Дифференциальные зависимости Сен-Венана между компонентами деформации

Министерство образования и науки Российской Федерации

Российский Государственный Университет нефти и газа имени И.М. Губкина

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ №1.

Дифференциальные зависимости Сен-Венана между компонентами деформации. Определение компонентов перемещения по заданным шести компонентам малой деформации. Формулы Стокса при разложении произвольной малой деформации. Обобщение теории Герца сжатия упругих соприкасающихся тел. Задача о жестком штампе. Случай, когда на границе упругого полупространства заданы перемещения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: Иванова Анна,

группа М0-12-08

Проверил: Евдокимов А. П.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва, 2014

 

Оглавление

 

1. Введение…………………………………………………………………3
2. Дифференциальные зависимости Сен-Венана между компонентами деформации……………………………………………………………...4
3. Определение компонентов перемещения по заданным шести компонентам малой деформации………………………………………6
4. Формулы Стокса при разложении малой произвольной деформации……………………………………………………………...9
5. Обобщение теории Герца сжатия упругих соприкасающихся тел…..10
6. Задача о жёстком штампе……………………………………………….12
7. Случай, когда на границе упругого полупространства заданы перемещения……………………………………………………………..14
8. Заключение………………………………………………………………15
9. Список использованной литературы…………………………………...16

 

Введение

 

Теория упругости — раздел механики сплошных сред, изучающий деформации упругих твёрдых тел, их поведение при статических и динамических нагрузках. Главная задача теории упругости — выяснить, каковы будут деформации тела и как они будут меняться со временем при заданных внешних воздействиях. Основной системой уравнений для решения этой задачи являются три уравнения равновесия, содержащие шесть неизвестных компонентов симметричного тензора напряжений. Симметричность тензора напряжений постулируется при этом гипотезой парности касательных напряжений. Для замыкания системы используют так называемые уравнения совместности деформаций (действительно, для тела, остающегося в процессе деформации сплошным, шесть компоненты тензора деформации не могут быть независимыми — эти компоненты выражаются через три функции — составляющие перемещения точки тела: симметричные соотношения Коши). Шесть уравнений совместности деформаций и уравнения обобщённого закона Гука замыкают задачу теории упругости.

В данной работе будут представлены и рассмотрены сведения по уравнениям упругого движения и равновесия (а именно: дифференциальные зависимости Сен-Венана между компонентами деформации, определение компонентов перемещении по заданным шести компонентам малой деформации, формулы Стокса при разложении произвольной малой деформации). А также по теме проблемы Буссинеска и Герца (обобщение теории Герца сжатия упругих соприкасающихся тел, задача о жёстком штампе и случай, когда на границе упругого полупространства  заданы перемещения).

 

 

Дифференциальные зависимости Сен-Венана между компонентами деформации

В случае малой деформации мы имеем шесть основных формул Коши:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого следует, что шесть компонентов малой деформации определяются через частные производные только трёх функций и, v, w от координат х, у, z. Поэтому шесть компонентов деформации не являются независимыми функциями от координат х, у, z, но между ними существуют дифференциальные зависимости, открытые Сен-Венаном. Один из простейших способов их получения есть способ последовательного исключения и, v, w.

Дифференцирование по х и по у даёт:

 

 

отсюда получим:

 

 

 

Соответственно дифференцирование  по x и по z, и по у и по z даёт:

 

 

 

 

 

 

Таким образом, мы получаем три дифференциальные зависимости:

Чтобы получить вторую группу дифференциальных зависимостей, можно поступать аналогично. Дифференцируя по у и по z, получим:

Для выражения правой части  через производные компонентов деформации дифференцируем  по z, по y,  по х:

 

 

 

Отсюда получим:

 

Затем получаем:

 

причём последние два соотношения выписаны по аналогии. Таким образом, мы получили шесть дифференциальных зависимостей  между компонентами малой деформации. Эти зависимости часто называют тождествами  Сен-Венана.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение компонентов перемещения по заданным шести компонентам малой деформации

 

Если заданы шесть компонентов малой деформации, то с их помощью можно определить три компонента вращательного движения.

Кроме того, мы имеем тождественное соотношение:

Вследствие этого, должны выполняться следующие отношения:

Тогда мы получим следующие условия интегрируемости:

Последнее следствие в итоге приводится к условию:

Аналогично из трёх уравнений мы имеем условия их интегрируемости:

Это последнее соотношение даёт вследствие:

 

 

а из трёх уравнений имеем:

Это даёт вследствие:

 

 

 

 

В соотношениях мы должны заменить каждое последнее соотношение, из полученных таким образом девяти соотношений мы получим выражения Бельтрами для девяти частных производных трёх компонентов элементарного вращения по координатам х, у, z, служащие для определения их по известным компонентам малой деформации.

