Контрольная работа по "Исследование операций"

 

Считая потоки происходящих на станции  событий пуассоновскими, найти:

-    относительную и абсолютную  пропускную способность АЗС;

• долю сразу же отъезжающих машин (упущенная выручка); 
• среднее количество занятых колонок;
• среднее количество автомашин на площадке ожидания:
• среднее время ожидания заправки и
• среднее время пребывания машин на АЗС.

 

Решение:

 

             λ               λ                 λ                λ                λ

            μ               2μ                 2μ                2μ             2μ

 

S₀ – все каналы свободны.

S₁ – один канал занят, один канал свободен.

S₂ – оба канала заняты, очереди нет.

S₃ – оба канала заняты, в очереди одна машина.

S₄ – оба канала заняты, в очереди две машины.

S₅ – оба канала заняты, в очереди три машины.

 

число каналов обслуживания:

 

число мест в очереди:

 

интенсивность потока заявок:

 

время обслуживания:

интенсивность обслуживания:

мера относительной загрузки системы:  

 

Вероятности состояний системы:

 

             

 

 

Вероятность отказа:

 

 

 

Относительная пропускная способность:

 

 

Абсолютная пропускная способность:

 

 

Среднее кол-во занятых колонок:

 

 

Среднее кол-во машин на площадке ожидания:

 

 

Среднее время ожидания заправки:

 

 

Среднее время пребывания машины на АЗС:

 

 

Задача № 19. Задача о регулировке станков.

На токарном участке в цехе эксплуатируются  шесть старых станков. Поэтому, в среднем через каждые полчаса каждые станок приходиться останавливать на отладку и регулировку, которая в среднем отнимает 10 минут «токарного» времени. Регулировку выполняет бригада из двух слесарей-наладчиков.

Полагая потоки событий в системе  обслуживания станков пуассоновскими, найти:

• среднюю производительность бригады;
• среднее количество занятых регулировкой рабочих;
• среднее количество работающих станков;
• среднюю производительность участка.

Решение:

 

             λ               λ                 λ                λ                λ               λ

             μ               2μ                 2μ                2μ             2μ                 2μ

 

S₀ – все станки исправны.

S₁ – один станок на ремонте, очереди нет.

S₂ – два станка на ремонте, очереди нет.

S₃ – три станка неисправны, два на ремонте, один в очереди.

S₄ – четыре станка неисправны, два на ремонте, два в очереди.

S₅ – пять станков неисправны, два на ремонте, три в очереди.

S₆ – шесть станков неисправны, два на ремонте, четыре в очереди.

 

Число станков:

Число рабочих:

 

интенсивность потока заявок: станка в час

время обслуживания: часа

интенсивность обслуживания:

мера относительной загрузки системы:  

 

Вероятности состояний:

 

   

 

 

 

 

 

 

Среднее количество занятых регулировкой рабочих:

 

 

Среднее количество неисправных станков:

 

 

Среднее количество работающих станков равно разнице между общим количеством станков и количеством неисправных станков:

 

 

Средняя производительность бригады (пропускная способность):

 

станков в час

 

Производительность одного станка:

 

часа

 

Средняя производительность участка:

 

станков в час 
Задача № 20. Задача об обороне завода.

Военная  ситуация

У стороны А два бомбардировщика  и задача:  поразить объект, к которому имеются четыре сектора подхода. Они могут быть

 «прикрытыми» одноразовыми зенитными                    ЗК                                 Объёкт

ми комплексами, каждый из которых может                           Сектор подхода 1       налёта

поразить самолёт только в  своём  секторе, но                   ЗК

с вероятностью 1.                                                             Сектор подхода 2

        Для уничтожения объекта достаточно                          

прорыва к нему одного самолёта.                               Сектор         ЗК                                                   

         Найти решение ситуации.                           одхода 3                ЗК   

         Задача  состоит в том, чтобы найти                                      Сектор подхода 4

наилучший способ распорядится ресурсами,

которые имеются у стороны А (только два

самолета) и у стороны В (четыре зенитных комплекса).                                                                           

 

Решение:

 

Возможные стратегии стороны А:

 

А₁ – отправить самолеты в разные сектора

А₂ – отправить самолеты в один сектор

 

Возможные стратегии стороны В:

 

В₁ – (1+1+1+1) поставить по одному комплексу в каждый сектор

В₂ – (2+1+1+0) поставить 2 комплекса в один сектор,  по 1 комплексу в два других сектора

В₃ – (2+2+0+0) поставить 2 комплекса в один сектор, 2 комплекса в другой сектор

В₄ – (3+1+0+0) поставить 3 комплекса в один сектор, 1 комплекс в другой сектор

В₅ – (4+0+0+0) поставить 4 комплекса в один сектор

 

Ставить более двух орудий на одно направление невыгодно, так как  вероятность поражения одного орудия равна 1. Поэтому стратегии В₄ и В₅ можно сразу отбросить.

