Колебания тел в магнитном поле
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Октября 2014 в 11:55, курсовая работа
Краткое описание
В данной работе проводится исследование простейших систем, помещенных во внешнее магнитное поле, исследуется возможность возникновения колебаний в таких системах, проводится построение фазовых траекторий.
Содержание
Введение ............................................................................................................... 3
1. Магнитное поле ................................................................................................ 4
2. Движение в однородном магнитном поле ...................................................... 6
3. Свободные и затухающие гармонические колебания в магнитном поле ..... 8
Выводы ............................................................................................................... 16
Список использованных источников ................................................................ 17
Вложенные файлы: 1 файл
Колебания тел в магнитном поле
2
Содержание
Введение ...............................................................................................................3
1. Магнитное поле................................................................................................4
2. Движение в однородном магнитном поле ......................................................6
3. Свободные и затухающие гармонические колебания в магнитном поле .....8
Выводы ............................................................................................................... 16
Список использованных источников................................................................ 17
3
Введение
Физические системы очень часто оказываются подверженными
воздействию внешних полей. Это воздействие может существенно изменить
движение системы.
Одним из примеров такого изменения является возникновение
колебаний в системах, помещенных в магнитное поле. Это явление является
очень важным, т.к. магнитное поле присутствует почти во всех
молекулярных структурах, а значит, при описании процессов в таких
структурах учет действия магнитного поля необходим.
Более того, на взаимодействии механических колебательных систем с
магнитным полем основано действие многих измерительных приборов, таких
как амперметр, гальванометр и т.п.
В данной работе проводится исследование простейших систем,
помещенных во внешнее магнитное поле, исследуется возможность
возникновения колебаний в таких системах, проводится построение фазовых
траекторий.
4
1. Магнитное поле
Из опыта известно, что если вблизи магнита поместить проводник с
током, то магнит и проводник будут взаимодействовать между собой.
Согласно теории близкодействия, такое взаимодействие обусловливается
полем, которое возникает вокруг проводника с током. Такое поле называется
магнитным полем. Основное свойство магнитного поля состоит в том, что на
помещенные в него магниты и токи действуют силы. Отсюда следует, что
магнитное поле может существенно влиять на движущиеся в нем заряженные
тела.
Естественно поставить следующий вопрос: чем определяется
действие магнитного поля на движущиеся заряды, т.е. какими физическими
величинами описывается поле? Ответы на подобного рода вопросы может
дать только эксперимент. Как показывает опыт, магнитное поле в каждой
точке пространства может быть исчерпывающим образом охарактеризовано
некоторым вектором
B
, который называется индукцией магнитного поля.
В данной работе мы будем в основном рассматривать однородное
постоянное во времени магнитное поле, которое характеризуется тем, что
вектор
B
не изменяет своего направления в пространстве, а также и своей
величины.
Опишем действие только что описанного поля на движущийся в нем
заряд. Так, если в магнитом поле движется заряд q со скоростью
V
, то на
него действует т.н. называемая сила Лоренца:
B
V
q
F
л
,
(1)
где
,q Кл
- заряд частицы,
,
м
V
с
- вектор скорости,
,B Тл
- вектор магнитной
индукции поля.
Как видно из выражения (1), сила Лоренца перпендикулярна как
направлению индукции магнитного поля, так и скорости движения заряда.
5
Направление же этой силы можно определить по обычным правилам
векторного произведения.
Опишем еще действие магнитного поля на проводник длины l, по
которому чечет ток I. Сила действующая на такой проводник со стороны
магнитного поля называется силой Ампера. Модуль этой силы определяется
выражением:
IBl
F
A
(2),
а направление определяется по правилу левой руки (см. рис. 1).
Рисунок. 1 - Действие силы Ампера на проводник, помещенный во внешнее
магнитное поле
Перейдем теперь к описанию примеров взаимодействия магнитного
поля с реальными системами.
B
I
A
F
6
2. Движение в однородном магнитном поле
Рассмотрим движение заряда e в однородном магнитном поле
B
.
Направление поля выберем вдоль оси z. Уравнение движения принимает
вид:
B
ve
dt
vd
m
(3).
Перепишем последнее уравнение в проекциях на координатные оси:
0
z
x
y
y
x
v
v
v
v
v
,
(4).
где введено обозначение:
m
eB
Умножим второе из уравнений на i и сложим с первым. Получим
y
x
y
x
iv
v
i
iv
v
dt
d
(5).
Последнее уравнение имеет очевидное решение:
t
i
y
x
Ae
iv
v
(6).
где А - комплексная постоянная. Ее можно записать в виде:
i
e
V
A
0
, где
0
V
и
- действительные числа. Тогда отделяя действительную и мнимую части,
находим:
t
V
V
t
V
V
y
x
sin
cos
0
0
(7).
