Парный и множественный регрессионный анализ

Оглавление

Введение 3

1 Парный регрессионный анализ 4

2 Множественный регрессионный анализ 8

Заключение 11

Список литературы: 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Лаборатория производит анализ продуктов, которые обрабатываются при определенной температуре X₁ (t, °С),  и в которые добавляются для увеличения срока годности определенные консерванты Х₂ (мг). В готовом продукте может содержаться некоторое количество нежелательных веществ Y (в долях к общей массе). Х₁ и Х₂ даны в относительных единицах (абсолютные значения t Î [60; 80]; консервант Х₂Î [0,5; 1]), Y - в абсолютных.

Таблица 1

№	X1i	Х2i	Yi
1	3	6	0,015
2	6	4	0,014
3	4	7	0,013
4	9	1	0,012
5	1	10	0,015
6	9	2	0,009
7	2	9	0,016
8	8	1	0,009
9	5	5	0,014
10	3	7	0,016
11	4	6	0,012
12	7	3	0,012
13	2	8	0,011
14	10	2	0,01
15	7	4	0,011

Необходимо  определить зависимость Y = f(Х₁,Х₂) и установить значения Х₁ и Х₂, которые обеспечивают номинал Y_ном. =0,009; 0,010; 0,011; 0,01 г. Определить ошибку e, которая соответствует установленному номиналу Y_ном.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Парный регрессионный анализ

Поле корреляции(;y)

 

 

 

 

 

Поле корреляции(;y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Расчитаем коэффициент корреляции

 

= == - 0,73

=== 0,70

Полученный  коэффициент корреляции подтверждает что связь между температурой обработки и количеством вредных  веществ обратная(чем ниже температура тем больше колчиство вредных веществ),связь между количеством консервантов прямая(чем больше консервантов те выше количество вредных веществ).

 

2. Найдём параметры уравнения парной линейной регрессии

 

=== -0,0006

 

== 0,00051

 

=-*= 0,0126-(-0,0006)*5,33= 0,0157

 

= -* = 0,0126-0,00051*5=0,0100

 

Уравнения регрессии можно  записать так:

 

 =0,0157+(-0,0006)*

 

= 0,0100+0,00051*

Полученные уравнения  могут быть объяснены следующим  образом: если температура повысится на один градус, то количество вредных веществ в продукте в среднем уменьшится на -0,0006 доли к общей массе,если количество консервантов в продукте повысится на 1г., то количество вредных веществ увеличится на 0,00051.

3. Оценим значимость уравнения регрессии

   Квадрат коэффициента  корреляции называется коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака, объяснённую вариацией факторного признака.

   Оценка статистической  значимости построенной модели  регрессии в целом производится  с помощью F- критерия Фишера.

   Сформулируем гипотезы: : = 0; : 0.

Определим фактическое значение F-критерия:

=*(n-2) = =15,6

=*(n-2) = =12,48

 

Сравним полученное фактическое  значение критерия с табличным:

=4,67

   Так как ,то отклоняется, построенная модель регрессии значима.

  Проверка статистической  значимости коэффициента регрессии  проверяется с помощью t- критерия Стьюдента.

   Сформулируем гипотезы: : b=0 (линейной зависимости нет); : b0(линейная зависимость есть).

   Определим фактическое  значение t- критерия:

== = -0,3

= = = 0,00012

= = = 0,002

= = = 3,93

= = = 0,035

   Сравним полученное фактическое значение критерия с табличным.

= 2,14;

 ;

 .

Следовательно коэффициент  регрессии незначим.

4.    Определим доверительный интервал для коэффициента парной регрессии.

   Для расчёта доверительного интервала определим предельную ошибку

= ; = 2,14*0,053 = 0,113

Расчитаем доверительные интервалы:

= ±; = ±0,113;

= -; = - 0,113 = - 0,113;

= +; = +0,113 = 0,112;

= ±; = 1,29 ± 0,113;

= -; =0,00051 - 0,113 = - 0,112;

= +; = 0,00051+0,113 = 0,113;

Следовательно можно сделать  вывод: с увеличением  температуры  на 1количество вредных веществ увеличится в пределе от - 0,113 до 0,112,при увеличение количества консервантов на 1г. вредных веществ увеличится в пределе от- 0,112 до 0,113.

 

 

 

 

 

2 Множественный регрессионный  анализ

1.    Определим частные и множественные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи  между результативным и факторным  признаком при фиксированном  воздействии других факторов, включённых в уравнение регрессии. Их можно  определить используя парные коэффициенты корреляции.

1. Определим частные коэффициенты корреляции:

= == - 0,73

 

=== 0,70

 

= = = -0,96

2. Определим множественный коэффициент корреляции:

R = = = 0,58

 

Проведём расчёт параметров линейного уравнения множественной  регрессии.

= *; = *;

 

Найдём среднеквадратические отклонения:

= = = 2,79;

= = = 2,77;

 

= = = 0,00000424;

 

= * =26,4;

 

=*;

a = --* = 0,0126-(-0,45)*5,33-(-6,24)*5= 33,6

Уравнение регрессии имеет  вид:=33,6 +(- 0,45x1)+( x2

Проверим значимость уравнения  регрессии:

Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в  целом производится с помощью  F-критерия Фишера. Сформулируем гипотезы: : = 0; : 0.

Определим фактическое значение F-критерия:

 

=*= *= 6,103

= 4,75

Сравнивая расчётное и  критическое значения F-критерия, приходим к выводу о необходимости принять гипотезу , т.к.

  . Исходя из этого делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи R, которые сформировались под неслучайным воздействием факторов x1и x2.

Статистическая значимость коэффициентов регрессии проверяется  с помощью t-критерия Стьюдента.

   Сформулируем гипотезы: : =0 (коэффициент значим); : 0(коэффициент не значим).

Определим фактическое значение t- критерия:

= = = - 0,17

=÷=÷= 2,55

Сравним полученное фактическое  значение критерия с табличным.

 

= 2,18;

 ;

Сформулируем гипотезы для  второго коэфициента: : =0 (коэффициент не значим); : 0(коэффициент  значим).

Определим фактическое значение t- критерия:

= = = - 4,04

= ÷ = ÷ = 1,542

Сравним полученное фактическое  значение критерия с табличным.

 

= 2,18;

 ;

Следовательно можно принять гипотезу.

2. Построим доверительный интервал для коэффициентов регрессии.

 = ±*= 26,4±2,18*2,55;

 

 = ±*= -6,24±2,18*1,542;

 31,959

-9,601 -2,878

 

 

 

Заключение

   В данной работе исследована зависимость температуры от количества консервантов в продукте и доли нежелательных веществ. С этой целью построены парные и одномножественное уравнения регрессии; определенны парные, частные и множественные коэффициенты корреляции; определены доверительные интервалы.

Анализ построенных моделей  показал, что лучшими являются модели:

= 0.53

= 0.49

   Модель множественной регрессии

-1,791 5,709

-9,601 -2,878

показала, что фактор доля нежелательных веществ  оказывает значимое влияния на температуру.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

 

1. *Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник /Под ред. И.И.Елисеевой. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 1998.
2. Общая теория статистики: Учебник /Под ред. А.А. Спирина, О.Э. Баши*Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник. для студ. экон. спец. М.: Статистика, 1979.
3. *Сиденко А.В., Попов Г.Ю., Матвеева В.М.  Статистика: Учебник. М.: Дело и сервис, 2000.
4. www.tmei.ru