Инвариантные величины и основные законы сохранения в механике

 

Рассмотрим действие закона на примере выстрела из пушки. Принцип отдачи орудия  можно сформулировать короче: сумма импульсов орудия и снаряда после выстрела  остаются равные нулю. Очевидно такой же она была и до выстрела, когда орудие  и снаряд находились в состоянии покоя.

Скорости, входящие в уравнение  m₁v₁+v₂v₂=0, это скорости непосредственно после выстрела. При дальнейшем движении снаряда и орудия на них начнут действовать силы тяжести,  сопротивления воздуха, а на пушку дополнительно- сила трения о землю. Если бы выстрел был произведён в безвоздушном пространстве из орудия, весящего в пустоте, тогда движение со скоростями v₁ и v₂ продолжалось бы  бесконечно. Орудие двигалось бы в одну сторону, а снаряд - в противоположную.

В артиллерийской практике в настоящее время широко применяются  орудия, установленные на платформе  и стреляющие на ходу.  Как же изменить выведенное уравнение, что бы оно  было применимо к выстрелу из такого орудия?  мы можем записать:

m₁u₁+m₂u₂=0,

где u₁, u2 - скорость снаряда и орудия по отношению к движущейся платформе.  Если скорость платформы V, то скорость орудия и снаряда по отношению к покоящемуся наблюдателю будет v₁=u₁V ,  v₂=u₂+V.

Подставляя  значения u₁, u₂  в последнее уравнение, получаем:

(m₁+m₂)V=m₁v₁+m₂v₂.

В правой части равенства  у нас стоит сумма импульсов  снаряда и орудия после выстрела, а в левой сумма массы орудия и снаряда  движущихся со скоростью  V. Значит, и в левой части равенства стоит общий импульс орудия и снаряда, но до выстрела.

Мы доказали важность закона, который  называется закон сохранения импульса. Доказали мы его для двух тел, но можно легко показать, что  такой результат может иметь  место и для любого числа тел.  Закон сохранения импульса говорит, что сумма импульсов нескольких тел,  находящихся во взаимодействии, не меняется в результате этого взаимодействия.

Ясно, что закон сохранения импульсов будет справедлив лишь тогда, когда на группу тел, которую  рассматривают, не действуют силы со стороны. Такая группа тел называется в физике замкнутой.

Пушка и снаряд во время  выстрела ведут себя, как замкнутая  группа двух тел, не смотря на то, что  испытывают силу Земного притяжения.  Вес снаряда мал по сравнению  с силой пороховых газов явление  отдачи произойдёт одинаково не зависимо от того, где будет произведена  выстрел.

Закон сохранения импульса позволяет легко решать различные  задачи, относящиеся к столкновению тел. Попробуем одним глиняным шаром  попасть в другой- они слипнуться и будут продолжать движение вместе; если выстрелить из ружья в деревянный шар, он покатиться вместе с застрявшей в ней пулей; стоящая вагонетка  покатиться, если  человек с разбегу прыгнет в неё. Все приведённые примеры с точки зрения физики весьма похожи. Правило, связывающие скорости тел при столкновениях такого типа сразу же получаются из закона сохранения импульса.

Импульсы тел до встречи  были m₁v₁, m₂v₂, после столкновения тела объединились, их общая масса равна m₁+m₂.   Обозначив скорости объединившихся тел через V получим:

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁+m₂)V

Напомним о векторном  характере закона сохранения импульса. Импульсы mv, стоящие в числителе формулы нужно складывать как вектора.

«Объединяющий» удар при  встрече движущихся под углом  тел. Для того, что бы найти величину скорости надо длину диагонали параллелограмма, построенного на векторах импульсов  встречающихся тел, разделить на сумму их масс.

Необходимым условием применимости закона сохранения импульса к системе  взаимодействующих тел является использование инерциальной системы  отсчёта. На законе сохранения импульса основано реактивное движение, его  используют при расчёте направленных взрывов, например, при прокладке  туннелей в горах. Полёты в космос стали возможными благодаря использованию  многостуᴨенчатых ракет.

 

 

2.3 Закон сохранения момента импульса 

Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента) — математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остаётся постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента  импульса есть проявление изотропной пространства относительно поворота.

Изотропная среда — такая область пространства, физические свойства которой не зависят от направления. Например, показатель преломления оптически изотропной среды одинаков во всех направлениях.

Момент импульса - физическая величина, характеризующая количество вращательного движения. Подчиняется закону сохранению, вытекающему из изотропности пространства.

