Теорема Тихонова. Применение теоремы Тихонова

18. Топологическое пространство, одновременно удовлетворяющее аксиомам T1 и Tρ, называется вполне регулярным, или тихоновским. Всякое вполне регулярное пространство регулярно, поскольку Tρ влечёт T3.

Из леммы Урысона вытекает следующее утверждение.

19. Предложение. Всякое  нормальное пространство вполне  регулярно.

20. Вторая теорема Тихонова. Всякое тихоновское пространство X веса τ гомеоморфно подмножеству тихоновского куба Iτ. Следующее утверждение очевидно.

21. Предложение. Всякое  подпространство тихоновского пространства является тихоновским.

Из второй теоремы Тихонова и предложений 1.30, 2.19 и 2.21 вытекает следующая теорема.

22. Теорема. Следующие  свойства топологического пространства X равносильны для бесконечного  кардинального числа τ:

1) X — тихоновское пространство  веса τ,

2) X гомеоморфно подпространству  тихоновского куба Iτ,

3) X гомеоморфно всюду  плотному подпространству бикомпакта  веса τ,

4) X гомеоморфно подпространству  нормального пространства веса  τ.

Из 9, 12, 20 и 21 вытекает следующее утверждение.

23. Предложение. Произведение  тихоновских пространств является  тихоновским пространством.

24. Пространство Y , содержащее  пространство X в качестве всюду  плотного подпространства, называется  расширением пространства X. Таким образом, теорема 22 утверждает, в частности, что всякое тихоновское пространство имеет бикомпактное расширение. Произвольное бикомпактное расширение пространства X обозначается обычно через bX. Отметим, что у тихоновского пространства X существует, как правило, много бикомпактных расширений.

Далее под бикомпактным расширением  тихоновского пространства понимаем хаусдорфово бикомпактное расширение.

Следующее утверждение достаточно очевидно.

25. Предложение. Пусть  fi : X → Y , i = 1,2, — непрерывные отображения  в хаусдорфово пространство Y . Тогда  множество {x ∈ X: f1(x) = f2(x)} замкнуто в пространстве X.

Из предложения 25 вытекает следующее утверждение.

26. Предложение. Два непрерывных  отображения в хаусдорфово пространство, совпадающие на всюду плотном  множестве, совпадают всюду.

27. Непрерывное отображение  f : b1X → b2X между бикомпактными  расширениями одного и того  же (тихоновского) пространства X назовём  натуральным, если f(x) = x для всякой  точки x ∈ X. Всякое натуральное отображение сюръективно, поскольку бикомпакт f(b1X) замкнут в объемлющем его хаусдорфовом пространстве. Согласно предложению 2.26 может существовать не более одного натурального отображения f : b1X → b2X. Скажем, что расширение b1X следует за расширением b2X, и будем писать b2X b1X, если существует натуральное отображение f : b1X → b2X.

Предположим, что b2X b1X и b1X b2X, т. е. существуют натуральные отображения f1 : b1X → b2X и f2 : b2X → b1X. Т огда f2 ◦ f1 = idb1X и f1 ◦ f2 = idb2X согласно предложению 2.26. Поэтому отображения f1 и f2 — взаимно обратные гомеоморфизмы. Следовательно, расширения b1X и b2X топологически неразличимы: одно расширение связано с другим единственным отображением, которое является гомеоморфизмом. Такие расширения назовём эквивалентными и в дальнейшем не будем их различать, понимая под бикомпактным расширением весь класс эквивалентных бикомпактных расширений.

После этой оговорки введённое  отношение превращается в отношение частичного порядка в семействе BX всех бикомпактных расширений данного тихоновского пространства X.

28. Стоун-чеховское расширение  βX. Семейство BX оказывается множеством, в котором имеется наибольший  элемент βX. А. Н. Т ихонов в своей работе 1929 г., где были доказаны его знаменитые теоремы, вложил вполне регулярное пространство X веса τ в тихоновский куб Iτ посредством диагонального произведения специально выбранного им семейства мощности τ непрерывных функций ϕ: X → [0,1].

Э. Чех в 1937 г. посредством  диагонального произведения всех непрерывных функций ϕ: X → [0,1] = Iϕ вложил тихоновское пространство X в тихоновский куб ϕ - Iϕ. Замыкание пространства X в этом кубе и есть расширение βX.

В своей знаменитой работе того же года М. Стоун построил наибольшее бикомпактное расширение с применением булевых алгебр и колец непрерывных функций. Наибольшее бикомпактное расширение βX тихоновского пространства X называется его стоун-чеховским расширением (компактификацией).

Сказанное выше можно резюмировать следующим образом.

