Изучение магнитного поля кругового тока

Page 1

Министерство образования Российской Федерации
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
(ТУСУР)
Кафедра физики
ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
КРУГОВОГО ТОКА
Руководство к компьютерной лабораторной работе по физике
для студентов всех специальностей
2003

---

Page 2

Министерство образования Российской Федерации
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
(ТУСУР)
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой физики
Е. М. Окс
« »
2003 г.
ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
КРУГОВОГО ТОКА
Руководство к компьютерной лабораторной работе по физике
для студентов всех специальностей
РАЗРАБОТЧИК
Доцент каф. физики
___________Е. В. Иванова
«____» __________2003 года
2003

---

Page 3

2
ВВЕДЕНИЕ
Целью данной работы является изучение магнитного поля на оси витка
с током и экспериментальная проверка закона Био – Савара – Лапласа.
1 КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Согласно закону Био – Савара – Лапласа каждый элемент проводника с
током I⋅dl создает в точке с радиусом – вектором r магнитное поле с
индукцией
[ ]
0
3
,
,
4
I d
d
r
µ
π
=
⋅
l r
B
(1.1)
где µ
0 =
4π⋅10
-7
Гн/м – магнитная постоянная.
Направлен вектор dB, как вектор, равный векторному произведению
двух векторов dl и r или (что тоже самое) направление вектора dB с
векторами dl и r образуют правовинтовую систему, т. е. вектор магнит-
ной индукции всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат век-
торы dl и r.
Используя выражение (1.1) и принцип суперпозиции, можно рассчи-
тать магнитное поле, создаваемое проводником с током любой формы.
Рассчитаем индукцию магнитного поля на оси витка с током (на оси
кругового тока) на расстоянии Z от центра витка (рис.1.1).
Векторы, создаваемые разными элементарными токами I⋅dl, образуют
конический веер, как показано на рис.1.1б. Из соображений симметрии
можно заключить: результирующий вектор B направлен вдоль оси кру-
гового контура. В результирующий вектор B вносят вклад только со-
ставляющие элементарных векторов dB, параллельные оси кругового
тока (см. рис.1.1а). равные по модулю
dB
z
= dB⋅Sinβ = (R/r)⋅dB.
Угол между векторами dl и r всегда прямой, поэтому
dB
z
= (R/r)⋅dB =
0
3
4
IdlR
r
µ
π
⋅
(1.2)
Проинтегрировав (1.2) по всему контуру и заменив r на
2
2
Z
R +
(см. рис.1.1а), получим
2
0
0
2
2 3/ 2
2
2 3/2
.
4 (
)
2 (
)
z
IR
IR
B
dB
dl
R
Z
R
Z
µ
µ
π
=
=
=
⋅
+
⋅
+
∫
∫v
(1.3)

---

Page 4

3
Полученное выражение (1.3) определяет величину индукции магнитно-
го поля на оси кругового тока. Как следует из (1.3), магнитная индук-
ция не зависит от знака Z. Это значит, что в точках на оси Z, симмет-
ричных относительно центра витка с током, вектор B имеет одинако-
вую величину и направление (см. рис.1.1в). При Z=0 выражение (1.3)
переходит в выражение для индукции магнитного поля в центре круго-
вого тока
0
.
2
I
B
R
µ
=
(1.4)
В реальном случае поле создается не одним витком, а катушкой,
Рисунок 1.1 Конфигурация магнитного поля, создаваемого круговым
током.
содержащей некоторое число витков N. Это позволяет получать значи-
тельное по величине магнитное поле, пропуская по катушке небольшой
ток. Если длина катушки значительно меньше радиуса ее поперечного
сечения R, то для приближенного расчета поля катушки можно вос-
пользоваться выражением (1.3), подставляя вместо тока I величину N⋅I.
Z
б
dB
dB
z
dB
⊥
I
dl
в
β
а
Z
I
B

