Анализ тепловых полей в металле

 

2.3 Сферическая  тепловая  волна

 

Приведем основные соотношения, соответствующие случаю при различной пространственно-временной структуре излучения.

При постоянной во времени  интенсивности излучения и при  прямоугольном распределении энергии  в пятне облучения имеем в течение времени действия лазерного импульса:

   (2.8)

Здесь J₀ и J₁ — функции Бесселя первого рода и соответственно нулевого и первого порядка.

В практических приложениях  обычно основной интерес представляет температура на оси (r = 0) под пятном облучения:

   (2.9)

Температура на поверхности  мишени в центре пятна облучения

   (2.10)

При действии бесконечно длинного лазерного импульса максимальные температуры на поверхности и внутри мишени, следующие из (2.9) и (2.10), равны

     (2.11)

      (2.12)

а средняя установившаяся температура  в пятне при связана с максимальной температурой соотношением

      (2.13)

Необходимо подчеркнуть, что формулами (2.11) – (2.13) можно пользоваться при выполнении условия , значительно менее жесткого, чем .

В случае мгновенного  лазерного импульсного воздействия  по всему пятну облучения

      (2.14)

где — дельта-функция, температура мишени ведет себя по закону:

  (2.15)

где — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Для произвольной временной  формы лазерного импульса и опять  же для прямоугольного профиля распределения  энергии в пятне температуру мишени можно рассчитать с помощью выражения

(2.16)

 

Перейдем теперь к  гауссовым лазерным пучкам. При мгновенном выделении энергии в этом случае удается получить значительно более  простое, чем (1.128), аналитическое выражение  для температуры  .

     (2.17)

Для произвольной формы  лазерного импульса имеем

(2.18)

Ситуация существенно  упрощается при переходе к случаю постоянной в течение времени действия лазерного импульса интенсивности. Тогда в стационарном случае распределение температуры по глубине мишени можно описать с помощью формулы

  (2.19)

А в центре пятна облучения (r=z=0) получаем следующие удобные для практического использования соотношения:

   (2.20)

    (2.21)

Отметим, что формулы (2.12) и (2.21) для стационарной температуры  в: центре пятна при облучении  мишеней соответственно однородным и гауссовым световыми пучками  отличаются незначительно. Их отношение при одинаковых радиусах пятна составляет всего :

    (2.22)

Всегда можно  провести оценку температуры в зоне облучения, пользуясь соотношением:

       (2.23)

где E₀ - полная энергия в лазерном импульсе, а V — объем мишени, охваченный тепловой волной к моменту окончания лазерного импульса, который можно рассчитать как

    (2.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Модель металлической  пластины

 

3.1 Металлическая пластина

 

В целом ряде практически  интересных ситуаций, в частности, при  нагреве непрерывным излучением тонких металлических листов, в течение  времени облучения тепловая волна  может достигнуть задней (необлучаемой) поверхности, и тем самым приближение  полубесконечной мишени перестает выполняться. В таких случаях, характеризуемых условиями (h — толщина образца), необходимы иные, чем рассмотренные нами выше, соотношения для расчета температурного поля в мишенях, которые будем называть термически тонкими пластинами (отметим, что для моментов времени  облучения и даже при выполнении условия можно по-прежнему пользоваться приближением полубесконечной мишени).

В свою очередь в модели термически тонкой пластины, как это видно из рис. 2 и рис. 3, можно выделить два модельных приближения: большого пятна и малого пятна . Рассмотрим их раздельно, а также случай вынужденного конвективного охлаждения металлических пластин.

 

 

Рисунок 2. — Термически тонкая пластина. Приближение большого пятна облучения 

 

 

Рисунок 3. — Термически тонкая пластина. Приближение малого пятна облучения 

 

 

3.2 Плоская тепловая волна

 

При выполнении условия  температурное поле однородно по координате r, и величина температуры зависит только от координаты z и времени t.

Тогда для однородного  распределения энергии в пятне  и полагая на облучаемой поверхности , температура внутри мишени дается выражением

  (3.1)

Первый из членов (3.1) линеен по времени, тогда как второй учитывает  многократные отражения тепловой волны  от передней и задней поверхностей мишени.

Аналитические расчеты  для лазерного импульса произвольной формы проведены в и крайне сложны. Важным исключением здесь  являются импульсы, интенсивность в  которых меняется по степенному закону:

, m=-1,0,1,…     (3.2)

Тогда решение для температурного поля имеет вид

(3.3)

где специальная Г-функция  определяется как

      (3.4)

В случае термически тонких пластин и особенно для плоской  задачи существенными могут стать  тепловые потери, определяемые переизлучением и конвекцией  [1]. С каждой из поверхностей интенсивность потерь равна

   (3.5)

где — степень черноты поверхности мишени, — постоянная Стефана- Больцмана, — постоянная конвективного теплообмена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Методика  измерения тепловых полей

 

4.1 Измерительные установки

 

Стандартизация результатов  исследований порогов лазерного  разрушения оптических элементов лазеров, в том числе и металлических зеркал, а также паспортизация лучевой стойкости оптических элементов возможны только в том случае, если обеспечена высокая точность измерений, для чего, в свою очередь, необходимо высокооднородное по пространству и времени и воспроизводимое лазерное излучение. Кроме того, желательно иметь параметры излучения, позволяющие использовать при расчетах наиболее широко распространенные аппроксимации.

