Сезонные колебания и методы их изучения

Теоретическая часть

Тема: Сезонные колебания и методы их изучения

Сезонными называют колебания, связанные со сменой времен года и повторяющиеся поэтому ежегодно.

Часто объемы производства и потребления имеют существенные сезонные колебания (они происходят в течение года). Так, от времени года существенно зависят потребление топлива, производство сельскохозяйственных продуктов и пр. Для изучения сезонных колебаний обычно используется метод одногодичных или многолетних средних.

Метод одногодичных средних используется, когда нет резких перепадов в уровнях ряда, чаще всего помесячной динамики в течение 1 года.

Исследование сезонности сводится к расчету индексов (коэффициентов) сезонности для каждого месяца (квартала) внутри года по формуле

(темп роста по отношению  к у, за базу взято среднее значение), где

где   - число временных интервалов в году (при  , то речь идет о месячных колебаниях, при   - о квартальных). Индексы сезонности являются, таким образом, отношением уровней каждого месяца к среднемесячному уровню за весь год, которые обычно выражаются в процентах. Под сезонными колебаниями понимаются устойчивые изменения какого-либо явления внутри отдельно взятого периода.

Виды сезонных колебаний по форме могут быть выпуклыми или вогнутыми: выпуклыми, когда явление возрастает к середине года и снижается к началу или концу (строительство, добыча полезных ископаемых открытым способом, торговля и т. д.); вогнутым, когда явление снижается к середине года и возрастает к концу (торговля товарами зимнего ассортимента, мясная промышленность, сахарная, электроника, потребление тепла и т. д.).

Виды сезонных колебаний по промежутку времени - это колебание внутри года, месяца, квартала, рабочего дня.

Расчеты сезонных колебаний зачастую проводят с помощью ряда Фурье:

где   - выравненные уровни ряда;   - параметры уравнения; сost, sint - тригонометрические функции, соответствующие каждому месяцу года;   - номер гармоники;   - взятое количество гармоник.

Параметры уравнения ряда Фурье рассчитываются по формулам:

В табл. 1 приведены данные о продаже женской летней обуви по одному району города.

 

 

 

Таблица 1. Данные о продаже женской летней обуви по району города

Ме-сяц		Продано обуви
1	0	37,0	37,0	0	35,0	37,0	0	37,9
2	/6	40,0	34,64	20,0	39,3	20,0	34,64	39,6
3	/3	44,0	22,0	38,1	45,5	-22,0	38,1	43,0
4	/2	52,0	0	52,0	51,7	-52,0	0	43,8
5	2 /3	46,0	-23,0	39,84	56,5	-39,84	-34,84	56,2
6	5 /6	70,0	-60,62	35,0	58,4	35,0	-60,6	61,0
7		60,0	-60,0	0	57,0	60,0	0	54,9
8	7 /6	48,0	-41,57	-24,0	52,7	24,0	41,57	53,0
9	4 /3	46,0	-23,0	-39,84	46,5	-23,0	39,84	44,0
10	3 /2	38,0	0	-38,0	39,3	-38,0	0	36,4
11	5 /3	36,0	18,0	-31,17	35,5	-18,0	-31,18	35,2
12	11 /6	35,0	30,31	-17,5	33,6	17,5	-30,31	36,2
Сумма		552	-66,24	34,43	551,0	17,5	-7,78	551,2

 

Рассчитаем сезонные колебания с помощью ряда Фурье по одной и двум гармоникам.

Решение. Параметры уравнения по одной гармо-нике будут следующие:

Результат его расчета приведен в колонке 6 (см. табл. 1).

Тогда уравнение по двум гармоникам будет иметь вид:

Результаты этого расчета представлены в последней колонке. О близости теоретических данных эмпирическим можно судить по равенству сумм, что свидетельствует о правильности выбранной функции сезонных колебаний. Сезонные колебания имеют большое значение в реальной действительности, поэтому умение их определить и количественно выразить помогает более надежно спрогнозировать и учесть колебания тех явлений, которые подвержены сезонности.

Представим графически данный временной ряд:

Ряд, сглаженный по первой гармонике представим графи-чески:

Ряд, сглаженный по двум гармоникам, представим графи-чески:

Задача № 1

Имеются данные о работе 24 заводов в одной из отраслей промышленности

№ п/п	Среднегодовая стоимость основных производствен-ных фондов, млн. руб.	Среднесписочное число работаю-щих за отчетный период, чел.	Производство про-дукции за отчетный период, млн. руб.	Выполнение плана, %
1	3,0	360	3,2	103,1
2	7,0	380	9,6	120,0
3	2,0	220	1,5	109,5
4	3,9	460	4,2	104,5
5	3,3	395	6,4	104,8
6	2,8	280	2,8	94,3
7	6,5	580	9,4	108,1
8	6,6	200	11,9	125,0
9	2,0	270	2,5	101,4
10	4,7	340	3,5	102,4
11	2,7	200	2,3	108,5
12	3,3	250	1,3	102,1
13	3,0	310	1,4	112,7
14	3,1	410	3,0	92,0
15	3,1	635	2,5	108,0
16	3,5	400	7,9	111,1
17	3,1	310	3,6	96,9
18	5,6	450	8,0	114,1
19	3,5	300	2,5	108,0
20	4,0	350	2,8	107,0
21	1,0	330	1,6	100,7
22	7,0	260	12,9	118,0
23	4,5	435	5,6	111,9
24	4,9	505	4,4	104,7

 

 

Требуется сгруппировать заводы по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав 5 групп заводов с равными интервалами, рассчитать по каждой группе и в целом:

• количество заводов и их удельный вес;

• среднесписочное число работающих;

• производство продукции;

• средний процент выполнения плана.

Проанализировать данные таблицы и сделать выводы.

Решение.

