Физические величины. Параметры законов распределения

Содержание
1 Что такое шкала физической  величины. Примеры шкал физической  величины.	3
2 Числовые параметры законов распределения	5
Список литературы	11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Что такое шкала физической  величины. Примеры различных шкал  физической величины.

 

В большой советской энциклопедии шкала физической величины определяется как принятая по соглашению последовательность значений, присваиваемых физической величине по мере её возрастания (или убывания). Обычно эта последовательность определяется принятым методом измерений величины. Примеры: термодинамическая температурная шкала. Международная практическая температурная шкала, шкалы твёрдости по Роквеллу, Виккерсу и Бринеллю.

           Шкала физической величины в учебнике Сергеева А.Г. «Метрология» - это упорядоченная последовательность значений физической величины, принятая по соглашению на основании результатов точных измерений.

В практической деятельности необходимо проводить  измерения различных величин, характеризующих  свойства тел, веществ, явлений и  процессов. Некоторые свойства проявляются только качественно, другие — количественно. Разнообразные проявления (количественные или качественные) любого свойства образуют множества, отображения элементов которых на упорядоченное множество чисел или в более общем случае условных знаков образуют шкалы измерения этих свойств. Шкала измерений количественного свойства является шкалой физической величины.

Существуют следующие  типы шкал физической величины:

- шкала наименований (шкала  классификации): используется для  выявления различий между объектами  или классификации объектов, свойства  которых проявляются только в отношении эквивалентности (совпадения или несовпадения). Основана на приписывании качественным свойствам объектов чисел, играющих роль имен. Нумерация объектов по шкале наименований осуществляется по принципу: «не приписывай одну и ту же цифру разным объектам »; в них отсутствует понятие «0», «больше» или «меньше» и единицы измерения (пример – атласы цветов, предназначенные для идентификации цвета, шкала обозначения городских телефонных номеров);

- шкала порядка (шкала  рангов): содержит монотонно изменяющиеся  размеры измеряемых величин и  позволяет установить отношение  больше/меньше между величинами, характеризующими указанное свойство (пример – 12-балльная шкала Рихтера, 12-балльная шкала Бофорта для измерения силы морского ветра, 4-х балльная шкала для оценивания знаний, 10-балльная шкала минералогической твердости (шкала Мооса));

- шкала интервалов (шкала  разностей): состоит из одинаковых  интервалов, имеет единицу измерения  и произвольно выбранное начало  – нулевую точку. На шкале интервалов определены действия сложения и вычитания интервалов (пример – шкала интервалов времени: летосчисление по различным календарям, в которых за начало отсчета принято либо сотворение мира (юлианский календарь), либо Рождество Христово (григорианский календарь); шкала Цельсия (за начало отсчета принята температура таяния льда), шкала Фаренгейта (за начало отсчета принята температура таяния смеси льда, поваренной соли и нашатыря));

- шкала отношений (подобия): в этой шкале существует однозначный естественный ноль и единица измерения. С формальной точки зрения шкала отношений является шкалой интервалов с естественным началом отсчета. К значениям, полученным по этой шкале, применимы все арифметические действия (пример – шкала массы, шкала термодинамической температуры, связанная со шкалой Кельвина, шкала длины).

Переход от одной шкалы  отношений к другой, эквивалентной  ей шкале осуществляется с помощью преобразования подобия, поэтому шкалы отношений отражают, во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.

 

 

 

 

 

 

2 Числовые  параметры законов распределения.

 

результаты наблюдений в  значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это даёт основание принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения и называемой математическим ожиданием результатов наблюдений

.                                                (1)

В заключение можно дать более  строгое определение постоянной систематической и случайной погрешностей.

Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины

Δ_s=M[x]–Q,                                                               (2)

а случайной погрешностью – разность между результатом  единичного наблюдения и математическим ожиданием:

= х-М[х].                                                                (3)

В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет

Q = x-Δ_s- .                                                                (4)

 Моменты случайных  погрешностей

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций  распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами.

Начальным моментом r-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

,                                               (5)

представляющий собой математическое ожидание степени х^г.

Из выражения (5) непосредственно следует, что первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов наблюдений

α₁[х] = М[х].                                  (6)

Центральным моментом r-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

,            (7)

представляющий собой математическое ожидание r-й степени случайной погрешности.

Можно доказать, что первый центральный момент тождественно равен  нулю

.                                         (8)

 

Аналогично строится система  моментов для распределения случайных  погрешностей. Необходимо отметить, что начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений

                                                                (9)

поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю. Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов  наблюдений и обозначаемый D[x]

                                   (10)

Дисперсия случайной погрешности  равна дисперсии результатов  наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением (СКО) результатов наблюдений:

                                                                          (11)

С помощью СКО можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины ε, т.е. вероятность р{| | < ε}.

Для этого запишем выражение  для дисперсии случайной погрешности:

.

Если сузить пределы интегрирования, то правая часть равенства возрасти не может. Поэтому имеет место следующее неравенство

.

При замене под знаком интеграла  на меньшую величину ε² неравенство может только усилиться

.

Интегралы в квадратных скобках  представляют собой вероятности того, что случайная погрешность примет значения, лежащие в интервалах, определяемых пределами интегрирования,

Получаем окончательно

                                                                                                                           (12)

Этот результат известен как неравенство Чебышева.

Полагая ε = 3·δ_Х, найдем вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного с.к.о., т.е. вероятность того, что случайная погрешность окажется большей 3·δ_Х,

.

Вероятность того, что погрешность  измерения не превысит 3· δ_Х, составит соответственно .

Неравенство Чебышева дает только нижнюю границу для вероятности  , меньше которой она не может быть ни при каком распределении. Обычно значительно больше 89 %. Так, например, в случае нормального распределения погрешности эта вероятность составляет 99,73 %.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто  применяемыми моментами, поскольку они определяют наиболее важные черты распределения: положение центра распределения и степень его разбросанности. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий момент случайных  погрешностей служит характеристикой  асимметрии или скошенности, распределения. В общем случае любой нечетный момент случайной погрешности характеризует асимметрию распределения. Действительно, если распределение обладает свойством симметрии, то все функции вида , где s = 1,3,5,..., являются нечетными функциями . Поэтому все нечетные моменты, являющиеся интегралами этих функций в бесконечных пределах, должны равняться нулю. Отличие этих моментов от нуля как раз и указывает на асимметрию распределения.

Простейшим из нечетных моментов является третий момент . Чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на третью степень СКО и получают коэффициент асимметрии, или просто асимметрию S_k распределения:

.                                                                               (13)

Для иллюстрации сказанного на рисунке 1 приведены три кривые распределения случайных погрешностей с положительной, отрицательной и нулевой асимметрией.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                    Рисунок 1

Четвертый момент служит для  характеристики плосковершинности или островершинности распределения случайных погрешностей. Эти свойства описываются с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, определяемой выражением

.                                                                              (14)

Число 3 вычитают из отношения, потому что для широко распространенного  нормального распространения погрешностей . Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю, более плоско вершинные распределения обладают отрицательным эксцессом, более островершинные − положительным (рисунок 2).

 

 

 

 

 

                                                 

                                                Рисунок 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1 Сергеев А.Г., Крохин В.В.  С32 Метрология: Учеб. пособие для  вузов. -М.: Логос, 2001. -408 с.: ил. ISBN 5-94010-039-2

2 Кострикин А.М. Теоретическая метрология: Учеб. пособие для студентов специальности "Метрология, стандартизация и сертификация". Ч.1. – Мн.: БГУИР, 1999. – 87 с. ISBN 985-444-032-X (ч.1).