Методы статистического прогнозирования

где – теоретические уровни;

 – средняя урожайность;

 – среднегодовой абсолютный прирост;

 – обозначение времени.

Для определения параметров а и b способом наименьших квадратов решим систему нормальных уравнений:

 

    (26)

 

Так как t – обозначение времени, ему можно задать такие значения, чтобы сумма t была равна нулю. Система при этом упрощается:

 

     (27)

 

Отсюда находим значения параметров a и b

    (28)

 

    (29)

 

Установим уравнение тренда для  Покровского района. Определим для  этого параметры a и b, используя приложение 1.

 ц/га

 ц/га

 

Уравнение тренда имеет вид:

 

Подставляя в уравнение  тренда значение t для каждого года рассчитаем теоретическую урожайность.

 

 и т.д.

 

За период 1988-2000 гг. урожайность  зерновых культур в Покровском районе имела тенденцию снижения в среднем  на 0,9 ц/га. Средняя урожайность за изучаемый период составила 18,9 ц/га.

Определим среднегодовой темп роста  по выровненным уровням по формуле:

 

,    (30)

где и – конечный и начальный теоретические уровни, рассчитанные по тренду.

n – число уровней.

Для Покровского района среднегодовой  темп роста равен:

 

 

За период 1988-2000 гг. урожайность  зерновых культур в Покровском районе ежегодно уменьшалась в среднем  на 4,8% или на 0,9 ц/га.

Определим показатели колеблемости по Покровскому району:

1. Размах колебаний. Рассчитывается по формуле (1)

 

 ц/га

Рассчитаем размах колебаний  по формуле:

 

    (31)

где максимальный и минимальный уровни динамического ряда.

 ц/га

В Покровском районе разность между  уровнями урожайности зерновых культур  урожайного и неурожайного годов  составила 15,1 ц/га; разность же между  отклонениями фактических уровней  от тренда – максимальным и минимальным составила 11 ц/га.

2. Среднее линейное отклонение. Рассчитаем по формуле (2)

 

 ц/га

За период 1998-2000 гг. урожайность  зерновых культур в Покровском районе отклонялось от уровня тренда на 3,3 ц/га.

3. Среднее квадратическое отклонение. Рассчитаем по формуле (3)

 

 ц/га

 

За период 1988-2000 гг. урожайность  зерновых культур отклонялась от уровня тренда в среднем на 4,14 ц/га.

4. Коэффициент колеблемости. Рассчитаем по формуле (4)

 

Расчеты показали, что  колеблемость урожайности является умеренной и составляет 21,9% среднего многолетнего уровня. Это означает, что урожайность зерновых культур  в Покровском районе ежегодно отклонялась  от многолетнего уровня в среднем  на 21,9%.

Рассчитаем коэффициент устойчивости по формуле (5)

, 78,1%

В среднем ввиду ежегодной  колеблемости обеспечивается 78,1% уровня, рассчитанного по тренду.

Определим тип колебаний  по числу «поворотных точек». Среднеожидаемое  число поворотных точек в ряду случайно распределенных отклонений фактических уровней от тренда определяем по формуле (6).

 

 

Среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле (7)

 

 

По ряду отклонений фактических  уровней от теоретических (см. приложение 1) определяем фактическое число поворотных точек

Так как  входит в пределы то подтверждается гипотеза о случайном распределении колебаний урожайности зерновых культур во времени.

Таблица 3

Уравнения основной тенденции  динамики, показатели колеблемости, определение  степени и типа колеблемости урожайности  зерновых культур в Покровском районе

Средняя урожай-ность ц/га	Уровнение тренда, t=0 в 1994 г.	Показатели колеблемости				Степень колебле-мости	Коэф-фици-ент устой-чивости	Фак-тичес-кое число  «пово-ротных точек»	Кm 26	Тип колеб-лемости
		абсолютные			отно-ситель-ный, %
18,9	=18,9-0,9t	15,1	3,3	4,14	21,9	умеренное	78,1	6	733 2,82	случаный

Так как рассчитанный выше показатель устойчивости не отражает эволюции уровней и характеризует  устойчивость уровней ряда при минимальных  колебаниях, то для оценки устойчивости динамики урожайности зерновых культур рассчитаем коэффициент корреляции рангов Спирмента, который определяется по формуле:

 

 

где d – разность рангов уровней изучаемого ряда и рангов лет в ряду;

n – число пар наблюдений.

Коэффициент рангов лет и уровней динамического ряда может принимать значения в пределах от 1 до 1. Если уровень каждого года выше предыдущего, то ранги уровней ряда и лет совпадают, т.е. непрерывность роста. При К_р =0 рост неустойчив. Чем ближе К_р к –1, тем устойчивее снижение изучаемого показателя.

