Статистические игры

 

 

Иликпаева Е.А. (НЭПИ).  Конспект лекций

 

Математические  методы и модели в экономике

Статистические  игры

Введение

Многие экономические и финансовые процессы протекают в условиях неопределенности. Недостаточность информации порождает  неопределенность в принятии управленческих решений. Например, прогнозирование валового выпуска некоторой продукции на предприятии связано с риском, так как спрос на продукцию носит случайный характер и зависит от множества известных и неизвестных факторов. Таким образом, лицо, принимающее управленческое решение, вступает в игровые отношения с неопределенными в той или иной мере обстоятельствами, ситуациями. Такие ситуации принято называть природой, а принятие решений в условиях полной или частичной неопределенности – играми с природой или  статистическими играми. Задачей лица, принимающего решения, является принятие наилучшего, оптимального решения в этих ситуациях.

В отличие от обычной матричной игры, в которой  принимают участие два сознательных игрока, стремящихся минимизировать возможный выигрыш противника, статистическая игра характеризуется тем, что второй игрок – природа – безразличен к исходу игры. Напомним, что некоторые стратегии экономиста или природы могут находиться в отношении доминирования.  Если все элементы одной стратегии игрока  А, относительно которого составлена платежная матрица,   не больше соответствующих элементов другой, то первая стратегия называется доминируемой, а вторая доминирующей. Аналогично, если все элементы одной стратегии игрока  В  не меньше соответствующих элементов другой, то первая стратегия называется доминируемой, а вторая доминирующей. Естественно все доминируемые стратегии игроков  А  и  В  надо отбросить как невыгодные. В статистической игре отбрасывание доминируемых стратегий производится лишь для стратегий экономиста  (А). В отличие от матричной игры стратегии природы (В)  нельзя опускать, так как она не имеет умысла навредить экономисту.

Рассмотрим  игру с двумя игроками  А и В, где А – экономист, В - природа. Предположим, что игрок  А  имеет  m стратегий  (возможных решений) А₁, А₂, …, А_m , а игрок   В имеет n стратегий (ситуаций) B₁, B₂, … ,B_n. Качество  i-того  решения (i=1,2,…,m)  в условиях  j-той ситуации ( j=1,2,…,n) оценивается следующей платежной матрицей

которую называют также  матрицей эффективностей, матрицей доходов  или матрицей возможных решений. Элемент q_ij матрицы Q назовем выигрышем  экономиста, если он использует стратегию  А_i при состоянии природы  B_j. Наряду с матрицей эффективностей часто используется  матрица рисков

Матрица  R  имеет тот же размер, что и матрица  Q. Элементы  r_ij  матрицы рисков определяются так: 

Экономический смысл такого определения  состоит в следующем. Если игрок  В (природа)  выбрал стратегию B_j и игрок А (экономист)  знает об этом, то он постарается выбрать такую стратегию, которая принесет максимальный доход. Это соответствует выбору максимального элемента  j-того столбца. Если же игрок А  не знает о выборе игрока  В, то при выборе им стратегии A_i  у него возникает риск недополучить часть дохода в размере  r_ij. Особенность матрицы рисков состоит в том, что каждый ее столбец содержит хотя бы один ноль.

 

 

 

 

Принятие решения в условиях полной неопределенности

 

Критерий Вальда.  Данный критерий использует матрицу эффективностей и является критерием выбора максиминной стратегии, позволяющей получить нижнюю цену игры. В качестве оптимальной принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

Критерий Сэвиджа.  Данный критерий использует матрицу рисков и является критерием выбора минимаксной стратегии. В качестве оптимальной принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях минимизирует максимальный риск, т.е.

Очевидно, что критерии Вальда и  Сэвиджа ориентируют экономиста на самые неблагоприятные условия  природы и выражают пессимистическую оценку ситуации. В отличие от этих критериев критерий Гурвица является критерием пессимизма-оптимизма.

Критерий Гурвица.  Данный критерий использует также матрицу эффективностей и является критерием выбора взвешенной стратегии.  В качестве оптимальной принимается чистая стратегия, для которой выполняется соотношение

Здесь параметр  t  экономист выбирает в зависимости от некоторых дополнительных субъективных соображений. Если  t=0, то  c=q  и критерий Гурвица переходит в критерий Вальда. Таким образом, при  t=0  критерий Гурвица является критерием крайнего пессимизма.  Если  t=1, то

В этом случае критерий Гурвица переходит  в критерий крайнего оптимизма (розового оптимизма). На практике параметр  t  выбирают близким к 0,5, что соответствует принятию достаточно взвешенной стратегии.

 

 

Принятие решения в условиях частичной неопределенности

 

Частичная неопределенность предполагает знание вероятностей состояний природы:

P=(p₁, p₂, …,p_n)

В этом случае используют критерий Байеса. Показателями в этом критерии являются математическое ожидание эффективности, т.е. средняя ожидаемая эффективность или математическое ожидание риска, т.е. средний ожидаемый риск.

Критерий Байеса максимизации средней ожидаемой эффективности.  Данный критерий использует матрицу эффективностей и является критерием выбора оптимальной стратегии с учетом знания вероятностей состояния природы  Р.  В качестве оптимальной принимается чистая стратегия, которая максимизирует средний ожидаемый выигрыш, т.е.

где . 

Критерий Байеса минимизации среднего ожидаемого риска.  Данный критерий использует матрицу рисков и является критерием выбора оптимальной стратегии также с учетом знания вероятностей состояния природы  Р.  В качестве оптимальной принимается чистая стратегия, которая минимизирует средний ожидаемый риск, т.е.

где . 

Итак, решение статистической игры в условиях полной неопределенности по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица позволяет экономисту обоснованно принимать решение по выбору оптимальной стратегии. Решение статистической игры в условиях частичной  неопределенности по критериям Байеса позволяет экономисту более точно, чем в случае полной неопределенности, принимать решение по выбору оптимальной стратегии.  Ясно, что применение рассмотренных критериев дает экономисту больший выигрыш при принятии оптимального решения по сравнению с выигрышем на основе опыта и интуиции.