Шаг интервала

h= млн. руб.

для нахождения средних величин воспользуемся формулой средней арифметической

Составим таблицу

 

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	число предприятий, ni	удельный вес,	Среднесписочное число работающих за отчетный период, чел.	Производство продукции за отчетный период, млн. руб.	Выполнение плана, %
1-2,2	3	12,5%	273,3	1,9	103,9
2,2-3,4	9	37,5%	350,0	2,9	102,5
3,4-4,6	5	20,8%	389,0	4,6	108,5
4,6-5,8	3	12,5%	431,7	5,3	107,1
5,8-7	4	16,7%	355,0	11,0	117,8
всего	24	1,00	310	1,4	112,7

 

 

Из 24 предприятий 37,5% имеют среднегодовую стоимость основных производственных фондов от 2,2 до 3,4 млн. руб. в среднем на предприятии работают 310 человек, наибольшее количество работающих у предприятий имеющих среднегодовую стоимость основных производственных фондов  от 4,6 до 5,8 млн. руб. – 431,7 чел., при росте среднегодовой стоимости основных производственных фондов, наблюдается рост численности работников, исключением является группа предприятий с самой большой среднегодовой стоимостью основных производственных фондов, где наблюдается снижение численности работников. Производство продукции существенно растет при росте стоимости основных производственных фондов. Так же наблюдается рост % выполнения плана при  увеличении стоимости основных производственных фондов, исключением здесь является группа предприятий со стоимостью основных производственных фондов от 2,2 до 3,4 млн. руб., в ней самый низкий % выполнения плана.

 

Задача № 2

По данным варианта определить:

1. Показатели динамики с постоянной и переменной базой сравнения.

2. Графически изобразить ряд динамики в зависимости от номера варианта.

3. Рассчитать среднегодовые показатели динамики.

4. Произвести сглаживание ряда методом 3-х летней скользящей средней.

5. Выровнять ряд по прямой.

6. Построить графики искомого и выровненных рядов.

7. Использовать полученное уравнение для экстраполяции уровней на 2015 год.

8. Сделать выводы.

 

№ варианта	Годы	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
2.10	Выработка эл. энергии в РБ, млрд кВт ч	33,2	36,3	37,8	38,2	38,2	39,5	38,7

 

 

Варианты графиков:

столбиковая диаграмма

Год	Выработка эл. энергии в РБ, млрд кВт ч	Абсолютный прирост		Темп роста		Темп прироста		Абсолютное значение 1% прироста, Аi
		Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной
		∆yб	∆yц	Трб	Трц	Тпрб	Тпрц
2005	33,2
2006	36,3	3,1	3,1	109,3%	109,3%	9,3	9,3	0,332
2007	37,8	4,6	1,5	113,9%	104,1%	13,9	4,1	0,363
2008	38,2	5	0,4	115,1%	101,1%	15,1	1,1	0,378
2009	38,2	5	0	115,1%	100,0%	15,1	0,0	0
2010	39,5	6,3	1,3	119,0%	103,4%	19,0	3,4	0,382
2011	38,7	5,5	-0,8	116,6%	98,0%	16,6	-2,0	0,395

Решение

Решение

 

Абсолютный прирост

Базисный

∆yб=yI–y1

∆yб=36,3-33,2=3,1 млрд. кВтч.

Цепной

∆yц=yI–yI-1

∆yц=36,3-33,2=3,1 млрд. кВтч.

Темп роста

Базисный

Трб=yi/y1100%

Трб=36,3/33,2*100%=109,3%

Цепной

Трц=yi/yi-1100%

Трц=36,3/33,2*100%=109,3%

Темп прироста

Базисный

Тпрб=Трб-100%

Тпрб=109,3%-100%=9,3%

Цепной

Тпрц=Трц%-100%

Тпрц=109,3%-100%=9,3%

Абсолютное значение 1% прироста

АI=∆yц/Тпрц

АI=3,1/9,3=0,332 млрд. кВтч.

 

2) Среднегодовой розничный  оборот

Yср=(∑YI)/n

Yср=(33,2+36,3+37,8+38,2+38,2+39,5+38,7)/7=37,41 млрд. кВтч.

3) Среднегодовой абсолютный  прирост

∆y=(∑∆yI)/(n-1)

∆y=(3,1+1,5+0,4+0+1,3-0,8)/6=0,92 млрд. кВтч.

Среднегодовой темп роста

Т р ср=

Т р ср=

Среднегодовой темп прироста

Тпр ср= Т р ср-100%

Тпр ср=102,6%-100%=2,6%

Произвести сглаживание ряда методом 3-х летней скользящей средней.

годы		Выработка эл. энергии в РБ, млрд кВт ч , за три года	значение средней
2005	33,2
2006	36,3	=(33,2+36,3+37,8)/3	35,77
2007	37,8	=(36,3+37,8+38,2)/3	37,43
2008	38,2	=(37,8+38,2+38,2)/3	38,07
2009	38,2	=(38,2+38,2+39,5)/3	38,63
2010	39,5	=(38,2+39,5+38,7)/3	38,80
2011	38,7

 

 

Выровнять ряд по прямой

Уравнение прямой линии выражено формулой

Y=a0+a1t

 

Для нахождения параметров уравнения необходимо решить систему уравнений

Для упрощения расчетов выбираем t так чтобы

Тогда

a0=      a1=

составим расчетную таблицу

годы	Выработка эл. энергии в РБ, млрд кВт ч	условные годы, t	yt
2005	33,2	-3	-99,6	9
2006	36,3	-2	-72,6	4
2007	37,8	-1	-37,8	1
2008	38,2	0	0	0
2009	38,2	1	38,2	1
2010	39,5	2	79	4
2011	38,7	3	116,1	9
сумма	261,9	0	23,3	28