Задачи по прикладной механике

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное Государственное автономное образовательное  учереждение ВПО

«Российский профессионально-педагогический университет»

Кафедра механики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 1

По теоретической  и прикладной механике

Шифр зачетной книжки:

 

 

 

 

 

 

 

 

                                    Выполнил:

 

                                     Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

 

Первоуральск

2011

Задача 1

Плоская система  сил

На рис. 1 показаны 3 способа  закрепления бруса, ось которого – ломаная линия. Задаваемая нагрузка и размеры во всех трех случаях одинаковы. Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором реакция имеет наименьший модуль.

Рис. 1 - Способы закрепления  бруса.

Р = 10 кН

М = 10 кНм

q = 2 кН/м

а = 4 м

b = 3 м

c = 3 м

α = 60 º

Исследовать MA

Решение

а)

б)

    

в)

    

 

 

Таким образом, наименьшее значение М_а получается при закреплении по схеме (б).

Найдем остальные реакции  для этой схемы:

Схема	МА, кНм	Ха, кН	Rc, кН
а)	35,63	––	––
б)	2,62	-8,658	11
в)	68,64	––	––

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

Пространственная система  сил

На горизонтальный вал насажены колесо 1 радиусом r₁ = 20 см, колесо 2 радиусом r₂ = 30 см и прикреплен перпендикулярно оси вала (параллельно оси х) рычаг CD длинной l = 20 см. К одному колесу приложена сила F, образующая с горизонталью угол α₁, а к другому – сила Т₂, образующая с вертикалью угол α₂; к рычагу приложена вертикальная сила Р (рис. 2). Пренебрегая весом вала, колес и рычага, определить силу Р, при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников А и В.

Рис. 2 – Схема.

a= 1,4 м

b = 1,5 м

c = 1,4 м

F = 1000 Н

T₂ = 300 Н

α₁ = 30 º

α₂ = 45 º

R₁ = 0,2 м

R₂ = 0,3 м

L = 0,2 м

 

 

 

 

Решение

Заменим связи соответствующими реакциями: х_А, z_A, x_B, z_B.

Составим 5 уравнений  равновесия:

1)

2)

3)

4)

5)

Решаем систему уравнений:

Из (4):

Из (1):

Из (5):

Тогда: x_в + 653,9 = х_в·2,071-651,5;           х_в = 1218 Н   и   х_А = -1872 Н

Из (2):

Из (3):

Тогда: ;                и   

Знаки "-" означает, что истинное направление реакций  противоположно выбранному.

Cos(R_A, i) = x_A / R_A = -0,997

Cos(R_B, i) = x_B / R_B = 0,867

Проверка:

ΣM_x1(Fi) = - z_A∙b + T₂∙Cosα₂∙c + F∙Sinα₁∙(a + b) - P∙(a + с) = 0

ΣM_z1(Fi) = x_A∙b + T₂∙Sinα₂∙c + F∙Cosα₁∙(a + b) = 0

Расчеты верны.

Задача 4

Плоское движение твердого тела

Кривошип ОА длинной R вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью ω и приводит в движение шатун АВ длинной l и ползун В. Для заданного положения механизма найти скорости и ускорения ползуна В и точки С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эта точка принадлежит.

Рис. 3 – Схема.

ОА = R = 50 см

АВ = L = 60 см

α = 30 º

х β = 30 º

ω = 1 рад/с

AC=0,3L= 18 см

Решение

1) VА = ω ∙ ОА = 50 см/с

Точка Р – мгновенный центр скоростей

(АР┴V_A, BP┴V_B) => ω_AB = V_A/BP => V_B = ω_AB∙BP

АР и ВР определим  из треугольника АВР:

АВ / Sin 30 = АР / Sin 120 = BР / Sin 30

=> AP = AB∙Sin 120 /Sin 30 = 103,92 см

=> ВP = AB∙Sin 30 /Sin 30 = 60 см

V_В = V_A ∙ BP / AР = 28,868 cм

2) V_С = ω_AB ∙ СP

СР = √(АС∙АС + АР∙АР - 2∙АС∙АР∙Сos 30 ) = 88,791 см

V_С = V_A ∙ СP / AР = 42,72 см

3) а_В = а_А + а_ВА(вр) + а_ВА(цс) (А - полюс)                                                           (1)

а_А = а_А(цс) = ω²∙ОА = 50 см/с²

а_ВА(цс) = ω_АВ²∙АВ = 41,667 см/с²

а_ВА(цс)┴а_ВА(вр) и а_В направлен вдоль прямолинейной траектории точки В = >

спроектируем (1) на ось y, перпендикулярную ускорению а_ВА(вр) и

проходящую через А  и В:

-а_В ∙ Cos 30 = - a_А ∙ Cos 30 + a_BA(цс) =>

а_В = ( a_A ∙ Cos 30 - a_BA(цс) ) / Cos 30 = 1,8874 см/с²

проектируя (1) на ось x, получим:

а_В ∙ Sin 30 = - a_А ∙ Sin 30 - a_BA(вр) =>

а_ВA(вр) = - a_A∙Sin 30 - а_В∙Sin 30 = -25,944 см/с²

ε_AB = │a_BA(вр)│/ АВ = 0,4324 рад/с²

4) а_С = а_А + а_СА(вр) + а_СА(цс) (А - полюс)                                                            (2)

а_СА(вр) = ε_AB ∙ АС = 7,7831 см/с²

а_СА(цс) = ω_AB ∙ ω_AB ∙ АС = 12,5 см/c²

а_СХ = - а_А ∙ Sin 30 - а_СА(вр) = -32,783 см/с²

а_СУ = а_А ∙ Сos 30 - а_СА(цс) = 30,801 см/с²

Задача 6

Применение  теоремы об изменении кинетической энергии

Однородный каток В весом Q и радиусом R соединен гибкой невесомой и нерастяжимой нитью с грузом А весом Р (рис. 4). Нить переброшена через невесомый блок О радиусом r. К свободному концу нити приложена сила F, линейно зависящая от величины перемещения S.