---

Page 5

4
Если катушка питается переменным синусоидальным током, то маг-
нитное поле, создаваемое этой катушкой, тоже изменяется со временем
по закону синуса:
B=B
m
⋅Sin(ωt).
2 МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ
Для измерения магнитной индукции можно использовать различные
проявления магнитного поля, например, эффект Холла, явление элек-
тромагнитной индукции, действие на магнитную стрелку и др. В дан-
ной работе использовано явление электромагнитной индукции. Это
явление заключается в том , что если катушку, состоящую из некоторо-
го числа витков N
1
, пронизывает переменный во времени магнитный
поток, то в ней возникает Э.Д.С. индукции, прямо пропорциональная
скорости изменения этого потока и числу витков:
1
,
n
d
E
N
dt
φ
= −
⋅
(2.1)
где Ф
n
– нормальная составляющая магнитного потока, пронизываю-
щего поперечное сечение катушки S.
Так как Ф
n
= B
n
⋅S, выражение (2.1) можно представить в виде
E=
1
1
(
)
.
n
n
d B S Sin t
N
N B S Cos t
dt
ω
ω
ω
⋅
− ⋅
= −
⋅
(2.2)
Э.Д.С. индукции в измерительной катушке (рис.2.1) создается изме-
няющимся интегральным магнитным потоком Ф
n
.

---

Page 6

5
1 – катушка с током, создающая магнитное поле;
2 – измерительная катушка;
3 –измерительный прибор.
Рисунок 2.1 Схематическое изображение экспериментальной установки
Значение магнитной индукции B
n
в выражении (2.2) является усред-
ненным по площади сечения измерительной катушки. Это значит, что
оно всегда меньше истинного значения магнитной индукции на оси
витка с током, и тем ближе к нему, чем меньше поперечное сечение
измерительной катушки. В данной работе площадь поперечного сече-
ния измерительной катушки на несколько порядков меньше
площади витка с током, создающего магнитное поле (см. рис.2.1). При-
мерно можно считать величину B
n
, равной амплитудному значению
магнитной индукции B
m
, создаваемой круговым током на оси Z.
В выражении (2.2) множитель перед функцией Cos(ωt) представляет
собой амплитудное значение Э.Д.С.
E
m
= B
m
SωN
1.
(2.3)
Таким образом, измерив Э.Д.С. индукции и используя соотношение
(2.3), можно рассчитать амплитудное значение индукции магнитного
поля на оси катушки с током (см. рис.2.1). Измерение Э.Д.С. индукции
можно осуществить с помощью измерительного прибора, например,
милливольтметра, осциллографа или другого измерительного устрой-
ства. Окончательное выражение для расчета амплитудного значения
магнитной индукции в любой точке на оси Z имеет вид
Z
Z
3
2
1
220 B
V

---

Page 7

6
1
,
m
m
E
B
SN
ω
=
(2.4)
где E
m
– амплитудное значение Э.Д.С. катушки;
S – площадь поперечного сечения измерительной катушки (диаметр
поперечного сечения катушки составляет 22 мм);
ω = 2πν, где ν - частота переменного напряжения, питающего круговой
виток (ν = 50 Гц);
N
1
– число витков измерительной катушки ( N
1
- 5100 витков).
Экспериментальная установка, схематично представленная на рис.2.1,
состоит из катушки 1 с током, создающей магнитное поле, измеритель-
ной катушки 2 (ИК) и измерительного прибора 3. В качестве измери-
тельного прибора в данной лабораторной работе используется кон-
троллер. Катушка 1 питается через понижающий трансформатор пере-
менным током. Все устройство смонтировано на лабораторном макете.
ИК выведена на панель макета и может перемещаться вдоль верти-
кального направляющего стержня (НС). Оси симметрии НС и ИК сов-
падают с осью катушки 1, создающей исследуемое магнитное поле.
3 ЗАДАНИЕ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
3.1 Задание
Исследовать экспериментально зависимость индукции магнитного поля
кругового тока B
m
на оси от расстояния Z до центра витка.
3.2 Порядок выполнения работы
3.2.1 Запустить лабораторную работу.
3.2.1.1 Отключить все напряжения на макете (лабораторном, располо-
женном справа (или слева) от компьютера): 3 В, 28 В, =6 В, =15 В,
=30 В.
3.2.1.2 Включить питание макета, нажав на кнопку «Сеть».
3.2.1.3 Включить питание компьютера. Для этого нажать кнопку в пра-
вом нижнем углу монитора, а после этого нажать кнопку «Сеть» на
системном блоке компьютера и дождаться загрузки Windows.
3.2.1.4 На рабочем столе (на экране компьютера после загрузки) на яр-
лыке папки «Лаборатория» щелкнуть дважды левой кнопкой мышки. В
открывшемся окне выбрать из списка лабораторных работ «Изучение
магнитного поля кругового тока» и по ней дважды щелкнуть левой

