Теория телетрафика

Санкт-Петербургский 

Государственный университет телекоммуникаций

им. проф. М.А. Бонч - Бруевича

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА

 

 

Курсовая  работа

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студентка III курса

Галашина Ольга  Сергеевна

факультета ВиЗО

Группа  А-06у

 

№ зачетной книжки 1651

Вариант 51

задачи 1 и 2

Вариант исходных данных №6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт – Петербург

2013

 

Задача 1.Исследование процесса поступления сообщений на системы коммутации

 

Условие: На телефонной станции организовано наблюдение за процессом поступления сообщений. Весь период наблюдения (25 ч), на протяжении которого поток является практически стационарным, разделен на n=100 интервалов длительностью t=15 мин. Для каждого интервала определяется число поступающих сообщений. Данные наблюдений группируются в статистический ряд по m членов, характеризующихся числом интервалов n_k (k = 1, 2, …, m) с одинаковым числом вызовов c_k в интервале.

 

 

Требуется: Оценить следующие характеристики процесса поступления сообщений.

1. Рассчитать эмпирические вероятности распределения числа вызовов на интервале длительностью t = 15 мин.
2. Рассчитать среднее статистическое значение числа вызовов в интервале t=15 мин.
3. Рассчитать вероятности распределения Пуассона P_k на интервале t=15 мин.
4. Рассчитать число степеней свободы r и меру расхождения c² между теоретической вероятностью P_k и эмпирической

№ п/п	ck	nk
1	0	5
2	1	15
3	2	22
4	3	23
5	4	17
6	5	11
7	6	5
8	7	1
9	8	1
10	9	0
		100

Определить соответствие эмпирического распределения числа сообщений в интервале t=15 мин распределению Пуассона

 

Исходные данные:

 

Решение

Задание связано с  изучением простейшего потока вызовов-стационарного ординарного потока без последействия, который описывается функцией P_k(t) распределения числа вызовов, происходящих в заданном интервале времени [0,t).

Функция P_k(t) подчиняется закону Пуассона с параметром λt:

 

                    (1.1) 
где λ- параметр простейшего потока, совпадает с интенсивностью µ этого потока.

 

1. Эмпирические вероятности распределения числа вызовов рассчитываются по формуле

               (1.2) 

2. Среднее статистическое значение

                       (1.3)    

 где n – число интервалов наблюдения.

3. Данному эмпирическому распределению ставится в соответствие распределение Пуассона при:

λt=c=

,               (1.4)

где t-длина рассматриваемого интервала;

c-математическое ожидание числа вызовов в интервале t.

Значения вероятностей распределения Пуассона могут быть определены по справочным таблицам или рассчитаны по формуле

                 (1.5)

Приведем пример расчета  для k=2, результаты остальных расчетов сведем в таблицу 1.1.

 

            

 

 

 

 

 

Таблица 1.1. Результаты расчетов.

 

 

№ п/п	ck	nk	(t)	Pk(t)
1	0	5	0,05	0,1534
2	1	15	0,15	0,2270
3	2	22	0,22	0,2240
4	3	23	0,23	0,1657
5	4	17	0,17	0,0981
6	5	11	0,11	0,0484
7	6	5	0,05	0,0205
8	7	1	0,01	0,0076
9	8	1	0,01	0,0025
10	9	0	0	0,0007
		100	1

 

 

4. Чтобы установить, в какой степени результаты эксперимента согласуются с выбранной математической моделью- с распределением Пуассона-воспользуемся критерием χ² .

Применение критерия χ² сводится к определению меры расхождения χ²  между теоретической вероятностью P_k(t) и эмпирической (t):

                 (1.6)

 
и числа степеней свободы:

                                     r=m-s,                                 (1.7)

 
где s-число независимых условий, налагаемых на вероятности .

 

Число степеней свободы равно:

r =  10 – 2 = 8, так как на вероятности накладываются два условия –их сумма должна быть равна единице и должны совпадать теоретические и статистические средние значения.

5. По найденным значениям r и χ²  из [1, табл.3] определим вероятность Р того, что величина, имеющая распределение χ²=30,177 с r=8 степенями свободы превзойдет данное значение χ²:Р< 0,7

 

 

Задание 2 Вариант 9

Исследование процесса обслуживания реального потока сообщений полнодоступным пучком, включенным в однозвенную коммутационную схему

 

Задание. На телефонной станции организован станционный эксперимент, направленный на выявление соответствия реального процесса обслуживания потов сообщений математическим моделям, описываемым первой формулой Эрланга и формулой Энгсета. Условия эксперимента ограничены однозвеньевой ступенью свободного искания, в выходы которой включен полнодоступный пучок из u линий. Поток создается N источниками; среднее число вызовов в ЧНН от всех источников составляет ; средняя длительность обслуживания одного сообщения принята равной . Измерения числа i одновременно занятых линий в пучке проводят в течение трех дней по 12 измерений в каждый ЧНН.