7
Добавляя к этим двум выражениям для скорости решение третьего
уравнения исходной системы:
0
0z
z z V t
, получим, что частица движется по
винтовой линии, ось которой совпадает с осью Z, а частота вращения равна
ω. Таким образом, включение магнитного поля добавляет к поступательному
движению тела еще и колебательное.
8
3. Свободные и затухающие гармонические колебания в магнитном поле
Рассмотрим теперь примеры систем, совершающих в магнитном поле
одномерные гармонические колебания.
Исследуем сначала движение системы, изображенной на рис. 2.
Рисунок 2 - Пример системы, совершающей гармонические
колебания в магнитном поле
Эта система представляет собой две вертикальные шины,
соединенные между собой неподвижной катушкой, индуктивность которой
L. Вдоль шин может скользить без трения проводник массы m и длины l. Вся
система помещена во внешнее магнитное поле с индукцией
B
.
Для описания движения проводника направим ось Х вертикально
вниз. Пусть проводник начинает двигаться без начальной скорости.
Рассмотрим тот момент, когда скорость проводника направлена вниз. В этот
момент площадь всего контура увеличивается, а значит увеличивается и
магнитный поток через контур. Следовательно, в контуре возникает ЭДС
индукции, которая вызывает появление тока в контуре. Этот ток по правилу
Ленца направлен так, чтобы противодействовать изменению магнитного
потока (см. рис. 2).
Т.о. имеем проводник с током, помещенный во внешнее магнитное
поле. На этот проводник начинает действовать сила Ампера, причем ее
L
B
g
m
X
V
I
A
F
9
направление, согласно сказанному выше, противоположно направлению
скорости.
Опишем теперь поведение системы математически. Если закон
движения проводника
)(tx
x
, то площадь контура равна
)(t
lx
S
, а
магнитный поток через контур:
( )
Ф BS Blx t
. Тогда возникающее в контуре
ЭДС индукции по закону Фарадея равна:
dt
dx
Bl
dt
dФ
i
. С другой стороны
в катушке возникает ЭДС самоиндукции:
si
dI
L
dt
. Сумма этих двух ЭДС
должна быть равна 0:
0
dI
dx
L
Bl
dt
dt
(8).
Уравнение (8) описывает процессы, происходящие в системе. Однако
этого уравнения не достаточно, т.к. в него входят две неизвестные функции
времени: I(t) и x(t). Для исключения одной из этих переменных
воспользуемся вторым законом Ньютона:
A
F
mg
dt
x
d
m
2
2
(9),
или учитывая явное выражение для силы Ампера, получим:
IBl
mg
dt
x
d
m
2
2
(10).
Решим совместно два уравнения (8) и (10). Для этого
продифференцируем уравнение (8) по времени и исключим из уравнения (10)
2
2
dt
x
d
. Тогда получим:
10
mg
IBl
dt
I
d
Bl
mL
2
2
(11).
Разделим обе части последнего уравнения на
Bl
mL
и введем величину:
mL
l
B
2
2
2
0
. Тогда получим уравнение:
g
L
Bl
I
dt
I
d
2
0
2
2
(12).
Данное уравнение представляет собой линейное неоднородное
дифференциальное уравнение второго порядка. Решение такого типа
уравнения представляет собой сумму:
A
t
I
tI
0
0
0
sin
)(
(13).
Здесь
первое
слагаемое
представляет
собой
решение
соответствующего однородного уравнения, а второе – частное решение
неоднородного уравнения. Если подставить (13) в (12), то для определения
постоянной А получаем уравнение:
Bl
mg
l
B
mL
L
B
A
g
L
Bl
A
2
2
2
0
lg
Тогда для зависимости тока от времени окончательно получаем:
Bl
mg
t
I
t
I
0
0
0
sin
)(
(14).
11
Для нахождения
0
I
и
0
примем во внимание, что в начальный
момент времени ток и его производная по времени равны 0. Равенство нулю
производной вытекает из уравнения (8).
Т.о. зависимость тока от времени имеет вид:
t
Bl
mg
t
I
0
cos
1
)(
(15).
Теперь можно перейти к нахождению зависимости координаты
проводника от времени. Для этого выражение для тока (15) подставим в
уравнение (10):
t
Bl
mg
Bl
mg
dt
x
d
m
0
2
2
cos
1
t
g
dt
x
d
0
2
2
cos
(16).
Последнее уравнение проинтегрируем два раза по времени, учитывая,
что
0
)0
(
x
и
0
)0
(
x
. Тогда получаем следующую зависимость координаты
от скорости:
t
g
tx
0
2
0
cos
1
)(
(16).
Как известно, такая зависимость от времени характеризует
гармонические колебания с частотой
0
около положения равновесия
2
0
0
g
x
.
12
Рисунок 3 - Зависимость координаты проводника от времени
Рисунок 4 - Фазовая траектория
Для более наглядного представления такого колебательного процесса
построим график зависимости смещения проводника от времени, а также
фазовую траекторию процесса. Для этого возьмем следующие значения
параметров:
мГн
L 10
,
г
m 5
,
см
l 10
,
мТл
B 100
.
