Статистический анализ средней продолжительности жизни в странах Африки

Таблица 36

Поточечные статистики

	Case Number	Actual Group	Highest Group					Second Highest Group			Discriminant Scores
			Predicted Group	P(D>d | G=g)		P(G=g | D=d)	Squared Mahalanobis Distance to Centroid	Group	P(G=g | D=d)	Squared Mahalanobis Distance to Centroid	Function 1
				p	df
Original	1	1	1	,078	1	1,000	3,108	2	,000	42,998	-4,791
	2	2	2	,911	1	1,000	,012	1	,000	21,932	1,655
	3	2	2	,390	1	1,000	,739	1	,000	31,967	2,626
	4	1	1	,242	1	1,000	1,370	2	,000	35,582	-4,199
	5	2	2	,123	1	,984	2,385	1	,016	10,563	,222
	6	1	1	,170	1	,993	1,886	2	,007	11,704	-1,655
	7	2	2	,439	1	1,000	,598	1	,000	16,169	,993
	8	2	2	,063	1	1,000	3,451	1	,000	44,250	3,624
	9	2	2	,432	1	1,000	,617	1	,000	31,138	2,552
	10	1	1	,206	1	1,000	1,598	2	,000	36,704	-4,292
	11	1	1	,185	1	1,000	1,756	2	,000	37,447	-4,353
	12	2	2	,819	1	1,000	,052	1	,000	25,236	1,995
	13	2	2	,484	1	1,000	,489	1	,000	16,770	1,067
	14	2	2	,713	1	1,000	,135	1	,000	26,651	2,134
	15	2	2	,645	1	1,000	,212	1	,000	27,614	2,227
	16	2	2	,582	1	1,000	,303	1	,000	18,012	1,216
	17	2	2	,802	1	1,000	,063	1	,000	20,643	1,515
	18	2	2	,987	1	1,000	,000	1	,000	23,149	1,783
	19	1	1	,285	1	1,000	1,143	2	,000	34,383	-4,097
	20	1	1	,952	1	1,000	,004	2	,000	23,571	-3,089
	21	1	1	,467	1	1,000	,528	2	,000	30,482	-3,755
	22	2	2	,866	1	1,000	,028	1	,000	24,630	1,935
	23	2	2	,719	1	1,000	,129	1	,000	19,667	1,407
	24	2	2	,928	1	1,000	,008	1	,000	23,860	1,857
	25	2	2	,975	1	1,000	,001	1	,000	23,293	1,798
	26	2	2	,727	1	1,000	,122	1	,000	26,457	2,116
	27	2	2	,224	1	1,000	1,479	1	,000	36,127	2,982
	28	2	2	,772	1	1,000	,084	1	,000	20,290	1,476
	29	1	1	,871	1	1,000	,026	2	,000	24,565	-3,190
	30	1	1	,053	1	,902	3,742	2	,098	8,179	-1,094
	31	1	1	,019	1	,559	5,512	2	,441	5,986	-,680
	32	2	2	,641	1	1,000	,217	1	,000	18,735	1,300
	33	1	1	,890	1	1,000	,019	2	,000	21,685	-2,890
	34	2	2	,899	1	1,000	,016	1	,000	24,216	1,893
	35	2	2	,889	1	1,000	,020	1	,000	21,663	1,626
	36	1	1	,787	1	1,000	,073	2	,000	20,470	-2,758
	37	1	1	,140	1	,988	2,183	2	,012	11,001	-1,550
	38	2	2	,169	1	,993	1,890	1	,007	11,695	,392

 

Таблица 36 показывает, что при анализе поточечных статистик не обнаружилось неправильно классифицированных наблюдения. При пошаговом методе тоже подобная ситуация не наблюдалась.

 

Общие выводы по работе

Для написания курсовой выбрали тему «Статистический анализ средней ожидаемой продолжительности жизни населения в странах Африки». Для анализа были отобраны такие показатели как территория стран, численность населения, коэффициент суммарной рождаемости число детей на 1 женщину, коэффициент смертности на 1000 жителей, коэффициент младенческой смертности на 1000 рождений, ВНП на 1 жителя.

В первых трех пунктах данные были предварительно исследованы на аномальные наблюдения и выбросы и на нормальный закон распределения и были сделаны следующие выводы:

К числу выбросов были отнесены Сейшельские острова.

Закон о нормальном распределении  действует только для двух показателей  – Х₄ (коэффициент смертности на 1000 жителей) и Х₅ (коэффициент младенческой смертности на 1000 рождений).

