Проверка статистических гипотез

Пусть задана выборка

 

 

объёма , полученная при наблюдении за случайной величиной X (признак выборки). Заданы так же надёжность для построения доверительных интервалов оценок параметров распределения случайной величины Х, уровень значимости для проверки статистических гипотез.

 

Задание 1

1. Наблюдаемая выборка может представлять собой процент неработающего населения Советского района города Нижнего Новгорода в период 30 месяцев.
2. Построим вариационный ряд выборки, исключив из неё повторяющиеся варианты и подсчитав их частоты . Получим так же и относительные частоты . Результат приведен в таблице 2, а на рис. 2 построен полигон частот для заданной выборки

 

Таблица 2

 

	7,3	7,35	7,4	7,45	7,5	7,55	7,6	7,65	7,7	7,75	7,8
	1	0	0	0	1	1	4	0	2	0	2
	0,033	0	0	0	0,033	0,033	0,133	0	0,067	0	0,067
	7,3	0	0	0	7,5	7,55	30,4	0	15,4	0	15,6
-	-0,6	-0,55	-0,503	-0,45	-0,4	-0,35	-0,3	-0,25	-0,2	-0,15	-0,1
	0,364	0	0	0	0,163	0,125	0,368	0	0,083	0	0,021

 

7,85	7,9	7,95	8	8,05	8,1	8,15	8,2	8,25	8,3	Σ
0	5	0	5	1	2	0	2	0	4	30
0	0,167	0	0,167	0,033	0,067	0	0,067	0	0,133	1
0	39,5	0	40	8,05	16,2	0	16,4	0	33,2	237,1
-0,05	0	0,047	0,097	0,147	0,197	0,247	0,297	0,347	0,397
0	6Е-05	0	0,047	0,022	0,077	0	0,176	0	0,629	2,0747

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Подсчитаем выборочные параметры.

Выборочное среднее ,   .

Выборочную дисперсию ,   .

Выборочное среднеквадратичное отклонение ,   .

Уточненную выборочную дисперсию .

Выборочный стандарт .

 

Задание 2

Величины Xср, Dут, Sслучайные и являются точечными оценками математического ожидания M[X]и дисперсии D[X] и среднеквадратического отклонения наблюдаемой в выборке случайной величины X.

2.1. Предполагая, что наблюдаемая величина X имеет нормальное распределение, построим доверительные интервалы для математического ожидания a=M[X] и среднеквадратического отклоненияпри уровне надежности

Поскольку известно, что величина имеет распределение Стьюдента с n-1степенью свободы, то решая уравнение относительноможно построить симметричный интервал , в котором с вероятностью находится математическое ожидание. Величина представляет собой точность оценки. Решение есть обращенное распределение Стьюдента, оно протабулировано и может быть найдено из таблиц, например из [1,2 приложение 3].

В рассматриваемом примере , и тогда доверительный интервал для математического ожидания будет 7,903-0,1346<a<7,903+0,1346или 7,7684<a<8,0376.

Для нахождения доверительного интервала оценки среднеквадратического отклонения воспользуемся тем, что величинаимеет распределение <<X>>и с n-1степенью свободы. Задавшись надежностью интервальной оценки и решая уравнение относительно можно построить доверительный интервал. Переходя к эквивалентному уравнению , где из таблиц, например [1,2 приложение 4], тогда точность оценки Доверительный интервал строится таким образом:или или.

В нашем примере тогда и доверительный интервал будет следующий

0,2675-0,115025<<0,2675+0,115025 или 0,152475<<0,382525.

В нем оцениваемый параметр находится с вероятностью

2.2 Отметим, что построенные доверительные интервалы являются областями принятия гипотез и при их проверке с уровнем значимости . Теперь проверим гипотезу о равенстве математического ожидания и дисперсии наблюдаемой случайной величины указанным в задании гипотетическим значениям , .

Проверим сначала гипотезу о том, что истинная дисперсия наблюдаемой величины равна , т.е. . Зададимся уровнем значимости гипотезы и альтернативными гипотезамиили . Для проверки основной гипотезы воспользуемся критерием .

Наблюдаемое значение критерия . Критическая область Ккрпри альтернативной гипотезе Н1двухсторонняя, а критические точки найдем из таблиц , . Видим, что kнаблне принадлежит критической области и значит, гипотеза принимается, т.е. отличие наблюдаемого значения дисперсии от гипотетического не значительны. Если в качестве альтернативной рассматривать гипотезу Н2, поскольку значительно (20%), то при этом критическая область будет правосторонней, а критическую точку найдем из таблиц. Тогда наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область и проверяемая гипотеза отвергается. Результат проверки гипотезы при различных альтернативах оказался разным, в итоге гипотеза отвергается.

Проверим теперь гипотезу о том, что истинное математическое ожидание наблюдаемой величины равна, т.е. . Зададимся уровнем значимости гипотезы и альтернативными гипотезамиили . Для проверки основной гипотезы воспользуемся критерием Стьюдента .

Наблюдаемое значение критерия . Критическая область Ккр при альтернативной Н1двухсторонняя, а критические точки найдем из таблиц . Видим, что принадлежит критической области и значит, гипотеза отвергается, т.е. отличие наблюдаемого значения дисперсии от гипотетических значительны. Если в качестве альтернативной рассматривать гипотезу , поскольку значительно (20%), то критическая область левосторонняя, а критическая точка , тогда наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область и проверяемая гипотеза опять отвергается. Результат проверки гипотезы при различных альтернативах оказался одинаковым, в итоге гипотеза отвергается.

 

Задание 3

3.1. Посмотрим гистограмму выборки ХВкак удобную форму представления выборочного распределения. Для этого разобьем наблюдаемый интервал значений в выборке на mравновеликих интервалов

;   ;  m=

Количество интервалов разбиения mвыбирается исходя из свойств выборки, рекомендуется использовать формулу , m=5,73 примем m=5. Граничные точки интервалов, и их центры вычисляем по формулам следующим образом:

;   .

Подсчитав для каждого интервала частоты попадания в него элементов выборки и относительные частоты , сведем все результаты расчета наблюдаемых частот , в следующую таблицу 3 и посмотрим гистограмму частот.

	7,3-7,5	7,5-7,7	7,7-7,9	7,9-8,1	8,1-8,3
+0,5	7,4	7,6	7,8	8	8,2
	2	7	7	8	6	30
	0,067	0,233	0,233	0,267	0,2	1