Контрольная работа по "Эконометрике"

Задача 1.

В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.

Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X1 и мощности двигателя X2 из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.

Таблица 1

Номер автомобиля  i	Цена  (тыс.у.е.)  yi	Возраст  (лет)  xi1	Мощность  двигателя  (л.с.)  xi2
1	2,7	6	97
2	4,2	4	96
3	7,3	3	124
4	0,7	7	62
5	2,9	6	87
6	3,9	5	80
7	3,9	4	100
8	1,9	7	100
9	7,2	3	113
10	2,7	5	85
11	7,1	3	129
12	3,8	5	113
13	4,8	4	114
14	2,3	6	95
15	3,6	5	99
16	0,5	7	82

1. Парные зависимости

1.1. Построить поля рассеяний  для цены Y и возраста автомобиля X1, а также для цены Y и мощности двигателя X2. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X1 и Y от X2 и записать их математически.

1.2. Методом наименьших квадратов  найти оценки линейных уравнений регрессии: , .

1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.

1.4. Проверить статистическую значимость  параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9.

1.5. Построить доверительные полосы  надежности 0,95 для среднего значения  цены автомобиля в зависимости  от его возраста, а также от  мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

1.6. На продажу поступила очередная  партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

2. Множественная зависимость

2.1. По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

.

2.2. Проверить статистическую значимость  параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.

2.3. Рассчитать точечный и интервальный  прогноз среднего значения цены  поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.

3. Экономическая интерпретация

На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.

Решение.

 

1. Парные зависимости

1.1. Поле рассеяния для денег  У и возраста автомобиля :

На основе анализа поля рассеяния, построенного на основе таблицы 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены У от возраста автомобиля описывается линейной моделью вида:

.

Поле рассеяния для цены У и мощности двигателя :

На основе анализа поля рассеяния, построенного на основе таблицы 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены У от мощности двигателя автомобиля описывается линейной моделью вида:

.

 

1.2. С помощью метода наименьших  квадратов найдем оценки линейных  уравнений регрессии

 и  .

Промежуточные расчеты для оценок параметров введем в таблице

i
1	2,7	6	97	36	16,2	9409	261,9	7,29	582
2	4,2	4	96	16	16,8	9216	403,2	17,64	384
3	7,3	3	124	9	21,9	15376	905,2	53,29	372
4	0,7	7	62	49	4,9	3844	43,4	0,49	434
5	2,9	6	87	36	17,4	7569	252,3	8,41	522
6	3,9	5	80	25	19,5	6400	312	15,21	400
7	3,9	4	100	16	15,6	10000	390	15,21	400
8	1,9	7	100	49	13,3	10000	190	3,61	700
9	7,2	3	113	9	21,6	12769	813,6	51,84	339
10	2,7	5	85	25	13,5	7225	229,5	7,29	425
11	7,1	3	129	9	21,3	16641	915,9	50,41	387
12	3,8	5	113	25	19	12769	429,4	14,44	565
13	4,8	4	114	16	19,2	12996	547,2	23,04	456
14	2,3	6	95	36	13,8	9025	218,5	5,29	570
15	3,6	5	99	25	18	9801	356,4	12,96	495
16	0,5	7	82	49	3,5	6724	41	0,25	574
	59,5	80	1576	430	255,5	159764	6309,5	286,67	7605

 

Так как , то , .

Значит, ,

, т.е. .

Аналогично

Значит, ,

, т.е. .

 

1.3. Коэффициент парной корреляции  характеризует тесноту линейной  зависимости между Х и У.

,

.

Так как ; близок к 1, то линейная связь между У и тесная отрицательная; так как , то линейная связь между У и тесная  положительная.

Проверим значимость полученных коэффициентов корреляции.

В нашей задаче .

Для получаем:

, значит коэффициент корреляции  существенно отличен от нуля  и существует сильная линейная  отрицательная связь между У  и  .

Для получаем:

, значит коэффициент корреляции  существенно отличен от нуля и существует сильная линейная связь между У и .

 

1.4. Качество уравнения регрессии оценивает F-тест. Он основан на проверке гипотезы о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Для зависимости У от : , т.е. вариация цены на 90% объясняется возрастом автомобиля.

