Ряды динамики

     В случае интервального ряда его средний уровень определяется по формуле простой средней арифметической величины из уровней ряда, т.е.

=  
     Если имеется моментный ряд, содержащий n уровней (y1, y2, …, yn) с равными промежутками между датами (моментами времени), то такой ряд легко преобразовать в ряд средних величин. При этом показатель (уровень) на начало каждого периода одновременно является показателем на конец предыдущего периода. Тогда средняя величина показателя для каждого периода (промежутка между датами) может быть рассчитана как полусумма значений у на начало и конец периода, т.е. как  . Количество таких средних будет  . Как указывалось  ранее, для рядов средних величин средний уровень рассчитывается по средней арифметической. Следовательно, можно записать 
. 
После преобразования числителя получаем 
,

где Y1 и Yn — первый и последний уровни ряда;   Yi  —  промежуточные уровни.

     Эта средняя   известна в статистике как средняя хронологическая для моментных рядов.

     В случае неравных промежутков между датами среднюю хронологическую для моментного ряда можно рассчитать как среднюю арифметическую из средних значений уровней на каждую пару моментов, взвешенных по величине расстояний (отрезков времени) между датами, т.е.

. 
     В данном случае предполагается, что в промежутках между датами уровни принимали разные значения, и мы из двух известных (yi и yi+1) определяем средние, из которых затем уже рассчитываем общую среднюю для всего анализируемого периода.

     Если же предполагается, что каждое значение yi  остается неизменным до следующего (i+1)-го момента, т.е. известна  точная дата изменения уровней, то расчет можно осуществлять по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где  – время, в течение которого уровень  оставался неизменным.

     Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели – среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения.

     Базисное среднее абсолютное изменение представляет собой частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений. То есть

Б =

     Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда представляет собой частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений, то есть

Ц =

     По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными. Наряду со средними абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное тоже базисным и цепным способами.

     Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле

Б= = 

     Цепное среднее относительное изменение определяется по формуле

Ц=

     Естественно, базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность.

     Вычитанием 1 из базисного или цепного среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики.

 

3. Проверка ряда на наличие тренда. Непосредственное выделение тренда

     Способы и методы выявления тренда:

1)Увеличение интервалов.

     Первоначальный ряд динамики заменяется другим рядом, уровни которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Новые уровни образуются суммированием старых.

2)Вычисление средних уровней  для укрупненных интервалов.

     Является частным случаем первого метода.

3)Определение скользящей  средней – для первоначального  ряда динамики формируются увеличенные  интервалы, состоящие из одинакового  количества уровней. Каждый новый  интервал получается из предыдущего  смещением на один уровень.

     Пусть существует n уровней ряда динамики. Укрупненные интервалы включают m уровней. Элементы нового ряда строятся по следующей схеме:

     Недостатком метода является сокращение нового ряда как минимум на 2 значения.

4)Аналитическое выравнивание  – в основе метода лежит  функциональная зависимость уровня  ряда от времени, т.е. функция вида  . Метод предполагает установление вида функции с использованием корелляционного анализа. На практике чаще всего применяют математические функции следующего вида:

1.линейная:

2.параболическая:

3.гиперболическая:

4.степенная:

     Коэффициенты , определяются эконометрическими методами. С точки зрения статистики существуют следующие правила выравнивания:

1)выравнивание по уравнению  прямой линии целесообразно в  том случае, когда абсолютные  приросты ряда динамики примерно  одинаковы, т.е. уровни ряда изменяются  приблизительно в арифметической  прогрессии.

2)выравнивание по уравнению  квадратической параболы целесообразно  при изменении уровня ряда  с одинаковым ускорением или  замедлением.

3)выравнивание по уравнению  степенной функции – выравнять  ряд возможно, если его уровни  изменяются примерно в геометрической  прогрессии.

 

4. Сезонные колебания и волны

     Сезонные колебания в ряду динамики характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.

     Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

     Для выявления сезонных колебаний обычно используют данные за несколько лет (не менее трех), распределенные по месяцам.

     Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за 3 года ( ), затем из них вычисляется уровень для всего ряда ( ), далее определяется процентное отношение средних для каждому месяцу к общему среднемесячному уровню ряда:

     В случае, если ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то, прежде чем приступить к вычислению сезонной волны, необходимо обработать фактические данные таким образом, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого применяется аналитический способ выравнивания ряда.

     Подобно сезонной компоненте, в ряду динамики может также присутствовать циклическая компонента, представляющая собой волнообразное движение , но более продолжительная и менее предсказуемая, чем сезонная компонента. Сущность классического метода устранения циклической компоненты заключается в исключении (или усреднении) основной тенденции и сезонной компоненты из ряда динамики, тогда в ряду останется циклическая компонента.