---

Page 8

7
кнопкой мышки. Во вновь открывшемся окне появится стенд (панель)
данной работы, на котором расположены шкалы измерительных при-
боров, электронная таблица и набор кнопок управления.
3.2.1.5 Включить на макете кнопку «28 В». Тумблер в середине гори-
зонтальной панели макета перевести в левое крайнее положение.
3.2.1.6 Включить питание стенда, для чего щелкнуть левой кнопкой
мышки по кнопке
.
3.2.2 Измерительную катушку (см. рис.2.1) опустить вниз до упора.
При этом обратить внимание на то, чтобы плоскость верхнего сечения
катушки установилась напротив риски на направляющем стержне. Та-
кое положение ИК соответствует положению в центре катушки с то-
ком, т.е. Z=0. Если указанные уровни не совпадают, необходимо вкру-
тить или выкрутить НС до совпадения этих уровней.
3.2.3 На стенде щелкнуть левой кнопкой мышки по кнопке
для перевода показаний прибора в электронную таблицу (на экране
стенда).
3.2.4 Переместить ИК вверх на одно деление на НС и закрепить с по-
мощью винта. Это соответствует изменению Z на 1 см. При этом на
стенде риска на измерительной шкале сместится вниз, что означает
уменьшение амплитудного значения ЭДС индукции E
m
. Перевести
описанным в п. 3.2.3 способом показания прибора в электронную таб-
лицу. Для ввода в таблицу значений Z необходимо по соответствующей
строчке дважды щелкнуть мышкой и ввести число с клавиатуры.
3.2.5 Повторить изменения положения ИК на НС 6-8 раз в соответствии
с п.п. 3.2.4. Показания электронной таблицы переписать в рабочую
таблицу в тетради, которая приведена ниже. Дальнейшую обработку
результатов эксперимента и построения графиков проводить в рабочей
тетради.

---

Page 9

8
Таблица 3.1- Результаты прямых и косвенных измерений
Z, см E
m
, B E
m
-2/3
,B
-2/3
Z
2
,см
2
Примечание
1
ε (S)=10 %
2
ε (N
1
)=1 %
3
ε (ν)=1 %
…
ε (E
m
)=10%
8
3.2.6 После записи данных в рабочую тетрадь, щелкнуть левой кнопкой
мышки по кнопке"STOP". Закрыть все окна на экране, поставив указа-
тель мышки на значок "Закрыть окно" в верхнем правом углу экрана и
щелкнув левой кнопкой мышки.
При расчетах случайных погрешностей и использовании метода наи-
меньших квадратов при построении прямых линий можете воспользо-
ваться программами, ярлыки которых расположены на рабочем столе
3.2.7 Выключить компьютер. Для этого щелкнуть левой кнопкой мыш-
ки по расположенной в левом нижнем углу экрана кнопке «Пуск». В
открывшемся меню щелкнуть левой кнопкой мышки по строчке «За-
вершить работу», а затем по кнопке «ОК».
3.2.8 Выключить питание макета, нажав кнопку «Сеть».
ВНИМАНИЕ! Включение и выключение питания макета при вклю-
ченном компьютере может привести к зависанию компьютера.
3.2.9 По формуле (2.4) рассчитать индукцию магнитного поля B
m
для Z
= 0. Оценить погрешность величины B
m
при Z = 0.
3.2.10 Построить график зависимости E
m
= f (Z).
3.2.11 Проверить соответствие экспериментальной зависимости E
m
= f
(Z) уравнению (1.3), используя метод линеаризации. Для этого, учиты-
вая (2.3), можно представить (1.3) в виде
2
2/3
1
,
a Z
b
E
= ⋅
+
(3.1)
где a и b – некоторые постоянные величины.
Используя экспериментальные данные, построить график зависимости