 

Следуя Бельтрами, определим условия интегрируемости из этих трёх систем. Они очевидно будут:

 

что можно привести к виду:

 

Условия интегрирования:

что можно привести к виду:

 

Между девятью соотношениями, только шесть различных, и они совпадают. Таким образом, выполнение дифференциальных зависимостей Сен-Венана обеспечивает возможность  определения трёх компонентов смещения и, v, w по шести заданным компонентам малой деформации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы Стокса при разложении произвольной малой деформации

 

Стокс впервые показал, что три компонента смещения и, v, w можно представить в форме:

Причём F, G, H удовлетворяют условию:

 Прежде всего, вычислим объёмное  расширение:

 

 

где введено обозначение:

 

Также найдем при том же обозначении:

 

Система уравнений может быть решена с помощью теории потенциала при наличии некоторых весьма общих предположений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обобщение теории Герца сжатия упругих соприкасающихся тел

 

Мы ограничимся здесь простейшим случаем поставленной контактной задачи, когда оба соприкасающихся тела суть тела вращения и, следовательно, поверхность давления есть круг.

В этом случае,  мы примем:

Тогда уравнение примет вид:

Мы имеем следующее выражение:

Полагая х=у = 0, имеем  r = 0, поэтому из получаем для а следующее выражение:

Внося а в уравнение, мы получим внутри контура давления:

Переходя к полярным координатам, получаем:

 

Если Р – сжимающая сила, то имеем условия равновесия:

Вне контура давления, равенство заменяется следующим выражением:

Уравнение  является интегральным уравнением. Оно было впервые получено И. Я. Штаерманом. Его решение имеет вид:

 

 

 

 

 

 Находим радиус поверхности давления а:

Найдём сближение тел при сжатии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача о жёстком штампе

 

Жёстким штампом мы будем называть абсолютно твёрдое тело произвольной формы, которое вдавливается в поверхность упругого полупространства. Впервые задача о жёстком штампе была решена Буссинеском для случая круглого цилиндрического штампа, ось которого нормальна к поверхности полупространства.

Безвременно погибший В. М. Абрамов распространил решение Буссинеска на случай круглого жёсткого штампа, перемещение которого направлено под углом к плоской границе полупространства. В работах И. Я. Штаермана и А. И. Лурье эта проблема

получила дальнейшее развитие).

Мы следуем в дальнейшем изложении работе А. И. Лурье. Направим, ось z внутрь упругого полупространства, а плоскую границу примем за плоскость Оху, так что граница упругого полупространства дана уравнением:

Z= 0

Зададим штампу весьма малое перемещение а и поворот £. Таблица косинусов между начальным направлением осей:

 

Получаем окончательно выражение:

Если и', v, w суть упругие смещения точки упругого полупространства (х, у, 0), то после деформации координаты этой точки относительно тех же осей будут:

Пусть частицы поверхности упругого полупространства, которые после перемещения штампа расположатся на смещённой поверхности S, были расположены до деформации в некоторой области Q плоскости z = 0 .

Для этих частиц:

и

 

   Рассмотрим случай перемещения  штампа по направлению нормали  к плоскости Оху при отсутствии поворота вокруг оси z.

В этом случае:

Примем, что:

суть малые.

Тогда получим:

Далее имеем:

 

Делая небольшие преобразования, получаем формулу:

Эта формула Штаермана- Лурье играет важную роль в изучении жесткого штампа.

Точкам плоскости z = Q, находившимся внутри области Q, сообщаются перемещения w, в образующуюся ≪впадину≫ затем вставляется штамп, который её заполняет; объём впадины равен объёму, ограниченному поверхностью. Чтобы сохранить при этом равновесие, штамп нужно прижать силой Р, параллельной оси z и проходящей через точку х0, у0, причём, согласно условиям равновесия, имеем:

Получим:

Это и есть основное уравнение жесткого штампа.

Распределение давления очень неравномерно. при приближении к контуру штампа давление беспредельно возрастает. Вследствие этого на контуре штампа имеет место явление текучести материала, которое носит местный характер и не оказывает существенного влияния на распределение давления под штампом  в точках, находящихся на некотором расстоянии от окружности основания штампа.

 

 

 

 

 

 

 

 

Случай, когда на границе упругого полупространства заданы перемещения

 

Буссинеск исследовал вторую основную задачу: по заданным на внешней границе упругого полупространства перемещениям найти упругие перемещения во всём полупространстве.

   Один из методов решения этой задачи основан на применении интегралов Фурье.

Примем, например,

Функция должна быть гармонической, поэтому:

 

Согласно теореме Фурье, мы имеем:

 

 

Мы получим окончательные выражения упругих перемещений в виде:

 

 

 

Заключение

 

Изучив рассмотренные в реферате разделы теории упругости, я сделала вывод о том, что знание данной науки необходимо непосредственно для практического применения. Цель математической теории упругости – определить напряжения и деформации при любых нагрузках на границе и внутри упругого тела любой формы. В отличие от сопротивления материалов, базирующегося на гипотезе плоских сечений и других упрощенных предположениях, теория упругости ставит целью относительно строгое решение задачи при минимальном количестве исходных гипотез. Задачей точного решения в теории упругости является получение такой системы функций напряжений, смещений и деформаций, чтобы в каждой точке внутри тела были обеспечены условия равновесия и условия непрерывности (сплошности) тела, а у границы тела внутренние силы находились бы в равновесии с внешними силами, действующими на поверхностях (на границе) тела.