Требуется. Оценить следующие характеристики процесса обслуживания.

1) По результатам измерений рассчитать эмпирические значения:

- интенсивность нагрузки, обслуженной ступенью искания  ;

- интенсивности нагрузки, поступающей на ступень искания  ;

- интенсивность нагрузки, потерянной ступенью искания  ;

- вероятность потерь по нагрузке .

2) В предположении, что поступающий на ступень искания реальный поток сообщений соответствует модели простейшего потока, для которого среднее число вызовов в ЧНН от всех источников (Т – промежуток времени, соответствующий ЧНН), рассчитать:

- интенсивность нагрузки  у, поступающей на ступень искания;

- вероятность того, что все u линий пучка заняты Рu;

- вероятность потерь по вызовам Рв, по времени Рt, по нагрузке Рн;

- распределение вероятностей  Рi (i = 0, 1, …u);

- интенсивность нагрузки, обслуженной ступенью искания  yоб;

- интенсивность нагрузки, потерянной ступенью искания  yп;

- отклонение теоретического  значения вероятности потерь  Рн от эмпирического значения в %;

- отклонение теоретического значения интенсивности обслуженной нагрузки уоб  от эмпирического значения в %.

3) В предположении, что поступающий на ступень искания реальный поток сообщений соответствует модели примитивного потока, который создает нагрузку интенсивности y =  = N∙a (а – интенсивность нагрузки, поступающей от одного источника), рассчитать:

- вероятность потерь  по вызовам Рв;

- вероятность потерь  по времени Рt;

- вероятность потерь  по нагрузке Рн;

- распределение вероятностей  Рi (i = 0, 1, …u );

- среднее значение параметра  потока  от N источников;

- интенсивность нагрузки, обслуженной ступенью искания  yоб;

- интенсивность нагрузки, потерянной ступенью искания yп;

- отклонение в процентах  теоретического значения вероятности  потерь  Рн от эмпирического значения .

4) Построить кривые распределений Эрланга и Энгсета и получить численное доказательство того, что сумма вероятностей состояний полнодоступного пучка при обслуживании примитивного и простейшего токов вызовов составляет .

5) Установить взаимосвязь  между рассматриваемыми моделями, выявив условия перехода формулы  Энгсета в первую формулу Эрланга.

6) По результатам проведенных  исследований сформулировать выводы  относительно соответствия процесса  обслуживания реального потока  сообщений математическим моделям,  описываемым первой формулой  Эрланга и формулой Энгсета.

Исходные данные:

Таблица 1 – Результаты измерений  числа одновременно занятых линий

		Номер измерений
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Число одновременно занятых линий  i	1 день	0	1	0	1	3	1	2	1	3	3	0	0
	2 день	2	2	1	1	1	0	1	1	1	1	2	0
	3 день	1	1	2	1	3	1	3	3	1	2	1	1

 

Среднее число поступающих вызовов в ЧНН = 72;

Средняя длительность обслуживания одного вызова t = 70с;

Емкость пучка u = 5;

Число источников N = 20.

Решение

1) По результатам измерений рассчитываем следующие эмпирические характеристики:

- интенсивность обслуженной нагрузки определяется как математическое ожидание числа одновременно занятых линий Мi:

,   

где ijk – число одновременно занятых линий при k-м измерении (k = 1, 2,…12) в j-й день измерений (j = 1, 2, 3);

- интенсивность поступающей нагрузки находится по известным и , при этом берется = с(1), = t:

;  

Эрл  

- интенсивность потерянной нагрузки определяется по формуле:

. 

= 1,4– 1,3333 = 0,0667 Эрл   

Вероятность потерь по нагрузке рассчитываются по формуле:

.    

2) Для полного описания простейшего потока вызовов достаточно знать интенсивность потока μ, зная которую можно оценить все остальные характеристики потока (параметр λ, функцию распределения промежутков между вызовами А(х), вероятность поступления определенного числа вызовов k за некоторый промежуток времени t – Pk(t)).

Если за единицу времени принять  ЧНН, то правомерно приравнять эмпирическое значение среднего числа вызовов  в ЧНН его теоретическому значению:

.    

Также правомерно принять эмпирическое значение интенсивности поступающей  нагрузки его теоретическому значению у:

у= .  

  

Математическая модель простейшего  потока вызовов описывается первой формулой распределения Эрланга:

Рi = Еi,u(y) =     

где Рi – вероятность того, что в полнодоступном пучке из u линий, на которые поступает нагрузка интенсивностью у, занято точно i  линий.

Вероятность занятости в пучке  всех u линий Рu равна вероятности потерь по вызовам Рв, времени Рt и нагрузке Рн:

Рu = Рв = Рн = Рt = Еu,u (y) =  

Расчет вероятностей состояния  полнодоступного пучка Рi проведем через рекуррентное соотношение:

.  

По таблицам Пальма [1 прил. 2] при y =1,4 Эрл и u = 5 определим

Р5 = Рв = Рн = Рt = 0,011088