29. Теорема. Для произвольного  бикомпактного расширения bX тихоновского пространства X равносильны следующие условия:

1) bX натурально гомеоморфно  расширению βX,

2) всякая непрерывная  функция ϕ: X → I может быть продолжена на bX,

3) всякое непрерывное  отображение f : X → B в бикомпакт может быть продолжено на bX,

4) расширение bX обладает  натуральным отображением на  любое бикомпактное расширение  пространства X.

30. Александровская компактификация αX. Исследуем вопрос о существовании наименьшего элемента в множестве BX. Если множество bX \ X, называемое наростом пространства X в расширении bX, содержит по крайней мере две точки x1 и x2, то расширение bX не является наименьшим, поскольку эти точки можно склеить, получив меньшее расширение. Таким образом, для небикомпактного тихоновского пространства X наименьшее бикомпактное расширение bX может иметь нарост, состоящий в точности из одной точки. В этом случае пространство X открыто в бикомпакте bX и, следовательно, локально бикомпактно, т. е. всякая точка x ∈ X имеет окрестность Ox с бикомпактным замыканием.

Верно и обратное: всякое небикомпактное локально бикомпактное хаусдорфово пространство X можно превратить в бикомпакт αX прибавлением одной «бесконечно удалённой» точки ξ, объявляя X открытым множеством в пространстве αX и считая окрестностями точки ξ множества вида {ξ} ∪ (X \ B), где B — бикомпактное подмножество пространства X. Пространство αX и называется александровской компактификацией локально бикомпактного пространства X. Ясно, что αX является наименьшим элементом в множестве BX и, следовательно, вес расширения αX совпадает с весом пространства X.

31. Определение. Замкнутое  отображение f : X → Y называется  совершенным, если оно бикомпактно,  т. е. прообраз f−1y всякой точки  y ∈ Y бикомпактен.

Следующие два утверждения  достаточно очевидны.

32. Предложение. Пусть  X × B — произведение пространства X на бикомпактное пространство B. Тогда проектирование pX : X × B → X является совершенным отображением.

33. Предложение. Пусть  f : X → Y — совершенное отображение  и Z ⊆ X — замкнутое множество. Тогда отображение f|Z также совершенно.

Из 32 и 33 вытекает следующее  утверждение.

34. Предложение. Пусть  Y ×B — произведение пространства Y на бикомпактное пространство B и X ⊆ Y ×B — замкнутое множество. Тогда отображение pY |X: X → Y совершенно.

Для отображений тихоновских  пространств имеет место и обратное утверждение.

35. Предложение. Пусть  f : X → Y — совершенное отображение  тихоновского пространства X. Тогда  существуют такой бикомпакт B и такое замкнутое вложение i: X → Y ×B, что f = pY ◦ i.

В качестве B можно взять, например, любое бикомпактное расширение пространства X. Тогда отображение i можно определить, например, следующим образом: i(x)=(y, x). Хаусдорфовость пространства B нужна для замкнутости множества i(X) ⊆ Y ×B.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Топология произведения на X — это наиболее грубая топология (то есть топология с наименьшим числом открытых множеств), для которой  все проекции p_{\alpha} непрерывны.

Открытые множества этой топологии — множества вида \prod_{i\in I} U_i, где каждое Ui является открытым подмножеством Xi и Ui ≠ Xi только для  конечного числа индексов. В частности, открытые множества произведения конечного  числа пространств — это просто произведения открытых подмножеств  исходных пространств.

Также топологию Тихонова можно описать следующим образом: в качестве предбазы топологии на X берётся семейство множеств \mathfrak{P}=\{p_{\alpha}^{-1}(U): \alpha\in A,\, U\in \mathfrak{T}_{\alpha}\}. База топологии  — всевозможные конечные пересечения  множеств из \mathfrak{P}, а топология  — всевозможные объединения множеств из базы.

Отметим, что тихоновская  топология является более слабой, чем т. н. «коробочная» топология, для  которой базу топологии образуют всевозможные произведения открытых подмножеств  перемножаемых пространств. Такая  топология не обладает указанным  выше универсальным свойством и  для неё не верна теорема Тихонова.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 1. Болтянский В. Г. Пример двумерного компакта, топологический квадрат которого трёхмерен // ДАН СССР. — 1949. — Т. 67. — С. 597—599.

2. Ю. Г. Борисович, Н. М. Близняков, Т. М. Фоменко. Введение в топологию. 2-е изд., доп. — М.: Наука. Физматлит., 1995. ISBN 5-02-014118-6. С. 107.

3. О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Эле-ментарная топология. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN. С. 158.

4. Мищенко А. С., Фоменко  А. Т. Дифференциальная геометрия  и топология. — М.:Изд-во Моск. ун-та, 1980

5. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.