Основное  уравнение динамики вращательного  движения совпадает с уравнением второго закона Ньютона для поступательного  движения. Поэтому для описания вращательного  движения можно провести аналогичные  обобщения, приведшие нас к закону сохранения импульса

 
  Уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси 

Iε = M, (1)

 
где ε = Δω/Δt − угловое ускорение тела, I − его момент инерции, М − сумма моментов внешних сил, действующих на тело, перепишем в виде 

Δ(Iω)/Δt = M. (2)

 
Физическая величина 

L = Iω

 
называется моментом импульса. Уравнение (2) оказывается применимым и для  описания вращения тел, момент инерции  которых изменяется в процессе движения, поэтому имеет более широкую  область применимости, чем уравнение (1). Теперь основное уравнение динамики формулируется так: скорость изменения  момента импульса тела равна суммарному моменту сил, действующему на тело. Доказать теоретически это утверждение  невозможно − мы провели обобщение, которое подтверждается многочисленными  экспериментами. Введенное нами определение  момента импульса L = Iω является частным случаем для этой физической величины.

 
 Дадим еще одно определение этой физической величины. Пусть материальная точка массы m движется со скоростью v. Импульсом тела называется векторная величина р = mv. Моментом импульса называется произведение импульса тела на плечо импульса (расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой направлен импульс): 

L = mvd. (3)

 
Это определение аналогично определению  момента силы. Можно дать эквивалентные  выражения формулы (3): 

L = mvd = mvrcosα = mv_τr,

 
где r − расстояние от оси вращения до рассматриваемой материальной точки, v_τ − составляющая скорости, перпендикулярная радиус-вектору рассматриваемого точечного тела.

 
  Аналогично моменту силы момент импульса может быть определен как векторная физическая величина, направленная перпендикулярно плоскости, содержащей вектор импульса mv и радиус-вектор r. При таком определении вектор момента импульса равен векторному произведению указанных векторов 

 
  Основное уравнение динамики вращательного движения также записывается в векторной форме: 

 
  Легко показать, что при вращении тела вокруг неподвижной оси из формулы (3) следует выражение для момента импульса L = Iω. 
  Действительно, при вращении вокруг неподвижной оси вектор скорости перпендикулярен прямой, соединяющей точку тела с осью вращения, величина скорости выражается через угловую скорость v = ωr. 

 
 
Поэтому момент импульса выражается формулой 

L = mvr = mr²ω = mr²ω = Iω,

 
где I = mr². 
  Если же рассмотреть вращение произвольного тела, то для того, чтобы вычислить момент импульса всего тела, достаточно мысленно разбить его на малые части и просуммировать моменты импульсов всех малых частей. Так как угловые скорости всех точек одинаковы, то суммирование сведется к суммированию моментов инерции точек. 
  Легко заметить, что при движении произвольной системы материальных точек изменение суммарного момента импульса полностью определяется моментом внешних сил. По третьему закону Ньютона, тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Так как силы взаимодействия направлены вдоль одной прямой, то плечи этих сил равны. Следовательно, при суммировании уравнений вращательного движения для произвольной системы моменты внутренних сил взаимно уничтожатся (подобно тому, как взаимно уничтожаются внутренние силы при сложении уравнений поступательного движения). Таким образом, для произвольной системы материальных точек оказывается справедливым уравнение (3^/), в котором М − вектор моментов только внешних сил. 
  Для замкнутой системы тел, не взаимодействующих с другими телами, не включёнными в систему, момент внешних сил равен нулю, поэтому для замкнутой системы суммарный момент импульса сохраняется. Это утверждение выражает еще один фундаментальный физический закон − закон сохранения момента импульса. 
  В теоретической физике показано, что он является следствием изотропности пространства, в котором происходят все физические явления. Если вы уверены в том, что результаты физического эксперимента одинаковы независимо от того, как ориентирована ваша экспериментальная установка, то вы должны признать закон сохранения импульса. 

Закон сохранения момента импульса также как и  закон сохранения энергии является фундаментальным законом природы. Он связан со свойством симметрии  пространства - его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчёта (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).  

Продемонстрируем закон сохранения момента импульса с помощью скамьи Жуковского. Человек, сидящий на скамье, вращающаяся вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели, вращается внешним механизмом с угловой скоростью ω₁. Если человек прижмёт гантели к телу, то момент инерции системы уменьшится. Но момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения ω₂ увеличивается. Аналогичным образом, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, с целью уменьшить свой момент инерции и тем самым увеличить угловую скорость вращения.  
 

Сопоставим  основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси  и его поступательное движение.

 

Список литературы

http://ru.wikipedia.org/wiki/

http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/

http://fizportal.ru/

Л.Д.Ландау, А.И.Китайгородский «Физика  для всех»

М.М.Архангельский «Курс физики (механика)»