Обработка данных натурных наблюдений методами математической статистики

 

 

 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЁТНЫХ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

     3.1 Определение мер положения

 

Целью исследования является определение центра распределения:

Среднее арифметическое значение (основной показатель, входящий в характеристику большинства законов распределения) является первым начальным моментом и вычисляется по следующей формуле:

                                                                       (4)

где Xср – среднее арифметическое значение выборки (мг/л);

      Xi – элементы выборки (мг/л),

Если учитывать, что ряд натурных наблюдений вариационный и сгруппированный, то среднее арифметическое значение можно рассчитать по следующей зависимости:

(мг/л),                                                           (5)

                                                                

где Xi*- среднее арифметическое значение каждого интервала (мг/л),

                  ni – частота каждого интервала.

(мг/л)

 

 

Мода-значение, имеющее максимальную частоту, т.е. наиболее часто встречаемое значение случайной величины в выборке. Оно определяется по формуле:

(мг/л),                                          (6) 

где X0 – начало модального интервала (мг/л),

      ni – начало модального интервала,

      ni-1 и ni+1 – частоты предыдущего и последующего за модальным интервалом.

Модальным называется интервал с наибольшей частотой.

мг/л),       

 

(мг/л)       

                            

Медиана (определение серединного элемента выборки):

(мг/л),                                                         (7)

 

где X0 – начало медианного интервала,

      Ti-1 – сумма частот, предшествовавших медианному интервалу,

      ni – частота медианного интервала.

 

Медианный интервал определяется по серединному элементу вариационного ряда. Если в вариационном ряду чётное количество значений ,то нет серединного элемента. Необходимо определить два центральных элемента, найти среднее арифметическое, как полу сумма их. Полученное значение подставляется в границы интервалов.

 

(мг/л),                                                        

 

3.2 Меры рассеивания

Характеристикой рассеивания или отклонения случайной величины от центра распределения выступает дисперсия – второй центральный момент.

Согласно методу моментов дисперсия определяется по формуле:

(мг/л)2                                                     (8)

 

Для определения стандартного отклонения из дисперсии извлекается квадратный корень, полученная величина называется средним квадратичным отклонением и называется δ(мг/л). δ=

Нормированное отклонение определяется коэффициентом вариации

                                                                        (9)

 

3.3 Характеристики формы кривой распределения

Характеристиками формы кривых распределения выступают третий и четвёртый центральные моменты.

Третий центральный момент характеризует асимметричность ряда, т.е. неравномерность распределения случайной величины относительно центра и определяется по формуле:

(мг/л)3                                                          (10)

 

Безразмерный коэффициент асимметрии (СS) определяется отношением третьего центрального момента к кубу среднего квадратичного отклонения.

Четвёртый центральный момент характеризует форму симметричной кривой распределения:

(мг/л)4                                                        (11)                    

Показателем остро- или плосковершинности выступает коэффициент эксцесса (Сe), который определяется отношением четвёртого центрального момента к среднему квадратичному отклонению в четвёртой степени, за вычетом коэффициента три.

Общая формула для расчёта центральных моментов

,                                                        (12)

                                                     ,

                                                       L=2,3,4.

Таблицы 2

 

Определение центральных выборочных моментов

 

К	ni				Zi4
1	2	-4,085	16,687	-68,167	278,463	33,374	-136,335	556,927
2	13	-1,895	3,591	-6,805	12,895	46,683	-88,465	167,641
2	7	0,295	0,087	0,026	0,008	0,609	0,180	0,053
2	4	2,485	6,175	15,345	38,133	24,701	61,382	152,534
2	3	4,675	21,856	102,175	477,668	65,567	306,525	1433,005
6	1	6,87	47,197	324,243	2227,547	47,197	324,243	2227,547
∑	30	∑				218,108	467,5272	4537,5395

 

1) Zi1 = 18,405 – 22,49= -4,085                                                                                   

2) Zi2 = 20,595 – 22,49= -1,895                                                                                               3) Zi3 = 22,785 – 22,49= 0,295                                                                                                              4) Zi4 = 24,975 – 22,49= 2,485                                                                                                       5) Zi5 = 27,165 – 22,49= 4,675

6) Zi6 = 29,36 – 22,49= 6,87

 

(мг/л)2 ,        δ= (мг/л),    

 

(мг/л)3 ,      

 

(мг/л)4 ,   

3.4 Изучение формы распределения

˂33% - ряд однородный

            ;  ;     21,01<21,69<22,49

 

4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ

 

Для графического изображения рядов распределения применяют гистограмму (кривая распределения плотности вероятностей, дифференциальная кривая распределения).

