы каждой частицы (гамма-кванта, электрона или позитрона), участвующей в процессе, и моделированию соответствующего элементарного акта взаимодействия. При этом возникают параметры вторичных частиц, судьбу которых прослеживают аналогично. Имеется ряд прикладных программ, работающих по этому принципу, однако для сверхвысоких энергий (~1 ТэВ) прослеживание всех частиц ливня требует нереально большого машинного времени.

Важное практическое применение M.-К. м. нашёл в ядерной  геофизике. Широкое использование  нейтронного и гамма-каротажа при поиске полезных ископаемых делает актуальными задачи переноса излучения в многокомпонентной среде и оценки функции отклика прибора с учётом реальных геологических и технических условий измерения. Решение этих задач основано на применении M.-К. м.?

В 1980-х гг. прямое статистическое моделирование  стало применяться в аэро- и гидромеханике. Типичной задачей в этой области является обтекание тела произвольной геометрии высокоскоростной струёй разреженного газа. Процесс описывается нелинейным уравнением Больцмана, и оценки экспериментальных величин (напр., распределение потоков импульса и энергии на поверхности тела) проще получаются с применением M.-К. м.

4.4 Достоинства  метода

Достоинства метода статистического  моделирования заключаются:

-  в возможности не всегда использовать аналитические выражения, связывающие показатели надежности ТУ и его элементов;

-  в простоте учета различных законов распределения времени до отказа и времени восстановления работоспособности ТУ;

-  в возможности использовать различные способы отображения временных изменений значений показателей надежности (гистограммы, средние значения, дисперсия и другие).

В настоящее время метод статистического  моделирования надежности является достаточно популярным. В комплексе  с расчетными методами и методами натуральных испытаний он представляет собой перспективный аппарат  исследования особенностей поведения  и безотказности сложных ТУ.