Шпаргалка по "Математической статистике"

Гипотезы

H0: Между выборками 1, 2, 3 и  т. д. существуют лишь случайные  различия по уровню исследуемого признака.

H1: Между выборками 1, 2, 3 и  т. д. существуют неслучайные различия  по уровню исследуемого признака.

Ограничения критерия Н

При сопоставлении 3-х выборок допускается, чтобы в одной из них n=3, а двух других п=2. Но при таких численных составах выборок мы сможем установить различия лишь на низшем уровне значимости (Р≤0,05).

 Для того, чтобы оказалось  возможным диагностировать различия  на более высоком уровнем значимости (р≤0,01), необходимо, чтобы в каждой  выборке было не менее 3 наблюдений, или чтобы по крайней мере в одной из них было 4 наблюдения, а в двух других - по 2; при этом неважно, в какой именно выборке сколько испытуемых, а важно соотношение 4:2:2.

При большем количестве выборок и испытуемых в каждой выборке необходимо пользоваться Таблицей критических значений критерия X2, поскольку критерий Крускала-Уоллиса асимптотически приближается к распределению X2.

 Количество степеней  свободы при этом определяется  по формуле: v=c-l где с - количество  сопоставляемых выборок.

3. При множественном сопоставлении выборок достоверные различия между какой-либо конкретной парой (или парами) их могут оказаться стертыми. Это ограничение можно преодолеть, если провести все возможные попарные сопоставления, число которых будет равняться ½*[c*(c-1)]*1. Для таких попарных сопоставлений используется, естественно, критерий для двух выборок, например U или φ*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. S-критерий Джонкира: назначение, характеристика.

 

Назначение критерия S

 Критерий S предназначен  для выявления тенденций изменения  признака при переходе от выборки к выборке при сопоставлении трех и более выборок.

Описание критерия S

 Критерий S позволяет нам  упорядочить обследованные выборки  по какому-либо признаку, например, по креативности, фрустрацноннон  толерантности, гибкости и т.п.

 Мы сможем утверждать, что на первом месте по выраженности  исследуемого признака стоит  выборка, скажем, Б, на втором - А, на  третьем - В и т.д. Интерпретация  полученных результатов будет  зависеть от того, по какому  принципу были образованы исследуемые выборки. Здесь возможны два принципиально отличных варианта.

 Если обследованы выборки, различающиеся по качественным  признакам (профессии, национальности, месту работы и т. п.), то с  помощью критерия S мы сможем упорядочить  выборки по количественно измеряемому признаку (креативности, фрустрационной толерантности, гибкости и т.п.).

 Если обследованы выборки, различающиеся или специально  сгруппированные по количественному  признаку (возрасту, стажу работы, социометрическому  статусу и др.), то, упорядочивая  их теперь уже по другому количественному признаку, мы фактически устанавливаем меру связи между двумя количественными признаками. Например, мы можем показать с помощью критерия S, что при переходе от младшей возрастной группы к старшей фрустрационная толерантность возрастает, а гибкость, наоборот, снижается.

 Меру связи между  количественно измеренными переменными  можно установить с помощью  вычисления коэффициента ранговой  корреляции или линейной корреляции. Однако критерий тенденции S имеет  следующие преимущества перед коэффициентами корреляции:

 а) критерий тенденций S более прост в подсчете;

 б) он применим и  в тех случаях, когда один из  признаков варьирует в узком  диапазоне, например, принимает всего 3 или 4 значения, в то время как  при подсчете ранговой корреляции в этом случае мы получаем огрубленный результат, нуждающийся в поправке на одинаковые ранги.

 Критерий S основан на  способе расчета, близком к принципу  критерия Q Розенбаума. Все выборки  располагаются в порядке возрастания  исследуемого признака, при этом выборку, в которой значения в общем ниже, мы помещаем слева, выборку, в которой значения выше, правее, и так далее в порядке возрастания значений. Таким образом, все выборки выстраиваются слева направо в порядке возрастания значений исследуемого признака.

 При упорядочивании  выборок мы можем опираться  на средние значения в каждой  выборке или даже на суммы  всех значений в каждой выборке, потому что в каждой выборке  должно быть одинаковое количество  значений. В противном случае  критерий S неприменим.

Для каждого индивидуального значения подсчитывается количество значений справа, превышающих его по величине. Если тенденция возрастания признака слева направо существенна, то большая часть значений справа должна быть выше. Критерий S позволяет определить, преобладают ли справа более высокие значения или нет. Статистика S отражает степень этого преобладания. Чем выше эмпирическое значение S, тем тенденция возрастания признака является более существенной.

 Следовательно, если Sэмп  равняется критическому значению или превышает его, нулевая гипотеза может быть отвергнута.

