Надежность устройств автоматики и телемеханики

Случайный процесс   с   непрерывным   временем   называется непрерывной марковской   цепью,  если  поведение  системы  после произвольного момента времени t0  зависит  только  от  состояния процесса в момент  времени t0 и  не  зависит от предыстории процесса, предшествующей моменту времени t0.

Определим для непрерывной  марковской цепи вероятности всех состояний системы для любого момента времени Pi(t), i = 1,n. Так как для любого момента времени t все состояния системы образуют полную группу событий, то

 

                         n

                         ∑ Pi(t) = 1

                        i=1

 

Рассмотрим параметры,  определяющие  непрерывную  марковскую цепь.

Пусть система в момент времени t находится в состоянии  Si.

Рассмотрим элементарный промежуток времени ∆t, примыкающий к моменту времени t.  За интервал  ∆t  система может перейти из состояния Si в состояние Sj с переходной вероятностью Pij(t,∆t). зависящей в общем случае как от t, так и от ∆t.

Рассмотрим  предел  отношения  этой  переходной вероятности  к ширине   интервала  ∆t  при условии,   что ∆t > 0:

 

                      Pij(t,∆t)

            lim     ----------------   =   LAij(t)      (1)

         ∆t->0     ∆t

 

Эта характеристика называется интенсивностью  перехода  или плотностью вероятности   перехода и в общем случае зависит от t.

Из формулы  (1) следует,  что при малом ∆t вероятность перехода Pij(t,∆t) с точностью до  бесконечно  малых высших порядков равна

 

              Pij(t,∆t) ~= LAij(t)*∆t

 

Если плотности вероятностей переходов  представляют собой функции времени LAij(t), марковский процесс называется неоднородным.

Если все  плотности  вероятностей переходов не зависят  от t (т.е. от  начала  отсчета элементарного участка ∆t),  то марковский процесс называется однородным (LAij(t) = LAij = const).

Для непрерывных марковских  цепей  интенсивности  переходов проставляются у соответствующих дуг графа. Такой граф называется размеченным.

Кроме интенсивностей   переходов, для  описания  непрерывных марковских   цепей   должен  быть  задан   вектор   вероятностей состояний   системы   в  исходный   (нулевой)   момент   времени

 

|P(0)| = (P1(0), P2(0), ..., Pn(0)).

 

Зная множество  состояний  системы,  значения интенсивностей переходов LAij(t),  а также  вектор  начальных  вероятностей системы |P(0)|,  определим вероятности состояний Pi(t), i = 1, n системы марковская цепь однородна, так как вероятности перехода не зависят от t.

Для момента времени t+∆t справедливо соотношение

 

                            n

         Pi(t + ∆t) = ∑ Pj(t) * Pji(∆t) =

                          j = 1

                                   n

      = Pi(t) * Pii(∆t) + ∑ Pj(t) * Pji(∆t)

                                j = 1

                              j <> i

 

В результате получим   систему   дифференциальных  уравнений для вероятностей состояний непрерывной марковской цепи, носящую имя ее автора – советского математика Колмогорова А. Н.

 

 dPi(t)    ,                      n             n

------- = Pi(t) = - Pi(t) * ∑ LAij + ∑ Pj(t) * LAij

  dt                             j = 1         j = 1

                            j <> i           j <> i

 

Pi(0) = Pi0  - вектор начальных  условий.

i = 1, n

 

Интегрирование этой  системы  по времени позволяет  получить вероятности состояний как функции времени Pi(t).

Существенно,  что в  системе Колмогорова можно  ограничиться n - 1 уравнением. Дополнительно используется условие нормировки

 

                          n

                         ∑ Pj = 1.

                        j=1

 

Анализируя дифференциальные  уравнения  Колмогорова,  можно сформулировать формальное правило для их написания непосредственно по размеченному графу системы.

В левой части уравнения  стоит  производная  от  вероятности рассматриваемого состояния  по  времени,  а  в  правой  части  - столько слагаемых,  сколько дуг графа связано с  рассматриваемым состоянием. Каждое   слагаемое   равно   произведению  плотности вероятности перехода,  соответствующей  данной  дуге  графа,  на вероятность того состояния, из которого исходит дуга графа. Если стрелка направлена из      рассматриваемого      состояния, соответствующее произведение  имеет  знак  минус.  Если  стрелка направлена в состояние, то произведение имеет знак плюс.

Это правило    составления    дифференциальных    уравнений

Колмогорова для  вероятностей   состояний   является   общим   и справедливо для любой непрерывной марковской цепи.

Для эргодических однородных марковских цепей существует стационарный режим  при t –> ∞. При стационарном режиме вероятности    состояний    стремятся     к     некоторым установившимся значениям – предельным     вероятностям

 

                    lim          Pi(t) =  Pi,

                    t -> ∞

 

которые постоянны и не зависят от начального состояния  системы.