---

Page 10

9
2
2/3
1
( ).
f Z
E
=
Если точки в этой зависимости укладываются на пря-
мую (в пределах их погрешностей), то экспериментальная зависимость
E
m
(Z), учитывая (2.3), соответствует теоретической (1.3), т.е. закону
Био – Савара – Лапласа.
4 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
4.1 Что такое магнитное поле?
4.2 Какое из проявлений магнитного поля используется при измерении
магнитной индукции?
4.3 Почему размеры измерительной катушки (ее поперечное сечение)
должны быть значительно меньше, чем витка с током, создающего
магнитное поле?
4.4 По какому закону изменяется индукция магнитного поля на оси
кругового тока? Записать этот закон.
4.5 Как проверить соответствие экспериментально измеренной зависи-
мости
E
m
(Z) теоретической, т.е. закону Био – Савара – Лапласа?
4.6 Какой существует метод правильного построения прямой по экспе-
риментальным точкам?
4.7 Как определить направление вектора магнитной индукции dB, соз-
даваемого элементом тока I⋅dl магнитного поля?
4.8 Изобразить графически магнитное поле, создаваемое круговым то-
ком и бесконечным прямым проводником с током.
4.9 Поперечные сечения четырех бесконечно длинных прямых провод-
ников расположены в вершинах квадрата. Все токи одинаковой вели-
чины. Как должны быть направлены токи, чтобы:
1) магнитное поле в центре квадрата равнялось нулю;
2) результирующий вектор магнитной индукции был направлен по
одной из диагоналей квадрата;
3) магнитное поле в центре квадрата было максимально возможным?
4.10 По двум взаимно перпендикулярным проводникам, располо-
женным в одной плоскости, текут токи одинаковой величины. В каких
секторах могут быть точки, в которых индукция магнитного поля равна
нулю (исключая точки в бесконечности)? Найти геометрическое место
этих точек.

---

Page 11

10
4.11 Центры поперечных сечений трех бесконечно длинных прямых
проводников лежат на одной прямой и расположены на одинаковом
расстоянии друг от друга. По проводникам текут токи, одинаковые по
величине. Нарисовать графическое изображение магнитного поля меж-
ду проводниками для двух случаев:
1) токи направлены одинаково;
2) крайние токи направлены одинаково.
Указать точки на прямой, соединяющей центры сечений проводников,
в которых поле минимальное, а в которых максимальное.
4.12 По проводникам бесконечной длины текут постоянные токи
одинаковой величины. Проводники изогнуты как показано на ри-
сунках 4.1a – 4.1d.
1) Как направлен вектор магнитной индукции в точке А?
2) На каком из приведенных рисунков магнитное поле в точке А мак-
симально, а на каком минимально?
3) На каком из приведенных рисунков магнитное поле в точке А мо-
жет быть равно нулю?
4) На каком из приведенных рисунков магнитное поле в точке А на-
правлено к нам?
5) На каком из приведенных рисунков магнитное поле в точке А на-
правлено от нас?

---

Page 12

11
Рисунок 4.1 – Проводники с током, создающие магнитное поле
4.13 Квадратная рамка со стороной а составлена из проводников
конечной длины, по которым текут постоянные токи одинаковой
величины. Как должны быть направлены токи в этих проводниках,
чтобы в центре квадратной рамки результирующее магнитное поле
было: а) максимально, б) равно нулю?
4.14 Круговые витки с током расположены в двух взаимно перпен-
дикулярных плоскостях так, что их центры совпадают. По величине
токи и радиусы витков одинаковые. Вывести формулу для величи-
ны индукции результирующего магнитного поля в центре витков.
4.15 Круговой виток с током изогнут по диаметру под прямым уг-
лом. Вывести формулу для величины индукции результирующего
магнитного поля в центре витка.
A
I
A
I
I
A
A
I
d
a
b
c