Средние величины (понятие, виды, способы расчёта, условия применения)

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИКИ

АЛТАЙСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ

ЭКОНОМИКО-ЮРИДИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра экономики и менеджмента

 

 

 

 

 

СТАТИСТИКА

Контрольная работа

на тему

«Средние величины (понятие, виды, способы расчёта, условия применения)»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Малинина 

Виктория Васильевна

Группа: 02-19-731/1-1

 

Проверила:

 

Нина Николаевна

 

 

 

 

 

Барнаул

2013

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Понятие средней величины

Средняя величина - это  обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средние показатели являются наиболее распространённой формой статистических показателей, используемых в социально-экономических  исследованиях. Средним называется обобщающий показатель статистической совокупности, характеризующий наиболее типичный уровень явления. Он выражает величину признака, отнесённую к единице совокупности. Особенности средних показателей заключаются в том, что они, во-первых, отражают то общее, что присуще всем единицам совокупности; во-вторых, в них взаимопогашаются те отклонения значений признака, которые возникают под воздействием случайных факторов. Это означает, что средний показатель отражает типичный уровень признака, формирующийся под воздействием основных доминирующих неслучайных факторов. Применение средних величин позволяет охарактеризовать определенный признак совокупности одним числом, несмотря на то, что у разных единиц совокупности значения признака отличны друг от друга.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Вычисление среднего - один из распространенных приемов  обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для  всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов. Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин:

1. Средняя должна определяться  для совокупностей, состоящих  из качественно однородных единиц.

2. Средняя должна исчисляться  для совокупности, состоящей из  достаточно большого числа единиц.

3. Средняя должна рассчитываться  для совокупности, единицы которой  находятся в нормальном, естественном  состоянии.

4. Средняя должна вычисляться  с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

Виды средних  величин и методы их расчета

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно  выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

Используются две категории  средних величин:

• степенные средние;
• структурные средние.

Первая категория степенных средних включает:  среднюю арифметическую,  среднюю гармоническую,  среднюю квадратическую и  среднюю геометрическую.

Вторая категория (структурные  средние) - это  мода и  медиана. Эти виды средних будут рассмотрены в теме «Ряды распределения».

Введем следующие условные обозначения:

 - величины, для которых исчисляется  средняя;

 - средняя, где черта сверху  свидетельствует о том, что  имеет место осреднение индивидуальных значений;

 - частота (повторяемость индивидуальных  значений признака).

Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:

 (5.1)

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя  геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

Средние величины бывают простые и взвешенные.  Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют  статистическим весом или весом средней.

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.

Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.

Доказательство:

Свойство второе (минимальное): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.

Доказательство.

Составим сумму квадратов  отклонений от переменной а:

 (5.4)

Чтобы найти экстремум  этой функции, необходимо ее производную  по а приравнять нулю:

Отсюда получаем:

 (5.5)

Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при  . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.

Свойство третье: средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:   при а = const.

Кроме этих трех важнейших  свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства, которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:

• если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
• средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;
• если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.

Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя  гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

 (5.6)

Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или  объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении  для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

Средняя геометрическая. Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической.

Для  простой средней геометрической

Для  взвешенной средней геометрической

 (5.9)

Средняя квадратическая величина. Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).

Формула  простой средней квадратической

 (5.10)

Формула  взвешенной средней квадратической

 (5.11)

В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней  величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач  статистического исследования. Выбор  средней предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего  показателя совокупности;

б) определение для  данного обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с  помощью соответствующего уравнения