Поскольку в установившемся режиме вероятности состояний становятся    постоянными    величинами, производные от них равны нулю.  Поэтому система дифференциальных уравнений Колмогорова с постоянными коэффициентами вырождается в систему линейных алгебраических уравнений.

Как и для дискретных марковских цепей, предельные вероятности характеризуют среднюю  долю времени,  в течение которого система находится в  данном  состоянии  при  наблюдении  за  системой  в течение достаточно продолжительного времени (на бесконечном интервале).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

 

 

Пусть все переходы системы из состояния S_i в S_j происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями (i, j = 0, 1, 2,3); так, переход системы из состояния S₀ в S₁ будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S₀ в S₁ - под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла и т.п.

Граф состояний системы  с проставленными у стрелок интенсивностями  называется размеченным. Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния: S₀, S₁ S₂, S₃. Вероятностью i-го состояния называется вероятность pi(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии S_i. Очевидно, что для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице:

Рассмотрим систему в  момент t и, задав малый промежуток A_t, найдем вероятность p_o (t + A_t) того, что система в момент t+A_t будет находиться в состоянии S₀. Это достигается разными способами.

Система в момент t с вероятностью p_o (t) находилась в состоянии S₀, а за время A_t не вышла из него.

Вывести систему из этого  состояния можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью , с вероятностью, приближенно равной А вероятность того, что система не выйдет из состояния S₀, равна . Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₀ и не выйдет из него за время A_t определяется по теореме умножения вероятностей.

Система в момент t с вероятностью p₁ (t) (или p₂ (t)) находилась в состоянии S₁ или S₂.

Переходя к пределу  при A_t 0 (приближенные равенства перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную (обозначим ее для простоты). Получено дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для  других состояний системы S, можно  получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Сформулируем правило  составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них  стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части - сумма  произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих  потоков событий минус суммарная  интенсивность всех потоков, выводящих  систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния

В системе, указанной выше, независимых уравнений на единицу  меньше общего числа уравнений. Поэтому  для решения системы необходимо добавить уравнение

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задавать так называемые начальные условия, в данном случае - вероятности состояний системы  в начальный момент t = 0. Так, например, систему уравнений естественно  решать при условии, что в начальный  момент оба узда исправны и система  находилась в состоянии S_o, т.е. при начальных условиях

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности  состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности  системы p_i(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при , которые называются предельными (финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов  доказывается, что если число состояний  системы конечно и из каждого  из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность  состояния S_i имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния S_o, т.е. р0=0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S₀.

Так как предельные вероятности  постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих  стационарный режим.

 

3.1. Процессы гибели и размножения

 

В теории массового обслуживания широко распространен специальный  класс случайных процессов - так  называемые процессы гибели и размножения. Название это связано с рядом биологических задач, где этот процесс служит математической моделью изменения численности биологических популяций.

Рассмотрим упорядоченное  множество состояний системы S₀, S₁, S₂,…, S_k. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния S_k-1 возможны переходы либо в состояние либо в состояние S _k+11.

В соответствии с правилом составления таких уравнений (уравнением Колмогорова) получим: для состояния S₀

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Проблема надежности, возникшая  много лет назад, заставляет и  сегодня говорить о ней инженеров  и экономистов, как о проблеме номер один.

Для многих современных технических  систем решение проблемы надежности, в самом прямом смысле означает, быть или не быть данной системе. К  ним можно отнести региональные и отраслевые автоматизированные системы  управления, в состав которых входит большое число ЭВМ, системы управления воздушным движением для гражданской  авиации, сеть центров управления и  слежения за космическими объектами, системы  железнодорожной автоматики и телемеханики, сети и системы передачи данных. Технические системы постоянно  усложняются. Причем, усложнение систем идет по двум направлениям. С одной  стороны, в состав технических систем входит все большее число сложных  устройств. С другой стороны усложняется  их структура, определяющая соединение отдельных устройств и их взаимодействие в процессе функционирования.

При прочих равных условиях, система, состоящая из большого числа  устройств и имеющая более  сложную структуру и сложный  алгоритм функционирования, является менее надежной по сравнению с  более простой системой. Это требует  разработки специальных методов  обеспечения, повышения и поддержания  надежности таких систем.

Инженеры, физики и математики приложили не мало совместных усилий для разработки современной теории надежности. Были предприняты гигантские усилия для создания более надежных компонентов, более простых и  надежных схем и конструкций, улучшения  условий эксплуатации. Были разработаны  соответствующие методы, позволяющие  осуществлять анализ и синтез разрабатываемых  технических средств на этапе  проектирования, проводить обоснование  оценки показателей надежности этих средств во время испытаний и  эксплуатации.

Однако проблема надежности продолжает оставаться одной из основных в современной технике. Это объясняется  тем, что постоянно усложняются  решаемые задачи и одновременно повышаются требования к надежности их выполнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

 

1. Ягудин Р.Ш. Надёжность  устройств железнодорожной автоматики. М:.Транспорт, 1989