Во четвертом разделе был проведен корреляционный анализ, по которому были сделаны следующие выводы:

Значимые корреляционные обратные взаимосвязи обнаружены между  изучаемым признаком Y – ожидаемая продолжительность жизни населения при рождении и факторными признаками: X₃ – коэффициент рождаемости на 1000 жителей, X₄ – коэффициент смертности на 1000 жителей и X₅ – коэффициент младенческой смертности на 1000 рождений. Значимая корреляционная прямая взаимосвязь обнаружена между результативным признаком Y – ожидаемой продолжительностью жизни населения при рождении и факторным признаком X₆ – ВВП по ППС.

Не все значимые корреляционные зависимости, полученные на этапе расчёта парных коэффициентов корреляции подтвердились при вычислении частных коэффициентов корреляции. Связь между изучаемым признаком Y - ожидаемой продолжительностью жизни населения при рождении и факторными признаками X₃ (коэффициент рождаемости на 1000 жителей) и X₆ (ВВП по ППС) не подтвердилась при вычислении частных коэффициентов корреляции.

Наиболее сильная  связь, выявленная на этапе расчёта  парных коэффициентов корреляции, между факторными признаками X₂ (численность населения) и  X₆ (ВВП по ППС), подтвердилась при вычислении частных коэффициентов корреляции.

Взаимосвязи между факторными признаками X₁ (территория) и X₂(численность населения), X₁ (территория) и X₆(ВВП по ППС), X₃ (коэффициент суммарной рождаемости число детей на 1 женщину)и X₄(коэффициент смертности на 1000 жителей), X₄ (коэффициент смертности на 1000 жителей) и X₆(ВВП по ППС), X₅ (коэффициент младенческой смертности на 1000 рождений) и X₆(ВВП по ППС) не подтвердились при вычислении частных коэффициентов корреляции.

Воздействие других переменных усиливает взаимосвязь практически всех переменных. Так как их частные коэффиценты меньше чем парные.

Множественный коэффициент  корреляции rY/{..} =0,7609 значим и имеет достаточно высокое значение, что говорит о том, показатель Y – ожидаемая продолжительность жизни населения при рождении имеет тесную связь с многомерным массивом факторных признаков X₁ – территория стран, X₂ – численность населения,  X₃ - коэффициент суммарной рождаемости число детей на 1 женщину,  X₄ – коэффициент смертности на 1000 жителей, X₅– коэффициент младенческой смертности на 1000 рождений и X₆ – ВНП на 1 жителя.

Множественный коэффициент  детерминации показывает r²Y/{..} =0,5790, что 57,9%  доли дисперсии Y – ожидаемая продолжительность жизни населения, обусловлены изменениями факторных признаков.

Факторные признаки  тоже имеют достаточно высокие значения множественных коэффициентов корреляции и детерминации, что говорит об их сильной взаимосвязанности.

В пятом разделе был  проведен компонентный анализ и сделаны  следующие выводы:

Согласно критерию Кайзера  отбирали только первую и вторую компоненты. Первый фактор объясняет 49,19% сумарной дисперсии, второй – 24,19%. Первая главная компонента наиболее тесно связана с показателями: x⁽³⁾ — коэффициент суммарной рождаемости число детей на 1 женщину (r(x⁽¹⁾, z⁽¹⁾)=0,90); x⁽⁴⁾ — коэффициент смертности на 1000 жителей (r(x⁽²⁾, z⁽¹⁾)=0,776); x⁽⁵⁾ — коэффициент младенческой смертности на 1000 рождений (r(x⁽³⁾, z⁽¹⁾)=0,895); x⁽⁶⁾ - ВНП на 1 жителя (r(x⁽³⁾, z⁽¹⁾)= -0,823). Вторая главная компонента z⁽²⁾ тесно связана с территорией (x⁽¹⁾) и численностью населения (x⁽²⁾).

Уравнение регрессии на главных  компонентах имеет вид:

 

F_набл=15,573, R² = 0,414

Множественный коэффициент  детерминации свидетельствует, что 41,4% вариации y обусловлено влиянием первых главных компонент.

В шестом разделе был проведен кластерный анализ и сделаны следующие выводы:

Все наблюдении разделились  на два кластера. Большенство наблюдений относятся к второму кластеру (24 страны), который отличается от первого кластера высокое значение результативного признака Y (ожидаемая продолжительность жизни населения при рождении), факторного признака X₆ (ВНП на 1 жителя) и низкое значение факторных признаков X₁ (территория), X₂ (численность населения), X₄ (коэффициент смертности), X₅ (коэффициент младенческой смертности на 1000 рождений).

