Численное решение уравнения теплопроводности

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный Минерально-Сырьевой университет

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине: Математические методы в процессах добычи нефти и газа

(наименование учебной дисциплины  согласно учебному плану)

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

 

Тема работы:                   Численное решение уравнения теплопроводности

 

 

Автор: студент гр.         НГ-10-1                    /Еманакова А.А./

          (шифр группы)         (подпись)                  (Ф.И.О.)

 

Оценка:

 

Дата:   

 

Проверил:

руководитель работы доцент         /Быкова О.Г./

    (должность)           (подпись)   (Ф.И.О.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2012

 

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный Минерально-Сырьевой университет

 

 

 

       УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

_______ /___________/

   (подпись) (Ф.И.О.)

“__” __________ 2012_ г.

 

Кафедра Информатики и компьютерных технологий

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине: Математические методы в процессах добычи нефти и газа

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

 

ЗАДАНИЕ

 

студенту группы  НГ-10-1        Еманаковой А.А.

    (шифр группы)    (Ф.И.О.)

 

1. Тема работы: Численное решение уравнения теплопроводности

2. Исходные данные к работе: Найти приближенное решение уравнения теплопроводности для значений аргументов , при заданных начальном и граничных и условиях средствами табличного процессора Microsoft Excel и пакета математических расчетов MathCAD. Принять , шаг изменения пространственной координаты равным 0.2, временной – 0.2.                                                    

Получить максимальное и минимальное значения температуры в рассмотренной области, построить графики изменения температуры в точки области x=1.2 и при значении времени t=0,6.

 

3. Содержание пояснительной записки: Аннотация, содержание, введение, решение поставленной задачи, выводы, использованная литература

4. Перечень графического материала:            19 рисунков

5. Срок сдачи законченной работы  ____  ___________ 2012_ г.

 

 

Руководитель работы: доцент    /    Быкова О.Г.    /

    (должность)           (подпись)   (Ф.И.О.)

Дата выдачи задания: 5.09.2012

 

 

Аннотация

 

В данном курсовом проекте рассмотрено решение уравнения теплопроводности. Для этого предлагается использовать численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. В специальной части проекта представлено решение уравнения разностным методом. Проект содержит пояснительную записку объемом 19 страниц, включая 19 рис.

 

Abstract

 
In diesem Kurs Projekt gilt als eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung. Zu diesem Zweck werden die numerischen Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen in partiellen Ableitungen. Ein besonderer Teil des Projekts präsentierte eine Lösung der Differenz-Methode. Das Projekt enthält eine Begründung von 19 Seiten, davon 19 Abbildung.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Движение систем малого числа частиц математически описывают, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если число очень велико, то следить за движением отдельных частиц практически невозможно. При этом удобнее рассматривать систему частиц как сплошную среду, характеризуя ее состояние средними величинами: плотностью, температурой в точке и т.д. Математические модели сплошной среды приводят к уравнениям в частных производных, которым удовлетворяют упомянутые средние величины. К уравнениям в частных производных приводят задачи газодинамики, теплопроводности, переноса излучения, распространения нейтронов, теории упругости, электромагнитных молей, процесса переноса в газах, квантовой механики и многие другие. Независимыми переменными в физических задачах задаются, как правило, время и координаты. Бывают и другие переменные, например, скорости частиц в задачах переноса. Решение требуется найти в некоторой области изменения независимых переменных. Полная постановка задачи содержит дифференциальное уравнение и дополнительные условия, позволяющие выделить единственное решение из семейства решений дифференциального уравнения. Дополнительные условия задаются, как правило, на границе рассматриваемой области. Если одной из независимых переменных является время, то решение ищут в некоторой пространственной области на отрезке времени . В этом случае дополнительные условия, заданные при называют начальными, а дополнительные условия, заданные на границе области – граничными или краевыми.

В курсах уравнений математической физики изложен ряд методов, позволяющих найти точное решение для некоторых классов задач. Точные методы позволяют получить явное выражение решения через начальные данные, что облегчает дальнейшие действия с решением. Точные методы полезны, но применимы для очень узкого класса задач. Численные методы являются основным способом решения дифференциальных уравнений в частных производных.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Разностная схема решения уравнения теплопроводности 

Рассмотрим численное решение уравнения теплопроводности, где

u- Температура

x-  пространственная координата

t- Время

- коэффициент температуропроводности

 

    (1.1)

Решение нужно получить для значений аргументов и . В начальный момент времени (t=0) известно распределение температуры

 

   (1.2)

Задаются также значения функции на концах промежутка интегрирования пространственной координаты, т.е

 

;     (1.3)

 

Произведем замену частных производных   конечными соотношениями:

 

  и        (1.4) ,

где приращение аргументов по времени и по пространственной координате принимаются постоянными, равными   и

 

Поставляя соотношения (1.4) в  дифференциальное уравнение с частными производными (1.1), получаем разность уравнения для искомого решения на сетке значений аргумента по пространственной 0.4  и временной -0.2 переменным:

 

    (1.5)

 

Разность первого порядка по времени заменяется разностями

  (1.6)

 

Разность второго порядка по пространственной координате заменяется разностями

 

(1.7)

 

Аналогичные разностные соотношения делений применились при решении краевой задачи обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Поставив соотношение (1.6) и (1.7) в уравнения (1.5) , приходим к системе алгебраических уравнений относительно значений температуры в узлах :

 

 

    ( 1.8)

 

Где i=1,2,…  m-1 и j=1,2,…n. Здесь m и n число делений промежутка изменения пространственной и временной переменных.