Для пространственного  распределения энергии такими аппроксимациями является однородное и гауссовское распределения.

Соответственно при  измерениях порогов с  можно пользоваться либо существенно многомодовым лазерным излучением в комбинации с проекционными оптическими схемами, отображающими наиболее однородный участок распределения энергии в пятне, либо специальными гомогенизаторами излучения, одним из которых является,' например, волоконный световод.

Другой путь — это  использование одномодового лазерного излучения, имеющего гауссовское распределение энергии в пятне, который в силу высокой стабильности лазерных параметров и применяется, в основном, в экспериментах по лазерному разрушению оптических поверхностей.

Что касается временной формы лазерного импульса, то здесь очевидно наиболее простым и удобным приближением была бы прямоугольная форма. Однако практически реализовать ее не удается, и в экспериментах это может быть и колоколообразный импульс; или импульс с лидирующим пичком и хвостом; или импульс близкий к прямоугольному, но с недостаточно крутыми передним и задним фронтами.

Приведем экспериментальную  установку, использовавшуюся в работе [2], которая близка к идеальной для измерения лучевой стойкости оптических элементов.

Принципиальная схема  установки показана на рис. 4. Буквой L обозначена лазерная установка, генерирующая одномодовое, одночастотное лазерное излучение с высокой воспроизводимостью. Гауссовское распределение энергии в поперечном сечении пучка можно контролировать сканированием пятна малым отверстием в двух взаимно перпендикулярных направлениях в фокальной плоскости линзы . Аттенюатор А позволяет менять энергию в лазерных импульсах с помощью двух скрещенных брюстеровских пластин. Пластина В' расположена таким образом, что может полностью отражать линейно поляризованное излучение, а вторая пластина В может с высокой точностью вращаться. Чтобы при таких вращениях «не потерять» лазерный луч и вообще для надежной работы установки взаимно согласованные положения зеркал М₁ – М₈ контролируются компьютером. Небольшие доли энергии излучения с помощью делительных пластин S и S' направляются на калориметр D и скоростной фотоприемник D'. Их калибровка должна проводиться таким образом, чтобы учесть потери на входном окне вакуумной камеры W и помещенной внутри нее фокусирующей линзы F'.

 

 

 

 

Рисунок 4 — Схема экспериментальной  установки для измерения лучевой  стойкости зеркал. Использованы следующие  обозначения: L — лазер; М₁ — М₈ — металлические зеркала; В и В' — брюстеровские пластины; Р — пространственный фильтр; S и S' — делители излучения; D и D' — приемники, F, F' — линзы; С — вакуумная камера с входным окном W; Т — мишень; V — микроскоп.

 

 

 

 

Рисунок 5. — Схема диагностического комплекса для измерения лучевой стойкости металлооптики: 1 — мишень, 2 — детектор вторичных электронов, 3 — ФЭУ, 4 — термопара, 5 — окно из ZnSe, 6 — окно из KCl, 7 — видеоконтрольное устройство МРЭМ-100, 8 — схема регистрации эмиссионных сигналов, 9 — шлейфовый осциллограф Н-115, 10 — осциллограф С8—14, 11—He-Ne — лазер, 12 — калориметр, 13 — фотоприемник ФИПЧ, 14 — фокусирующая линза, 15 — делительные пластины, 16 — поворотные зеркала.

 

 

 

 

 

При нормальном, по отношению  к лазерному лучу, положении мишени Т в камере можно проводить измерения диффузной составляющей отражательной способности мишени R_d, а при развороте мишени и зеркальной составляющей R_R.

Отметим, что в работе [3] в качестве вакуумной камеры, в которой проводится облучение мишеней, была использована камера наблюдений растрового электронного микроскопа (рис. 5). Это позволило не только существенно улучшить пространственное разрешение при наблюдении поверхности, но и провести одновременный контроль следующих параметров: поглощательной способности мишеней (калориметрическим методом для тонких металлических пластин), свечения зоны облучения, импульсов тока электронной и ионной эмиссии.

 

4.2 Усредненные  теплофизические параметры

 

Более близкие  к реальному случаю решения линейного  уравнения можно получить, прежде всего, наиболее очевидным способом — введением некоторых средних по рассматриваемому температурному интервалу теплофизических параметров. Проблема заключается в правильном выборе средних значений.

Действительно, прямое арифметическое усреднение

     (1.146)

и даже более сложные  расчеты типа

     (1.147)

не учитывают нелинейный характер изменения температуры  мишени со временем.

Решение может, конечно, следовать и из получения усредненных  значений теплофизических параметров непосредственно при обработке экспериментальных кривых нагрева. Однако при этом остается открытым вопрос, в какой мере полученные данным способом средние значения параметров можно использовать для других условий облучения.

Тем не менее, ряд аппроксимаций k_T и С_V оказались достаточно универсальными и удобными при анализе широкого класса задач лазерного нагрева металлов. В первую очередь это относится к введению в уравнение теплопроводности аналитической зависимости от температуры этих параметров.