 

Составляю платежную матрицу игры:

Выигрыш А – вероятность поражения  объекта – вероятность того, что  к объекту долетит хотя бы один самолет.

Рассмотрю выигрыш для всех комбинаций стратегий:

 

А₁ В₁ – самолеты летят в разные сектора, комплексы стоят по схеме (1+1+1+1).

а₁₁ – вероятность того, что хотя бы один самолет прорвется к объекту

а₁₁ =0

 

А₂ В₁ – самолеты летят в один сектор, комплексы стоят по схеме (1+1+1+1).

Один из самолетов дойдет до цели.

а₂₁=1

 

А₁ В₂ – самолеты летят в разные сектора, комплексы стоят по схеме (2+1+1+0).

Вероятность пройти к незащищенному  объекту нахожу через вероятность  противоположного события, те когда  оба самолета выберут защищенное направление. Вероятность этого  события равна: 3/4*2/3=1/2, откуда вероятность  поражения цели:

а₁₂=1-1/2=1/2

 

А₂ В₂ – самолеты летят в один сектор, комплексы стоят по схеме (2+1+1+0).

Вероятность поражения цели равна:

а₂₂=3/4

 

А₁ В₃ – самолеты летят в разные сектора, комплексы стоят по схеме (2+2+0+0).

Вероятность того, что самолеты поразят  цель:

а₁₃=1-2/4*1/3=5/6

 

А₂ В₃ – самолеты летят в один сектор, комплексы стоят по схеме (2+2+0+0).

Вероятность того, что самолеты поразят  цель:

а₂₃=1/2

 

Рабочая матрица игры

 

	В1	В2	В3
А1	0	1/2	5/6	0
А2	1	3/4	1/2	1/2
	1	3/4	5/6

 

 

Нижняя цена игры

 

Верхняя цена игры

Игра имеет не имеет седловой точки:

 

Получаю решение в смешанных  стратегиях:

Выделяю активные стратегии противника: В_1, В₃

После этого игра сводится к игре

 

	В1	В3
А1	0	5/6
А2	1	1/2

 

На основании теоремы об активных стратегиях записываю соотношения:

 

 

- цена игры

- платежи

- вероятность применения  стратегии стороной А.

- условие нормировки

 

 

 

  

 

Сторона А должна с вероятностью послать самолеты порознь, и с вероятностью послать самолеты в один сектор.

 

Цена игры:

Что удовлетворяет соотношению:

 

 

Геометрическая интерпретация:

 

 
Задача № 21. Построение гистограммы.

 

Ниже в таблице приведены  результаты ресурсных испытаний 1000 электрических лампочек, в ходе которых  фиксировалась наработка до отказа (продолжительность безотказной работы или  временной ресурс  в часах) не для каждой из них, а для групп, проработавших от 0 до10, от10 до20, от 20 до 30 от 30 до 40 и т. д. часов (в интервале ∆t).

Номер           группы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Наработка в часах	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	06-80	80-100	100-150	150-200
Численность группы	151	102	77	61	79	120	200	69	91	50

Нарисовать на фоне гистограммы (сглаженную) кривую  f(t)  для паспорта, который будет придаваться подобным лампам до следующих ресурсных испытаний

 

Решение:

Использую формулу: , где - число устройств, отказавших на участке от до :

На первом участке:

На втором участке:

На третьем участке: , итд

 

Оформляю результат в виде таблицы:

 

Длительность работы в часах: от-до	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-80	80-100	100-150	150-200
Плотность	0,0151	0,0102	0,0077	0,0061	0,0079	0,012	0,01	0,0035	0,0018	0,001

 

 
Задача № 22. Про отказы.

                                                                                                             f(t)

Плотность распределения времени  безотказной                 Уровень [t₁– t₀]^–1= Const 

            работы f(t) = Const  на интервале от  t₀ до t₁ и

         f(t) = 0 всюду вне его (см .рис. справа).

            Найти  интенсивность отказов (l(t)= ?).                          t₀         t₁                 t

 

Решение:

- среднее количество отказов,  приходящихся на один работающий  элемент в единицу времени  – интенсивность потока отказов

 

  

 

Где : - вероятность исправности элемента

 

- вероятность неисправности  элемента

где   

откуда 

график интенсивности  отказов

 

 

 

При

 

 

Задача № 23. Задача о надежности простой системы.

Простая система составляется из 1000 одинаково надёжных элементов.

Какой надёжностью должен обладать каждый элемент, чтобы надёжность системы  оказалась не ниже 0,90?

 

Решение:

 

Для безотказной работы простой системы в течении времени необходимо, что бы безотказно работал каждый из ее элементов.

 

S₀ – событие, состоящее в безотказной работе системы за время .

S₁ – событие состоящее в безотказной работе первого элемента.

S₂ – событие состоящее в безотказной работе второго элемента.

S₃ – событие состоящее в безотказной работе третьего элемента.