Нелинейная парная регрессия

Гуманитарно-экономический и информационно-технологический институт

 

 

 

 

Практическая работа

Дисциплина: Эконометрика

Тема: Нелинейная парная регрессия

 

 

 

 

 

Выполнил: Коркин А.Ю.

Принял: Полынникова Е.Г.

Оценка: ___________

Подпись преподавателя: ___________

 

 

 

 

Москва, 2013 г.

Задание:

На основании статистических данных показателя Y и фактора Х найти оценки параметров линии регрессии, если предположить, что стохастическая зависимость между фактором Х и показателем Y имеет вид:

Используя критерий Фишера с надежностью р=0,95, оценить адекватность принятой модели статистическим данным.

Если с заданной надежностью принятая математическая модель адекватна экспериментальным данным, то найти:

• с надежностью р=0,95 доверительную зону базисных данных;
• точечную оценку прогноза;
• с надежностью р=0,95 интервальную оценку прогноза;
• оценки коэффициентов эластичности для базисных значений и прогноза;
• оценку индекса корреляции.

 

Построить графики:

• фактических данных;
• линии регрессии и ее доверительную зону;
• линии эластичности.

 

 

Ход работы:

Вводится гипотеза, что между фактором Х и показателем Y существует такая стохастическая зависимость .

Для того чтобы привести нелинейную парную регрессию к линейной регрессии вида производим ряд преобразований, а именно: Y1=1/Y, Х1=е-х.

Оценки параметров a и b парной регрессии вычисляются по формулам

Для расчетов используем возможности Excel. Используя статистические данные находим X1, Y1 и необходимые для расчетов а и b промежуточные данные. Далее находим коэффициенты а и b.

Подставляя полученные значения a и b, получаем прогнозные значения показателя Y1p, и, произведя обратные преобразования – Yр.

Далее находим доверительный интервал исследуемой переменной Yр: Ymin и Ymax.

Ymin=Yp-∆Y;    Ymax=Yp+∆Y,   где ∆Y вычисляется по формуле:

  ,

где tкр – критерий Стьюдента, S - стандартное отклонение остатков, характеризующие разброс данных наблюдений относительно линии регрессии, Т – количество статистических значений.

Определяем tкр. Для этого используется встроенная функция Oo Calc TINV (α, Т-(k+1)). Определим параметры: α - уровень значимости (α = 0,05) — с вероятностью верного ответа 0,95. Т – число наблюдений; Т=15.         

k – число факторов уравнения; k=1. Получаем: tкр=2,16.

Стандартное отклонение остатков S вычисляется по формуле:

;  S=6,14

Далее рассчитываем коэффициент эластичности Kel.

 

Табл. 1. Оценка параметров нелинейной регрессии

Y	X	Y1	X1	Y1*X1	X1^2	Y1p	Yp	(Y-Yp)^2	(Y-Yc)^2	(X-Xc)^2	Dy	Ymin	Ymax	Kkor	Kel
2,72	1,10	0,368	0,333	0,122	0,111	0,372	2,690	0,000923	0,636006	0,737452	0,055	2,635	2,744	0,685	0,198
2,91	1,33	0,344	0,264	0,091	0,070	0,339	2,953	0,001843	0,369056	0,395327	0,045	2,908	2,998	0,382	0,218
3,18	1,58	0,314	0,206	0,065	0,042	0,310	3,223	0,001832	0,113906	0,143452	0,036	3,186	3,259	0,128	0,238
3,50	1,81	0,286	0,164	0,047	0,027	0,290	3,451	0,002404	0,000306	0,022127	0,031	3,420	3,482	0,003	0,254
3,71	2,09	0,270	0,124	0,033	0,015	0,270	3,698	0,000139	0,037056	0,017227	0,031	3,667	3,729	0,025	0,274
3,88	2,32	0,258	0,098	0,025	0,010	0,258	3,875	0,000028	0,131406	0,130502	0,036	3,839	3,911	0,131	0,290
4,06	2,59	0,246	0,075	0,018	0,006	0,247	4,052	0,000069	0,294306	0,398477	0,045	4,007	4,097	0,342	0,310
4,18	2,85	0,239	0,058	0,014	0,003	0,238	4,193	0,000173	0,438906	0,794327	0,056	4,137	4,249	0,590	0,329
Хр=	3,00		0,050		0,002	0,235	4,263			1,084202	0,063	4,200	4,326		0,341
28,14	15,67	2,324	1,322	0,416	0,284	2,324	28,134	0,007411	2,020950	2,638888				2,286
n=	8,00	Х1с=	0,165	Хс=	1,959	R=	1,00	F(0,05;1;6)=	5,99
a=	0,485	У1с=	0,291	Ус=	3,518	Kkor=	0,99	Fрасч=	1630,22
b=	0,210			S=	0,035		0,99	t(0,95;6)=	2,45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. График статистических данных

 

 

Рис. 2. График линии регрессии

 

 

 

Рис. 3. График коэффициента эластичности

 

Для оценки адекватности принятой эконометрической модели экспериментальным данным используем коэффициент детерминации R2 и критерий Фишера F.

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

 ,    R2=1

Необходимо сравнить расчетное значение Fрасч с табличным Fтабл. Табличное значение F-критерия для вероятности Р = 0,95 определяется встроенной функцией Excel FРАСПОБР (α, k, n-2), где  α - уровень значимости , k – число факторов (k=1),  n – число измерений (n=8).

Fтабл= F(0,05;1;6)=5,99.

Fрасч определяется по формуле:

,    Fрасч=1630,22

 

 

Выводы:

1. Поскольку Fрасч> Fтабл, то с надежностью Р=0,95 можно считать, что принятая математическая модель адекватна экспериментальным данным и на основании этой модели можно проводить экономический анализ и находить значения прогноза.
2. Для Хр=3,00 точечная оценка прогноза показателя имеет значение Yp=4,26. С вероятностью Р=0,95 прогноз показателя будет принимать значения в интервале от 4,20 до 4,33.
3. Для прогнозного значения среднее значение коэффициента эластичности равняется 0,34. Это означает, что изменение фактора на 1% приведет к изменению показателя в среднем на 0,34%.
4. Коэффициент детерминации R2=1, что говорит об очень тесной связи фактора и показателя.