 

5. Прогнозирование

5.1 Элементы прогнозирования социально-экономических процессов

     Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, т.е. прогноз основан на экстраполяции.

     Теоретической основой распространения тенденций на будущее является концепция инерционности социально-экономических явлений.

     Экстраполяцию следует рассматривать как начальную стадию построения окончательных прогнозов.

     Чем шире раздвигаются временные рамки прогнозирования, тем очевиднее становится недостаточность простого экстраполяционного метода (изменения тенденций, неопределенность точек поворота кривых, появление новых факторов и т.д.). Поскольку анализируемые социально-экономические ряды динамики нередко относительно короткие, то горизонт экстраполяции должен быть краткосрочным. Поэтому, чем короче срок экстраполяции (период упреждения), тем более надежные и точны результаты (при прочих равных условиях) дает прогноз.

     Экстраполяцию в общем виде можно представить зависимостью:

 

Где - прогнозируемый уровень;

-текущий уровень прогнозируемого  ряда;

T- период упреждения;

-параметр уравнения тренда.

     В зависимости от того, какие принципы и исходные данные положены в основу прогноза, выделяются следующие простейшие методы экстраполяции:

Среднего абсолютного прироста;

Среднего темпа роста;

На основе выравнивания рядов по какой-либо аналитической формуле.

     Прогнозирование по среднему абсолютному приросту применяется в случае, когда есть основания считать абсолютную тенденцию линейной, т.е. метод основан на предположении о равномерном стабильном изменении уровня. В данном случае экстраполяция осуществляется по зависимости:

, где  -экстраполируемый уровень;

- номер этого уровня (года);

i - номер последнего уровня (года) исследуемого периода, за который  рассчитан;

t – срок прогноза (период  упреждения);

- средний абсолютный прирост.

     Следует иметь в виду, использование среднего абсолютного прироста для прогноза возможно только при выполнении следующего условия:

, где 

.

      Прогнозирование по среднему темпу роста осуществляется в случае, когда установлено, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения тенденции необходимо определить средний коэффициент роста, возведенный в степень, соответствующую периоду экстраполяции.

, где  - последний уровень ряда динамики;

t – срок прогноза;

- средний коэффициент роста.

     Рассмотренные выше способы экстраполяции являются весьма приближенными.

5.2.Метод аналитического  выравнивания и прогнозирование

     Наиболее распространенным методом прогнозирования является метод аналитического выравнивания тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода продолжают значения независимой переменной времени (t) в правой части формулы аналитического выравнивания.

     В целом ошибки экстраполяции можно объяснить следующими причинами:

выбранная для прогнозирования кривая не является единственной, всегда можно подобрать кривую, которая более точно описывает рассматриваемое явление;

построение прогноза всегда осуществляется на базе ограниченного объема исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой. Поэтому и кривая, по которой осуществляется прогноз, также будет содержать случайную компоненту;

установленная тенденция характеризует лишь движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения от него отклоняются. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

     Исходя из вышеперечисленного, для утверждения о достоверности прогноза необходимо построение доверительных интервалов.

Величина доверительного интервала определяется по формуле:

, где  - расчетное значение уровня;

- доверительная величина;

- средняя квадратическая ошибка  тренда.

     При анализе рядов динамики иногда приходится прибегать к определению некоторых неизвестных уровней внутри данного ряда динамики, т.е. к интерполяции.

     Как экстраполяция, так и интерполяция могут проводиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и с помощью аналитического выравнивания.

 

3. Анализ динамики  ВВП РФ

Анализ динамики ВВП РФ по источникам доходов за период с 2002 по 2011 гг.

Исходные данные:

Валовый внутренний продукт по источникам доходов

(в текущих ценах, млрд. руб.)

	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Внутренний валовый продукт в рыночных ценах	10819,2	13208,2	17027,2	21609,8	26917,2	33247,5	41276,8	38807,2	45172,7	54585,6
Оплата труда наемных работников	5065,1	6231,4	7845,0	9474,3	11985,9	15526,1	19559,8	20411,6	22533,7	27167,6
Чистые налоги на производство и импорт	1847,2	2112,5	2875,5	4248,4	5386,7	6334,3	8218,4	6474,5	8252,4	10899,1
Валовая прибыль экономики и валовые смешанные доходы	3906,9	4864,3	6306,7	7887,1	9544,6	11387,1	13498,6	11921,1	14386,7	16518,9