Рассчитаем коэффициент корреляции рангов Спирмена для урожайности  зерновых культур по Покровскому  району по формуле (8).

 

Таблица 4

Годы	ранги	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Урожайность, ц/га		19,2	23,0	27,4	20,2	26,4	25,7	19,5	13,9	13,1	13,6	13,6	12,3	18,2
pt		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
py		7	10	13	9	12	11	8	5	2	3	4	1	6
d		6	8	10	5	7	5	1	-3	-7	-7	-7	-11	-7
d2		36	64	100	25	49	25	1	9	49	49	49	121	49

 

Рассчитанный коэффициент устойчивости динамики урожайности зерновых культур в Покровском районе свидетельствует о наличии устойчивого снижения изучаемого показателя.

В процессе экономического анализа важно установить роль систематической  и случайной колеблемости урожайности зерновых культур. Для этого рассчитываются следующие показатели:

• Общая дисперсия

 

,    (33)

 

где – фактические уровни ряда;

 – средний уровень ряда за период;

n – число уровней

По Покровскому району общая  дисперсия равна 

Этот показатель характеризует  общую колеблемость урожайности  зерновых культур, обусловленную как  стихийными метеорологическими факторами, так и управляемыми факторами.

• Остаточная (случайная) дисперсия. Рассчитывается по формуле:

 

    (34)

 

Этот показатель обобщает отклонения фактической урожайности  от теоретической, обусловленные в  основном причинами, не зависящими от человека и прежде всего метеорологическими условиями.

• Коэффициент случайной колеблемости. Характеризует роль случайных факторов в общей колеблемости урожайности, чем ниже этот показатель, том меньше зависит урожайность от метеофакторов. Он рассчитывается по формуле:

 

   (35)

 

 

За период 1988-2000 гг. в ежегодной  колеблемости урожайности зерновых культур в Покровском районе роль случайных факторов, не зависящих  от человека, измерялась 54%.

• Факторная (объясненная) дисперсия

 

  (36)

 

Этот показатель характеризует  систематическую колеблемость урожайности  зерновых культур, обусловленную управляемыми факторами.

• Коэффициент детерминации. Характеризует влияние величины факторной дисперсии на общую дисперсию чем больше этот показатель, тем больше зависит урожайность от уровня агротехнических мероприятий и других управляемых факторов, и наоборот. Он рассчитывается по формуле:

 

   (37)

 

За период 1988-2000 гг. в ежегодной колеблемости урожайности зерновых культур в Покровском районе роль управляемых факторов измерялась 46%

• Индекс корреляции. Рассчитывается по формуле:

 

   (38)

 

 

Этот показатель характеризует зависимость урожайности от уровня агротехники, организации и управления производством. Зависимость между урожайностью и управляемыми факторами в Покровском районе сильная. Коэффициент корреляции существенен, так как согласно критерию Фишера при доверительной вероятности 0,95 и n = 13 существенными являются коэффициенты корреляции свыше 0,5139.

Теперь составим точечный и интервальный прогноз урожайности  зерновых культур в Покровском районе Орловской области на 2002 год. За период 1988-2000 гг. в Покровском районе уравнение тренда урожайности зерновых культур составило

 

 

Обозначение времени t в 2002 году будет равно восьми (t₍₂₀₀₂₎ = 8).

 

 ц/га

Интервальный прогноз  рассчитывают с учетом ежегодной  колеблемости урожайности. Зная коэффициент колеблемости, рассчитаем среднее квадратическое отклонение для 2002 года по формуле:

 

 ц/га

 

В 2002 году урожайность  зерновых культур в Покровском районе будет в пределах

Составим прогноз среднегодового уровня урожайности зерновых культур по Покровскому району 2001-2002 гг. Для этого сначала рассчитаем среднюю урожайность для года, стоящего в середине срока упреждения, так как точечный прогноз среднегодового уровня равен точечному прогнозу уровня, рассчитанного по тренду для года, стоящего в середине срока упреждения. Уравнение тренда по Покровскому району имеет вид:

 

 

Средняя урожайность  в 2002 году будет равна

 

Рассчитаем среднюю ошибку прогноза среднегодовой урожайности. Для этого сначала определим среднюю ошибку точечного прогноза для однократного выравнивания по прямолинейному тренду по формуле (9)

 

 ц/га

 

Тогда средняя ошибка прогноза среднегодовой урожайности по формуле (14) равна

 

 ц/га

 

Вероятная ошибка прогноза с вероятностью 0,95 (t критерий Стеодента при числе степеней свободы n-2(13-2=11) и уровне значимости 0,05 равен 2,2010) составляет

 ц/га

 

Таким образом с вероятностью 0,95 следует ожидать среднегодовой уровень урожайности зерновых культур в Покровском районе за 2001-2002 гг. в пределах