Гипотезы

H0: Тенденция возрастания  значений признака при переходе  от выборки к выборке является  случайной.

H1: Тенденция возрастания  значений признака при переходе  от выборки к выборке не  является случайной.

Ограничения критерия S

1. В каждой из сопоставляемых  выборок должно быть одинаковое  число наблюдений. Если число  наблюдений неодинаково, то придется  искусственно уравнивать выборки, утрачивая при этом часть полученных  наблюдений.

 Например, если в двух выборках по 7 наблюдений, а в третьей - 11, то 4 из них необходимо отсеять. Для этого карточки с индивидуальными значениями переворачиваются лицевой стороной вниз и перемешиваются, а затем из них случайным образом извлекается 7 карточек. Оставшиеся 4 карточки с индивидуальными значениями не включаются в дальнейшее рассмотрение и в подсчет критерия S. Ясно, что при таком подходе часть информации утрачивается, и общая картина может быть искажена.

 Если исследователь  хочет избежать этого, ему следует воспользоваться критерием Н, позволяющим выявить различия между тремя и более выборками без указания на направление этих различий.

2. Нижний порог: не менее 3 выборок и не менее 2 наблюдений  в каждой выборке. Верхний порог  в существующих таблицах: не более 6 выборок и не более 10 наблюдений в каждой выборке. При большем количестве выборок или наблюдений в них придется пользоваться критерием Н Крускала-Уоллиса.

 

12. Выявление степени согласованности изменений: коэффициент ранговой корреляции Спирмена: назначение, характеристика, ограничения.

Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями (иерархиями) признаков.

Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:

1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых;

2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков;

3) две групповые иерархии признаков,

4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.

Вначале показатели ранжируются отдельно по каждому из признаков.

Как правило, меньшему значению признака начисляется меньший ранг.

В первом случае (два признака) ранжируются индивидуальные значения по первому признаку, полученные разными испытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму признаку.

Если два признака связаны положительно, то испытуемые, имеющие низкие ранги по одному из них, будут иметь низкие ранги и по другому, а испытуемые, имеющие высокие ранги по одному из признаков, будут иметь по другому признаку также высокие ранги. Для подсчета rs необходимо определить разности (d) между рангами, полученными данным испытуемым по обоим признакам. Затем эти показатели d определенным образом преобразуются и вычитаются из 1. Чем меньше разности между рангами, тем больше будет rs, тем ближе он будет к +1.

Если корреляция отсутствует, то все ранги будут перемешаны и между ними не будет никакого соответствия. Формула составлена так, что в этом случае rs окажется близким к 0.

В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот. Чем больше несовпадение между рангами испытуемых по двум переменным, тем ближе rs к -1.

Во втором случае (два индивидуальных профиля), ранжируются индивидуальные значения, полученные каждым из 2-х испытуемым по определенному (одинаковому для них обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг – признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно.

Если индивидуальные иерархии двух испытуемых связаны положительно, то признаки, имеющие низкие ранги у одного из них, будут иметь низкие ранги и у другого, и наоборот.

В третьем случае (два групповых профиля), ранжируются среднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуемых по определенному, одинаковому для двух групп, набору признаков. В дальнейшем линия рассуждений такая же, как и в предыдущих двух случаях.

В случае 4-ом (индивидуальный и групповой профили), ранжируются отдельно индивидуальные значения испытуемого и среднегрупповые значения по тому же набору признаков, которые получены, как правило, при исключении этого отдельного испытуемого – он не участвует в среднегрупповом профиле, с которым будет сопоставляться его индивидуальный профиль. Ранговая корреляция позволит проверить, насколько согласованы индивидуальный и групповой профили.

Во всех четырех случаях значимость полученного коэффициента корреляции определяется по количеству ранжированных значений N. Если абсолютная величина rs достигает критического значения или превышает его, корреляция достоверна.

Гипотезы.

Возможны два варианта гипотез. Первый относится к случаю 1, второй – к трем остальным случаям.

Первый вариант гипотез

h0: Корреляция между переменными А и Б не отличается от нуля.

h1: Корреляция между переменными А и Б достоверно отличается от нуля.

Второй вариант гипотез

h0: Корреляция между иерархиями А и Б не отличается от нуля.

h1: Корреляция между иерархиями А и Б достоверно отличается от нуля.

Ограничения коэффициента ранговой корреляции

1. По каждой переменной должно быть представлено не менее 5 наблюдений. Верхняя граница выборки определяется имеющимися таблицами критических значений.

2. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена rs при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений. В случае, если это условие не соблюдается, необходимо вносить поправку на одинаковые ранги.