Уравнение регрессии первого кластера:

Ỹ=57,11+8,21X₃ - 1,585X₄ - 0,323X₅

F_набл=27,15,

 Множественный коэффициент детерминации свидетельствует, что 89,1% вариации Y (ожидаемая продолжительность жизни населения при рождении) объясняется вариацией коэффициентом суммарной рождаемости число детей на 1 женщину(X₃), коэффициентом смертности на 1000 жителей (X₄) и коэффициентом младенческой смертности на 1000 рождений (X₅), а  10,9% вариации вызвано воздействием неучтенных в модели и случайных факторов. Таким образом, можно сделать вывод, что модель достаточно адекватно отражает исследуемый процесс.

Уравнение регрессии второго кластера:

Ỹ=63,926 - 0,962X₄

 

F_набл=6,87,

Множественный коэффициент  детерминации свидетельствует, что 23,8% вариации Y (ожидаемая продолжительность жизни населения при рождении) объясняется вариацией коэффициентом смертности на 1000 жителей (X₄) а  76,2% вариации вызвано воздействием неучтенных в модели и случайных факторов. Таким образом, можно сделать вывод, что модель не адекватно отражает исследуемый процесс.

В седмом разделе при проведении дискриминантного анализа были получены следующие функции.

Пошаговым методом:

d = -2,243 + 0,005X1

Методом принудительного  включения:

d = -3,764 - 0,005Х1 + 0,018Х2 + 0,501Х3 + 0,046Х4 – 0,003Х5 + 0,003Х6

При анализе поточечных статистик  не обнаружилось неправильно классифицированных наблюдения. При пошаговом методе тоже подобная ситуация не наблюдалась.

 

 

 

Теоретическая часть

Метод групповых средних (Ланс и Уильямс )

В 1967 году Ланс и Уильямс определяли среднее сходство между двумя кластерами I и J как среднее сходство между всеми парами объектов из I и J. Этот метод они назвали методом групповых средних.

Кластеры строятся последовательно: два кластера с минимальным средним  коэффицентом сходства объединяются.

Как определить расстояние R(W, S) между кластерами W = U ∪ V и S, зная растояния их обьектов R(U, S), R(V, S), R(U, V)?

При определении расстояний между кластерами применяются следующие  методы:

• одиночной связи или минимального локального расстояния
• полной связи или максимального локального расстояния
• средней связи Кинга или попарного арифметического среднего
• метод групповых средних
• центроидный метод (центр тяжести)
• метод Уорда

 Ланс и Уильямс получили  общее уравнение для всех пяти  процессов кластеризации, перечисленных  выше. Это уравнение записанно  в следующем виде: R(U ∪ V, S) = αU・R(U, S) + αV・R(V, S) +β・R(U, V) + γ・|R(U, S) − R(V, S)|

где αU, αV , β, γ  числовые параметры.

Значения параметров, входящих в общую формулу, соответствующие  различным процессам кластеризации:

1. Расстояние ближнего  соседа: αU = αV = 1/2 ; β = 0;  γ = − 1/2 .

2. Расстояние дальнего  соседа: αU = αV = 1/2 ; β = 0;  γ =  1/2 .

3. Групповое среднее расстояние: αU = U/W;  αV = V/W;  β =  γ = 0

4. Расстояние между центрами: αU = U/W; αV = V/W; β = αU× αV ; γ = 0

5. Расстояние Уорда: αU = (S+U)/(S+W); αV = (S+V)/(S+W);

β = -S/(S+W) ; γ = 0

Алгоритм  кластеризации Ланса-Уильямса

1: сначала все кластеры  одноэлементные:

           t := 1; Ct = {x1}, . . . , {xℓ};

           R({xi}, {xj}) := ρ(xi , xj );

2: для всех t = 2, . . . , ℓ (t  номер итерации):

3: найти в Ct−1 два  ближайших кластера:

           (U, V) := arg min R(U, V);

            Rt := R(U, V);

4: слить их в один  кластер:

            W := U ∪ V;

            Ct := Ct−1 ∪ {W} \ {U, V};

5: для всех S ∈ Ct

6: вычислить R(W, S) по формуле  Ланса-Уильямса

Пример. Проведем класстеризацию, используя метод групповых средних и метрику квадрат евклидова расстояния и построим дендрограмму.

Предположим что, х₁- культурные нужды и отдых, х₂- питание и данные представлены в таблице 1.

Таблица 1

i	1	2	3	4	5
x1	2	4	7	10	12
x2	4	2	6	5	8

 

Квадрат евклидова расстояния находим по формуле:

Растояния мужду объектами представлены в табл. 2.

Таблица 2

	1	2	3	4	5
1	0	8	29	65	116
2	8	0	25	45	100
3	29	25	0	10	29
4	65	45	10	0	13
5	116	100	29	13	0