Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Так как при постоянной массе удельный объем пропорционален общему объему, то макроскопические свойства однородного тела можно характеризовать объемом тела.

Параметры состояния системы могут изменяться. Любое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из ее термодинамических параметров, называется термодинамическим процессом.

Макроскопическая система находится в термодинамическом равновесии, если ее состояние с течением времени не меняется (предполагается, что внешние условия рассматриваемой системы при этом не изменяются). В молекулярно-кинетической теории пользуются идеализированной моделью идеального газа, согласно которой считают, что: 1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда; 2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия; 3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие. Наиболее близко свойствам идеального газа соответствуют достаточно разреженные газы. Модель идеального газа можно использовать также при изучении реальных газов, так как они в условиях, близких к нормальным (например, водород и гелий), а также при низких давлениях и высоких температурах близки по своим свойствам к идеальному газу. Кроме того, внеся поправки, учитывающие собственный объем молекул газа и действующие молекулярные силы, можно перейти к теории реальных газов. Рассмотрим законы, описывающие поведение идеальных газов.

 

 

Закон Бойля — Мариотта: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:

                       pV=const                    (13)

при Т=const и m=const

График зависимости между параметрами состояния газа при постоянной температуре называется изотермой. Изотермы в координатах р, V представляют собой гиперболы, расположенные на графике тем выше, чем выше температура, при которой происходит процесс (рис. 4).

Законы Гей-Люссака2: 1) объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой:

                                                        

при p=const u m=const

2) давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с температурой:

                                                       

 при V=const u m=const

В этих уравнениях t — температура по шкале Цельсия, р0 и V0 — давление и объем при 0°С, коэффициент а= 1/273,15 К-1.

= 1/273,15 К-1.

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарным. На диаграмме в координатах V, t (рис. 5) этот процесс изображается прямой, называемой изобарой. Процесс, протекающий при постоянном объеме, называется изохорным. На диаграмме в координатах р, t (рис. 6) он изображается прямой, называемой изохорой.

 

Закон Авогадро: 1 моль любого газа при одинаковых температуре и давлении занимает одинаковый объем. При нормальных условиях этот объем равен 22,41 * 10-3 м3/моль.

По определению, 1 моль различных веществ содержит одно и то же число молекул, называемое постоянной Авогадро:

N=6,022*1023 моль-1

 

 

Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений р1, р2, ..., рn входящих в нее газов:

P = Pl + P2 + ...+ Рп

Парциальное давление — давление, которое производил бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре. 

 

2.2 Уравнение  Клапейрона—Менделеева

 

Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде задается выражением

f (p, V, T)=0

где каждая из переменных является функцией двух других.

Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799 — 1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V1 , имеет давление р1 и находится при температуре Т1. Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами V2 , p2 , T2  (рис. 7).

Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1—1'), 2) изохорного (изохора 1'—2).

В соответствии с законами Бойля —

Мариотта и Гей-Люссака запишем:

                                  p1V1=p1' V2                       (16)

 

 

 

Исключив из уравнения (16) p1', получим

 

Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина pV/T остается постоянной, т.е.

                                                        pV/T=B=const                                                 (17)

 

Выражение (17) является уравнением Клапейрона, в котором В — газовая постоянная, различная для разных газов.

Русский ученый Д.И.Менделеев (1834—1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (17) к 1 моль газа, использовав молярный объем Vm Согласно закону Авогадро, при одинаковых p и Т молярные объемы Vm различных газов одинаковы, поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Уравнению

                                                             pVm=RT                                                      (18)

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона—Менделеева.

 

2.3 Основное  уравнение молекулярно-кинетической  теории идеальных газов

 

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку S (рис. 8) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m0v-(-m0v)=2m0v, где m0-масса молекулы, v-её скорость.

За время площадки достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием и высотой (см. рис. 8). Число этих молекул равно (n - концентрация молекул).

Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке   под разными углами, имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем из них половина  движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в

заданном направлении о площадку будет При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

                                        .

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

                                                     

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v1, v2, ... vn , то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

                                                    

характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (19) с учетом (20) примет вид

                                                      

Выражение (21) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

 

2.4 Закон  Максвелла о распределении молекул  идеального газа по скоростям  и энергиям теплового движения 

 

Молекулы газа совершают хаотическое движение. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется как по модулю, так и по направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т.е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул. По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой т0 в газе, находящемся в состоянии равновесия при ( Т= const), остается постоянной и равной

Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом (1859).

 

 

При выводе закона распределения молекул по скоростям считалось, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число (долю) молекул  , скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, т. е.

 

откуда

 

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f(v) — закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

                                         

Из (22) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т).

График функции (22) приведен на рис. 9. Так как при возрастании v множитель   уменьшается быстрее, чем растет множитель v2, то функция f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при vн и затем асимптотически

стремится к нулю. Кривая несимметрично относительно vв .

Относительное число молекул скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, находится как площадь тонированной полоски на рис. 9. Смысл этого интеграла в следующем: если просуммировать все доли молекул, имеющих всевозможные значения скоростей, то получим единицу. Функция f(v) удовлетворяет условию нормировки

 

 

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по

скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав выражение (22) (постоянные множители опускаем) по аргументу v, приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения f(v):

 

Значения v = 0 и v = ос соответствуют минимумам выражения (22), a значение v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость vв:

                                                    

Из формулы (23) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис. 10) сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

 

 

2.5  Барометрическая формула 

 

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа,

 

 

при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 11), то на высоте h + dh оно равно р+dp (при dh> 0, dp< 0, так как давление с высотой

убывает). Разность давлений р и р + dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой d/г с основанием площадью 1 м2:

 

где p- плотность газа на  высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной).

Следовательно,

                                                         

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа (m-масса газа, M-молярная масса газа), находим, что

 

Подставив это выражение в (24), получим

 

С изменением высоты от h1 до h2 давление изменяется от р1 до р2 (см. рис.11), т.е.