Предмет и метод начертательной геометрии

2. Параллельная проекция. Пусть даны плоскость проекций П' и направление проецирования 5, непараллельное плоскости проекций. Когда мы удаляем центр проекций 5 в бесконечно удаленную точку 5оо, то все проецирующие прямые, как пересекающиеся в бесконечно удаленной точке, будут параллельны некоторому направлению 5. Чтобы построить проекцию А' какой-либо точки А, проводят через точку А проецирующую прямую параллельно направлению проецирования 5, а затем находят точку А' пересечения этой прямой с плоскостью П (рис. 2).

Таков метод параллельного проецирования точек пространства на плоскость проекций.

Рассмотрим некоторые свойства параллельной проекции.

Проекцией точки является точка.

Это свойство следует из самого способа  построения проекции точки.

 

Проекцией прямой линии является прямая линия.

Все прямые, проецирующие точки А, В, С, ... данной прямой I (рис. 2), лежат в одной плоскости, проходящей через прямую I и параллельной направлению проецирования 5. Эта плоскость, называемая проецирующей плоскостью, пересекает плоскость проекций П' по прямой линии Г, которая, согласий определению проекции фигуры как совокупности проекций всех ее точек, и является проекцией данной прямой. Это свойство будем называть свойством прямолинейности.

Очевидно, что если прямая I будет  проецирующей прямой, то ее проекция выродится  в точку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой.

Это свойство, называемое свойством принадлежности, непосредственно следует из определения проекции фигуры, как совокупности проекций всех ее точек.

Рассмотренные три свойства имеют  место также и в случае центральной проекции.

Однако параллельная проекция обладает еще другими свойствами, которых не имеет центральная проекция.

Проекциями параллельных прямых являются параллельные прямые.

Действительно, если прямые I и т параллельны, то и проецирующие их плоскости будут параллельны как содержащие по паре пересекающихся соответственно параллельных прямых (I \\ т и А А' || ММ'). Отсюда следует, что Г || т' как прямые пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью. Это свойство называется свойством сохранения параллельности.

Очевидно, что если прямые I и т будут проецирующими прямыми, то указанное свойство теряет смысл, так как проекциями этих прямых будут две точки.

 

Отношение проекций отрезков, лежащих  на параллельных прямых или на одной  и той же прямой, равно отношению самих отрезков.

Пусть А В и МЫ — отрезки, лежащие на параллельных прямых I и т, а А'В' и М'Ы'— их проекции на плоскость 1Г (рис. 2). Проведем в проецирующих плоскостях отрезки А В* и МЫ*, соответственно параллельные отрезкам А'В' и М'Ы'. При этом АВ* = А'В' и МЫ* = М'Ы'. Очевидно, что треугольники АВВ* и МЫЫ* подобны, так как их соответственные стороны параллельны. Отсюда получаем: А'В': М'Ы' = АВ*: МЫ* = = АВ : МЫ. Если данные отрезки лежат на одной прямой, то теми же рассуждениями можно установить, что А'В': В С'— АВ : ВС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекция фигуры не меняется при  параллельном переносе плоскости проекций.

В качестве проецируемой фигуры возьмем  треугольник ABC и спроецируем его по направлению s на плоскости II' и II' параллельные между собой (рис. 3). Так как отрезки А'А', В'В', С'С' параллельны и равны между собой, то четырехугольники А'В'В'А', В'С'С'В' и С'А'А'С являются параллелограммами. Поэтому у треугольников А'В'С' и А'В'С' соответственные стороны равны и, следовательно, эти треугольники равны между собой. Очевидно, что эти же рассуждения применимы для проекции любой другой фигуры.

Рассматривая указанные выше свойства параллельной проекции, можно заметить, что ее три последние свойства обеспечивают более простое построение изображения, которое вместе с тем и меньше искажает форму и размеры оригинала по сравнению с центральной проекцией.

В самом деле, одно из свойств указывает  на сохранение параллельности прямых, поэтому параллельная проекция трапеции есть трапеция; параллельная проекция параллелограмма есть параллелограмм, в то время как в центральной проекции эти фигуры вообще проецируются в четырехугольники произвольного вида. По следующему свойству мы имеем для проекций двух параллельных отрезков соотношение

А'В': = АВ : МАГ,

откуда

А!В': АВ = М'Ы': ММ (рис. 2),

т. е. при параллельном проецировании  искажение для всех параллельных отрезков постоянно.

Отсюда, в частности, следует, что  середина отрезка проецируется в  середину проекции отрезка.

Последнее свойство позволяет  переносить плоскость проекций параллельно самой себе, т. е. отказаться от фиксации плоскости проекций. При этом говорят, что положение плоскости проекций определяется лишь с точностью до параллельности. Это обстоятельство весьма* удобно и поэтому широко применяется при построении технического чертежа.

3. Ортогональная проекция. Еще большее упрощение построения чертежа дает применение ортогонального проецирования, являющегося частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования 5 перпендикулярно плоскости проекций 1Г. В этом слу-

чае нетрудно установить соотношение  между длиной натурального отрезка  и длиной его проекции. Если отрезок А В образует с плоскостью проекций угол а, то, проведя АВ* Ц А 'В' (рис. 4), получим из прямоугольного треугольника

АВ*В : АВ* = АВ соs x или

А'В' = АВ cos x.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ортогональная проекция получила наибольшее распространение в технических чертежах, так как она позволяет наиболее легко судить о размерах изображаемых предметов.

 

 

Рассмотренные выше методы проецирования позволяют однозначно решать прямую задачу, т. е. по данному оригиналу строить его проекционный чертеж. Однако обратная задача — по данному проекционному чертежу воспроизвести (реконструировать) оригинал — не решается однозначно. Эта задача допускает бесчисленное множество решений, так как каждую точку А' плоскости проекций П' можно считать проекцией любой точки проецирующей прямой, проходящей через А' (рис. 1, 2 и 4).

Таким образом, рассмотренные нами проекционные чертежи не дают возможности определить оригинал или, как говорят, не обладают свойством обратимости. Для получения обратимых чертежей дополняют проекционный чертеж необходимыми данными. Существуют различные методы такого дополнения. В данном курсе будут применяться только два вида обратймых чертежей, а именно, комплексные чертежи в ортогональных проекциях и аксонометрические чертежи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

1.    А.Д. Посвянский / Краткий курс начертательной  геометрии- Изд.3-е. Учебник для  всех специальностей втузов, кроме строит, и архит. М., «Высш. школа», 1970

240 с. с илл

 

1  Введение бесконечно удаленных элементов (точек и прямых) позволяет избежать исключений в геометрических положениях, связанных с понятием параллельности. Так, каждые две прямые одной плоскости всегда пересекаются в одной точке (обыкновенной или бесконечно удаленной). Каждые две плоскости всегда пересекаются по прямой (обыкновенной или бесконечно удаленной).