Квантование энергии, момента импульса и проекции момента импульса

Квантование энергии, момента импульса и проекции момента  импульса

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона для водородоподобной системы:

, n = 1, 2, 3, …

Для атома водорода в основном состоянии:

Его решение  , где С = const (из условия нормировки). Дифференцируя:

, . После подстановки в уравнение:

 или  .

Это выполняется при:

, .

Отсюда: – первый боровский радиус;

                – энергия основного состояния атома водорода.

Следовательно: , а вероятность того, что электрон находится в объеме dV шарового сегмента:

  .

Исследуем на экстремум функцию  :

; .

Боровские орбиты электрона представляют собой геометрические места точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.

Решение уравнения Шрёдингера для  водородоподобной системы в сферических  координатах позволяет получить важные результаты. Оказывается прежде всего, что момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле:

, = 0, 1, 2, …, (n – 1) – орбитальное квантовое число.

 

         s – состояние

 

         p – состояние

 

         d – состояние

 

          f – состояние и т.д.

Из курса электричества  и магнетизма известно, что момент импульса электрона  и пропорциональный ему магнитный момент связаны между собой и перпендикулярны к плоскости орбиты электрона:

, где  – гиромагнитное отношение.

В квантовой механике не может быть определено роложение плоскости  орбиты электрона. Поэтому для указания ориентации векторов и выбирают направление либо внешнего магнитного поля, в котором находится атом, либо направление внутреннего магнитного поля, создаваемого электронами и ядром атома. На языке теории Бора возможность любых ориентаций вектора означает, что плоскость орбиты электрона может быть ориентирована произвольно по отношению к внешнему магнитному полю. Однако такое положение оказалось ошибочным. Существует пространственное квантование: вектор момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых проекция вектора на направление Z внешнего магнитного поля принимает квантовые значения, кратные :

, где m – магнитное квантовое число, принимающее значения:

, здесь  – орбитальное квантовое число.

Следовательно, вектор может принимать ориентаций в пространстве.

                           p-состояние                      d-состояние

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Опыт Штерна и Герлаха

В 1921 году Штерном и  Герлахом были представлены опыты с  целью измерения магнитных моментов атомов химических элементов. Идея опытов заключалась в измерении силы, действующей на атом в неоднородном магнитном поле. Опыты обнаружили ошибочность  классического предположения о том, что магнитный момент и механический момент импульса атома могут быть произвольно ориентированы относительно направления внешнего поля и подтвердили наличие  пространственного квантования.

А – фотопластинка;

Д – щелевые диафрагмы;

S и N – полюса магнита;

Ag – серебро.

В случае произвольно ориентации атома в магнитном поле должно наблюдаться непрерывное распределение атомов на фотопластинке. Однако на фотопластинке получились две резкие полосы – возникли две возможные ориентации магнитного момента во внешнем поле:

,

 – магнетон Бора.

Для серебра Штерн  и Герлах получили, что проекция магнитного момента атома на направление поля численно равна магнетону Бора. Однако важной особенностью атомов первой группы элементов таблицы Менделеева явилось то, что электрон находится в S-состоянии, т.е. . Поэтому элетрон не имеет проекции импульса. Воникает вопрос: квантование какого момента импульса обнаружилось в этих опытахи проекция какого магнитного момента равна одному магнетону Бора? Для ответа на этот вопрос необходимо предположить, что кроме орбитального момента импульса и соответствующего магнитного момента , имеется собственный механический момент импульса электрона – спин электрона, и соответствующий ему собственный магнитный момент .

Предположение о существовании  спина было высказано в 1925 году Гоудсмитом и Уленбеком. Спин электрона и других элементарных частиц следует рассматривать как некоторое особое свойство этих частиц подобно тому, как частицы имеют массу, заряд. Спин квантуется по закону:

, s – спиновое квантовое число.

Проекция  спина на ось Z, совпадающую с направлением внешнего магнитного поля, должна быть квантована. Из опыта Штерна и Герлаха следует, что таких ориентаций для электрона всего две:

.          .

Для проекции:

.

Принцип Паули

В 1925 году Паули установил  квантовомеханический закон, который  был назван принципом Паули или принципом исключения: в любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного n, орбитального , магнитного m и спинового m_S .

Найдем максимальное число электронов с одинаковыми числам n, , m – их 2, отличающихся .

Вычислим максимальное число электронов с одинаковыми  числами n, . При этом вектор может иметь различных ориентаций: .

s состояние	Z = 2
p состояние	Z = 6
d состояние	Z = 10
f состояние	Z = 14
g состояние	Z = 18

Найдем максимальное число электронов, имеющих одинаковое число n. Число при этом изменяется от 0 до (n – 1): (при получении данного соотношения использовано, что .

		Количество электронов					Максимальное число электронов
	n	s	p	d	f	g
K	1	2	–	–	–	–	2
L	2	2	6	–	–	–	8
M	3	2	6	10	–	–	18
N	4	2	6	10	14	–	32
O	5	2	6	10	14	18	50

Систематика заполнения электронных состояний в атомах и периодичность изменения свойств химических элементов позволяют расположить все химические элементы в периодическую систему элементов Д.И.Менделеева.

Основные положения  современной теории периодической  системы:

1) порядковый номер Z химического элемента равен общему числу электронов в атоме данного элемента;

2) состояние электронов  в атоме определяется набором  четырех квантовых чисел: ;

3) с возрастанием числа  электронов каждый следующий  электрон должен занять возможное энергетическое состояние с наименьшей энергией;

4) заполнение электронами энергетических состояний в атоме должно происходить в соответствии с принципом Паули.

Электронным слоем называется совокупность электронных состояний в атоме с одинаковым значением главного квантового числа n: K при n = 1; L при n = 2; M при n = 3; N при n = 4; O при n = 5 и т.д.

Нарушение указанного в  таблице порядка начинается с Z = 19 и объясняется тем, что состояния с большими n и меньшими могут энергетически более выгодными, чем состояния с меньшими n и большими . Поэтому возникают химические элементы с недостроенными предыдущими слоями.

Внешними (валентными) электронами атома называются электроны данного атома, которые в оболочке с наибольшим значением n входят в состав s- и p-подгрупп, т.е. имеют и . Этими электронами определяются химические и оптические свойства атомов. Общее число электронов в s- подгруппе и p-подгруппе равно 8. Так, для атома кислорода: 1 s², 2 s², 2 p².