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
,t c
0
2
4
6
8
10
-6
-4
-2
0
2
4
6
,x м
,
м
y
с
,x м
13
Тогда
2
2
2
2
0
1
2
01
.0
005
.0
1.
0
1.
0
c
,
м
x
5
2
10
0
и
t
t
x
2
cos
1
5
)(
.
График колебаний и фазовая траектория приведены на рисунках рис.3
и 4.
Рассмотрим теперь систему, колебания которой в магнитном поле
являются затухающими. Изображение такой системы приведено на рис. 5.
Рисунок 5 - Система, совершающая затухающие колебания в магнитном
поле
Система представляет собой квадратную рамку со стороной a,
подвешенную на упругой нити в однородном магнитном поле
B
. В
положении равновесия плоскость рамки параллельна вектору
B
.
Сопротивление рамки R, ее момент инерции относительно оси вращения J.
Будем считать угол отклонения рамки от положения равновесия все
время малым, тогда магнитный поток через рамку зависит от угла
следующим образом:
)(
)(
sin
2
2
t
Ba
t
Ba
Ф
(17).
Тогда, в соответствие с законом Фарадея, по рамке возникнет ЭДС
индукции:
dt
d
Ba
dt
dФ
2
(18).
B
a
I
I
14
Тогда по рамке потечет ток, равный:
dt
d
R
Ba
R
I
2
(19).
В результате на рамку начинает действовать момент сил:
2
2
cos
IBa
IBa
M
(20).
В последнем выражении мы пренебрегли значение
cos
вследствие
малости угла.
Пусть коэффициент упругости кручению нити равен
. Тогда
основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид:
dt
d
R
a
B
dt
d
J
4
2
2
2
(21).
Разделив (21) на момент инерции J получим уравнение, по форме
совпадающее с уравнением затухающих колебаний:
0
4
2
2
2
J
dt
d
JR
a
B
dt
d
(21).
В этом уравнении частота собственных колебаний равна:
J
2
0
, а
коэффициент затухания
JR
a
B
2
4
2
. Тогда решение такого уравнения можно,
как известно, записать в виде:
0
0
cos
)(
t
e
t
t
(22),
где
2
2
0
.
15
Конечно, решение (22) справедливо лишь при меньших по сравнению
с
0
значениях параметра
. Мы будем считать это условие выполненным.
Для построения графика колебаний и фазовой траектории зададимся
следующими значениями параметров:
1.
0
0
,
2
0
,
5.
0
,
0
0
.
Соответствующие графики изображены на рис. 6 и 7.
Рисунок 5 - График зависимости угла поворота рамки от времени
Рисунок 6 - Фазовая траектория
0
2
4
6
8
10
-0.04
-0.02
0
0.02
t
,t c
,x м
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
,x м
,
м
V
c
16
Выводы
Таким образом, мы рассмотрели несколько примеров возникновения
колебательных процессов в системе при помещении последней в магнитное
поле. Основная причина возникновения колебаний в таких системах
заключается в том, что сила, действующая на заряды со стороны магнитного
поля перпендикулярна их скорости, чем и объясняется колебательный
характер движения
Однако, как видно из приведенных в работе примеров магнитная сила
не только изменяет направление скорости, но может в некоторых случаях
приводить и к изменению модуля скорости. Результатом этого является
возможность осуществления затухающих колебаний в магнитном поле.
Далее, мы убедились, что для характеристики колебательного
процесса очень полезными являются фазовые диаграммы, т.е. графики
зависимости скорости колеблющейся частицы от ее координаты. Эти
диаграммы указывают на характер колебаний и позволяют установить тип
точки равновесия. Так, в рассмотренных примерах точки равновесия
назывались соответственно центр и фокус.
Особая точка типа центр всегда устойчива, а фазовые траектории
вокруг нее всегда замкнуты (в нашем случае они представляли собой
эллипсы). Точка типа фокус характеризуется тем, что система стремится
занять это положение, в результате чего фазовые траектории представляют
собой линии, похожие на спирали.
Следует отметить, что рассмотренный в работе класс систем далеко
не полный. Магнитное поле играет весьма существенную роль и во многих
других колебательных процессах, изучаемых в курсах электроники и
радиотехники. Кроме того, наличие магнитного поля в атмосфере Земли
приводит к весьма сложным явлениям колебательного характера (полярное
сияние), что еще раз подчеркивает важность исследования магнитного поля
как причину, вызывающую колебания.
17
Список использованных источников
1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц /Теория поля /М.: 1973
2. И. И. Ольховский /Курс теоретической механики /М.: 1970
3. И. Е. Тамм /Основы теории электричества /М.:1976
4. Д. В. Сивухин /Общий курс физики т. 3
5. И. Е. Иродов Задачи по общей физике /С.-П. 2001
Информация о работе Колебания тел в магнитном поле