С помощью гистограммы (кривая распределения плотности вероятностей, дифференциальная кривая распределения) эмпирического распределения можно предугадать вид генеральной совокупности (случайной величины, подчиняющейся определённой функциональной зависимости).

 

Таблица 3

Определение ординат эмпирических кривых распределения

 

	Границы интервалов, мг/л	Частота, ni	Относительная частота, nотн	Приведённая  частота, nпр
1	2	3	4	5
1.	[17,31 ; 19,5]	2	0,06	0,027
2.	[19,5 ; 21,69]	13	0,43	0,196
3.	[21,69 ; 23,88]	7	0,23	0,105
4.	[23,88 ; 26,07]	4	0,13	0,059
5.	[26,07 ; 28,26]	3	0,1	0,045
6.	[28,26 ; 30,46]	1	0,03	0,014

 

,

 

1) nотн1 = 2/ 30 = 0,06                                        nпр1 = 0,06/ 2,19 = 0,027                                                                                           2)nотн2 = 13/ 30 = 0,43                                    nпр2 = 0,43/ 2,19 = 0,196                                                                                               3) nотн3 = 7 / 30 = 0,23                                      nпр3 = 0,23/ 2,19 = 0,105                                                                                             4) nотн4 = 4 / 30 = 0,13                                     nпр4 = 0,13/ 2,19 = 0,059                                                                                5) nотн5 =  3 / 30 = 0,1                                     nпр5 = 0,1 / 2,19 = 0,045                                                                                                      6) nотн6  = 1 / 30 = 0,03                                    nпр6 = 0,03 / 2,19 = 0,014

 

nотн – относительная частота определяется отношением эмпирической частоты к объёму выборки и характеризует вероятность появления случайной величины в каждом интервале.

nпр – приведённая частота или плотность распределения случайной величины в заданном интервале.

 

 

 

 

 

 

Гистограмма 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Определение существенности асимметрии:  
 
   

                                                                   =0.41   
 
= =1.92    1.92<3

 
Вывод: асимметрия несущественна для выборки, при подборе генеральной совокупности можно воспользоваться симметричными кривыми

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ    

 5.1 Критерий однородности

Вопросы удлинения данных натурных рядов преследует цель корректировки статистических параметров. Для проверки выборок в сходстве формирования случайных величин используют статистические критерии однородности. Результатом статистического анализа на однородность является объединение двух в одну или отрицание однородности между сравниваемыми совокупностями. Для расчётов используют критерии однородности параметрический – критерий Фишера; непараметрический – критерий Вилкоксона.

Критерий Фишера основан на равенстве дисперсий выборок, распределённых приближённо нормально. Расчётное значение критерия Фишера определяется по следующей формуле:

                                                                              (13)

причём необходимо выполнение условия Dx ˃Dy ,где

Dx – дисперсия выборки X,

Dy – дисперсия выборки Y.

Для определения области допустимых значений необходимо задаться уровнем значимости и числом степеней свободы (для практических расчётов уровень значимости принимаем равным 0,05, число степеней свободы рассчитываем по следующей зависимости: mx=Nx-1,my=Ny-1).

Используя таблицы F-распределения (Приложение 2),определяется критическое значение критерия в зависимости от выбранного уровня значимости и числа степеней свободы. Если выполняется условие, при котором расчётное значение не превосходит критическое, то можно предположить, что ряды однородны и сравниваемые выборки можно объединить в один ряд.

Из непараметрических критериев однородности можно выделить статистический критерий однородности Вилкоксона. Расчёты проводим в следующем виде и последовательности: значения обеих выборок (X и Y) упорядочиваются вместе по величине, с учётом выборки из которого взято значение. Сумма инверсий определяется следующим образом: по построенному вариационному ряду из двух сравниваемых выборок проводят подсчёт инверсий (инверсией считается величина, характеризующаяся следующим неравенством xi˃ yi ) т.е. определяют, сколько значений Y - выборки находится перед каждым значением X – выборки. Расчётное значение критерия Вилкоксона определяется по формуле:

                                                                     (14)

 

Критическое значение статистического критерия Вилкоксона определяется по таблицам или с помощью формулы:

,                                                         (15)

где коэффициент Za определяется по формуле:

                                                                        (16)

где Ф0 – функция нормированного и центрированного закона нормального распределения (Приложение 1).

Допустим, необходимо сравнить две выборки на принадлежность их генеральной совокупности.

 

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	17,31	19,18	19,68	19,76	19,95	20,63	20,71	20,78	20,79	21,01
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	21,15	21,15	21,18	21,21	21,31	21,81	22,05	22,73	22,83	23,33
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	23,65	23,69	24,09	24,66	25,53	25,79	26,36	26,82	27,05	30,46