Рис.4 – Схема.

r = 24 см

s= 2,7 м

М = 240 Нм

P = 1,8 кH

Q = 3,8 кH

F = 8,8 + 0,3 s

α = 30 ºf = 0,1

 

Решение

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

Система состоит из катка, груза, блока и нити. Система сил, действующих на систему включает активные силы Q, P, F, реакции связей N_a, N_в, F_сц, F_тр, R_x, R_y и момент трения в блоке М.

Сумма работ всех внешних  сил на соотв. перемещениях точек  их приложения:

, т.к. направления этих сил  составляют угол 90 град с направлениями перемещений точек их приложения.

, , т.к силы приложены к неподвижным точкам.

Т.е.

Система cсостоит из абсолютно  твердых тел, соединенных идеальной  нитью =>

 

 

 

Рассчитаем кинетическую энергию системы. В начальный  момент времени система находилась в покое => То = 0

Кинетическая энергия  груза А: , где

Кинетическая энергия  катка В: , где

V_C = V_A – скорость центра масс С катка,

 – момент инерции катка,

 – угловая скорость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7

Растяжение  – сжатие

Произвести расчет стержня  постоянного сечения (рис. 5) на прочность  и жесткость. Материал стержня –  сталь с допускаемым напряжением [σ] = 210 МПа и модулем Юнга Е = 2,1·10⁵ МПа. Требуется:

1) вычислить продольные  силы на участках стержня и  построить эпюру продольных сил  N по его длине;

2) определить размеры  поперечного сечения (сторону  квадрата или диаметр);

3) вычислить нормальные  напряжения на участках стержня и построить эпюру нормальных напряжений σ по его длине;

4) вычислить деформации  участков стержня и построить  эпюру перемещений δ.

Рис. 5 – Схема.

L₁ = 1,1 м         F₁ = 1,9 МН         E = 210000 Мпа

L₂ = 0,6 м         F₂ = 0,9 МН         [б] = 210 Мпа

L₃ = 1,7 м         F₃ = 1,2 МН         Форма сечения: круг

 

 

 

 

 

 

 

Решение

1) Определим продольные силы N методом сечений:                                         N₁ = - F₁ = -1,9 MH (сжатие)                                                                              N₂ = - F₁ + F₂ = -1 MH (сжатие)                                                                                   N₃ = - F₁ + F₂ - F₃ = -2,2 MH (сжатие)                                                                              Строим эпюру N.

2) Определим диаметр стержня из условия прочности:                                                                              S >= |N max| / [б] = 2,2 / 210 = 0,01048 м²                                                                              или S = π·d·d / 4 , откуда d >= 0,115523 м                                                                              Примем d = 0,115523 => S = 0,010476 м²

3) Определим нормальные напряжения:                                                                              б₁ = N₁ / S = -1,9 / 0,010476 = -181,364 МПа                                                                              б₂ = N₂ / S = -1 / 0,010476 = -95,4545 МПа                                                                              б₃ = N₃ / S = -2,2 / 0,010476 = -210 МПа                                                                              Строим эпюру б.

4) Определим деформации участков стержня:                                                                              ΔL₁ = N₁·L₁ / E*S = -2,09 / 0,022 = -0,950 мм                                                                              ΔL₂ = N₂·L₂ / E*S = -0,6 / 0,022 = -0,273 мм                                                                              ΔL₃ = N₃·L₃ / E*S = -3,74 / 0,022 = -1,700 мм

5) Перемещения сечений:                                                                                         δ_А = 0 мм                                                                                                                                                                δ_B = ΔL₃ = -1,700 мм                                                                                                                                                            δ_C = ΔL₃ + ΔL₂ = -1,973 мм                                                                                                                                                            δ_D = ΔL₃ + ΔL₂ + ΔL₁ = -2,923 мм                                                                              Строим эпюру перемещений δ.

 

 

 

 

 

Задача 8

Кручение

К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное цилиндрическое поперечное сечение, приложены четыре крутящих момента (рис. 6). Левый конец  вала жестко закреплен в опоре, а  правый – свободен. Требуется:

1) построить эпюру  крутящих моментов Т_к по длине вала;

2) при заданном значение  допускаемого напряжения на кручение [τ_к] определить диаметры d₁ и d₂ вала из расчета на прочность.

Рис. 6 – Схема.

Т₁= 5,7 кНм

Т₂= 2,7 кНм

Т₃= 1,7 кНм

Т₄= 0,7 кНм

[τ_к] = 45 Мпа

 

 

 

 

 

Решение

1. Определим крутящие  моменты на участках методом  сечений:

τ_к (IV) = T₄ = 0,7 кНм

τ_к (III) = T₄ - T₃ = -1 кНм

τ_к (II) = T₄ - T₃ + T₂ = 1,7 кНм

τ_к (I) = T₄ - T₃ + T₂ - T₁ = -4 кНм

Строим эпюру T_к, кНм.

2. Определим диаметры  вала:

На участках I и II диаметры одинаковы, T_max = 4 кНм

Полученное значение диаметра округляем до ближайшего (в  сторону увеличения) из ряда диаметров по ГОСТ 6963-69.

Примем d₁ = 76 мм

На участках I и II диаметры одинаковы, T_max = 1 кНм

Полученное значение диаметра округляем до ближайшего (в  сторону увеличения) из ряда диаметров по ГОСТ 6963-69.

Примем d₂ = 48 мм