Для зависимости У от : , т.е. вариация цены на 82% объясняется мощностью двигателя автомобиля.

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера:

 для зависимости У и  ,

 для зависимости У и  .

Так как ; , при уровне значимости табличное значение . Поэтому т.к. для обоих зависимостей, то гипотеза отклоняется и признается статистической значимость уравнений регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии используется t-критерий Стьюдента. Выдвигается гипотеза о незначимом отклонении от нуля каждого отдельного параметра модели.

Для зависимости У от : . Т.к. это значение  больше 1,761, то гипотезу принимаем.

Для зависимости У от : . Т.к. это значение больше 1,761, то гипотезу принимаем.

Следовательно, признается статистическая значимость коэффициентов регрессии.

 

1.5. Доверительные интервалы среднего  значения цены автомобиля в зависимости от его возраста для найдем по формуле:

,

где ,

Для определения , построим таблицу:

 

i
1	2,7	6	2,32	0,53	1,41	0,345	0,814	2,16	2,84
2	4,2	4	5,12	0,23	3,28	0,440	1,038	3,642	5,918
3	7,3	3	6,52	0,01	0,04	0,253	0,597	6,13	7,807
4	0,7	7	0,92	0,03	0,66	0,298	0,703	0,17	1,03
5	2,9	6	2,32	1,42	0,48	0,286	0,675	2,135	3,085
6	3,9	5	3,72	0,14	0,66	0,298	0,703	3,077	4,083
7	3,9	4	5,12	1,56	4,80	0,505	1,192	3,458	5,992
8	1,9	7	0,92	1,25	1,41	0,345	0,814	0,56	2,134
9	7,2	3	6,52	0,003	0,04	0,253	0,597	5,903	7,947
10	2,7	5	3,72	0,10	1,72	0,362	0,854	2,166	3,977
11	7,1	3	6,52	0,42	3,28	0,440	3,038	6,112	7,488
12	3,8	5	3,72	0,34	0,10	0,258	1,609	3,011	4,229
13	4,8	4	5,12	0,08	1,72	0,362	0,854	4,636	5,344
14	2,3	6	2,32	0,04	4,80	0,505	1,192	2,098	2,82
15	3,6	5	3,72	2,53	0,48	0,286	0,675	3,098	3,982
16	0,5	7	0,92	0,83	0,10	0,258	0,609	0,181	1,119
	59,5	80		11,51	24,98
сред- нее	3,72	5,0		0,72

 

Изобразим графически линию регрессии и доверительную полосу вместе с полями рассеяний:

 

Аналогичным образом найдем доверительные интервалы среднего значения цены автомобиля в зависимости от мощности двигателя для :

 

i
1	2,7	97	3,57	8,64	1604,80	1,76	1,04	2,16	3,84
2	4,2	96	3,47	1,10	1020,16	0,80	1,72	3,18	4,62
3	7,3	124	6,25	11,02	531,76	0,40	0,37	6,13	7,47
4	0,7	62	0,10	1,44	1364,56	0,56	1,92	0,02	1,12
5	2,9	87	2,58	6,71	1604,80	1,76	1,04	2,06	3,14
6	3,9	80	1,89	3,53	286,96	0,34	1,17	1,03	4,07
7	3,9	100	3,87	0,07	1092,96	0,51	1,75	3,55	4,05
8	1,9	100	3,87	0,85	16,48	0,26	0,89	1,01	4,09
9	7,2	113	5,16	0,04	1364,56	0,56	1,92	5,08	7,32
10	2,7	85	2,38	0,58	257,92	0,33	1,13	2,17	2,93
11	7,1	129	6,74	1,06	64,96	0,27	0,92	6,48	7,62
12	3,8	113	5,16	0,14	286,96	0,34	1,17	3,23	5,97
13	4,8	114	5,25	1,25	142,56	0,30	1,03	4,57	5,63
14	2,3	95	3,37	4,28	286,96	0,34	1,17	2,13	3,67
15	3,6	99	3,77	5,20	64,96	0,27	0,92	3,28	4,02
16	0,5	82	2,08	5,81	15,52	0,26	0,89	0,11	2,89
	59,5	1576	3,57		5485,6
сред- нее	3,72	98,5