Уравнения (1.8) позволяют вычислить решение во внутренних точках сетки области определения решения. Число уравнений системы (1.8) меньше числа неизвестных. Недостающие уравнения находятся из начального (1.2)  и граничных (1.3) условий.

 

Начальное условие (2) при t=0 в точках xi имеют вид:

 

  (1.9)

 

Для изменения на концах изменения пространственной переменной (1.3) имеем:

 

   ;    (1.10)

 

Если  у нас шаг по пространственной координате равным  0.2, шаг по временной координате – 0.2. Значит, координаты x, в которых определяется решение, равняются x=0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1; 1.2; 1.4; 1.6.

Временная координата t принимает значения  t=0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.

 

      (1.11)

 

Здесь введены обозначения      (1.12)

рассчитаем наши

   и  

граничные условия  имеют вид:

 

из (1.2) и (1.3) :

          ( 1.13)

 

      (1.14)

 

На каждом временном слое необходимо решить систему (1.11) из четырнадцати уравнений. Перепишем систему (1.13) в развернутом виде:

 

     (1.15)

 

 

         (1.16)

 

                                     (1.17)

 

1. Численное решение уравнения теплопроводности в табличном процессоре Microsoft Ехсеl

 

 При решении системы  линейных алгебраических уравнений  методом прогонки в табличном процессоре Microsoft Excel исходную систему проводим к виду  (1.16),  когда коэффициент в первом уравнении перед неизвестной равняется единице. Для этого разделим первое уравнение системы на коэффициент при второй неизвестной . В столбцы таблицы Microsoft Excel записываем номера уравнений системы, значения свободных частей уравнений системы, значения свободных частей уравнений системы и коэффициенты перед элементами под главной диагональ, на главной диагонали и над главной диагональю матрицы коэффициентов системы. В следующих двух столбцах вычисляем значения вспомогательных коэффициентов . Последний в таблице столбец предназначается для вычисления решения системы . 

Для численного решения уравнения теплопроводности потребуется многократное решение системы линейных алгебраических уравнений (1.16) методом прогонки. При этом ясно, что матрица коэффициентов перед неизвестными системы одинакова и ее элементы не зависят от значения пространственной и временной координат в узлах сетки.        Из формул  (1.17) следует, что и вспомогательные коэффициенты также будут одинаковыми при решении всех систем. Эти коэффициенты вычислим один раз и далее будем на них только ссылаться в формулах. Поэтому для решения уравнения теплопроводности расположим исходные данные несколько в другом порядке: те величины, которые не будут меняться при повторных расчетах, запишем в левых столбцах таблицы, а те, что при повторных расчётах меняются – в правых (рис 2.1). Так что порядок столбцов в решении примем следующий: в первой заносим значения пространственной координаты, в которых вычисляется решение; во втором – номер уравнения; третий, четвертый, пятый столбцы будут располагаться вычисленные значения коэффициентов ; в седьмом столбце будем вычислять значения температуры в узловых точках f(xi) в соответствии с начальными условиями задачи (1.9) (рис.2.1)

На этом завершается подготовительная работа поиска решения. Все следующие столбцы таблицы будут содержать меняющиеся решения системы. Поэтому в следующих трех столбцах будем производить вычисление тех величин, которые будут меняться при решении системы для следующего временного слоя: правая часть уравнений системы  , вспомогательные коэффициенты и температура  на следующем временном слое .

Производим вычисление в первых столбцах таблицы, чтобы обеспечить наличие всех исходных данных для расчета. (Рис.2.1,2.2) .

 

Рис. 2.1. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u0 и u1 (режим отображения чисел)

Рис. 2.2. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u0 и u1 (режим отображения формул)

 

Значение и вычисляются из краевых условий задачи (1.13) и (1.14), и заносятся в соответствующие ячейки таблицы. Значения температуры в узлах нулевого временного слоя решения вычисляются из начальных условий (1.9) 

Далее вычисляются значения свободного столбца системы (1.16) и вспомогательных коэффициентов (Рис 2.1). Все ссылки на ячейки с не изменяющимися в ходе расчета данными являются абсолютными для обеспечения их неизменности при дальнейшем копировании расчетных формул. Прямой ход метода прогонки завершен.

Выполняя обратный ход метода прогонки, получим значение температуры на первом временном слое в столбце j таблицы. (Рис. 2.1).

 

Рис. 2.3. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u2, u3 (режим отображения чисел)

Рис. 2.4. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u2, u3 (режим отображения формул)

 

Получили значение температуры на первом временном слое, т.е. при j=1.Для получения решения во втором временном слое j=2 нужно решить систему (1.16), свободный столбец которой содержит температуру первого слоя в узлах, т.е. полученные в столбце j величины. Следует повторить вычисление столбца свободных членов, вспомогательных коэффициентов и обратным ходом получить значения температуры в узлах для второго временного слоя. Значит,  можно скопировать диапазон с вычислениями в этих трех столбцах, т.е. H5:J11 и вставить в следующие столбцы, т.е. столбцы K, L, M таблицы. (Рис.2.3-2.6)

 

 

 

 

Рис. 2.5. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u4, u5 (режим отображения чисел)

 

 

Рис. 2.6. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u4, u5 (режим отображения формул)