Контрольная работа "Физике"

2

Рисунок 1.21.2. Абсолютно упругий центральный удар шаров.

В общем случае массы m1 и m2 соударяющихся  шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии

 

  Здесь  υ1 – скорость первого шара  до столкновения, скорость второго  шара υ2 = 0, u1 и u2 – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде:

m1υ1 = m1u1 + m2u2.

 

  Мы  получили систему из двух уравнений.  Эту систему можно решить и  найти неизвестные скорости u1 и  u2 шаров после столкновения:

 

  В  частном случае, когда оба шара  имеют одинаковые массы (m1 = m2), первый шар после соударения останавливается (u1 = 0), а второй движется со скоростью u2 = υ1, то есть шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами). Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ2 ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ2 относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость υ1' = υ1 – υ2. Определив по приведенным выше формулам скорости u1 и u2 шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе. Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения. Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул.

При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой. Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударения двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров (рис. 1.21.3).

3

Рисунок 1.21.3. Нецентральное  упругое соударение шаров одинаковой массы. d – прицельное расстояние.

После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом  друг к другу. Для определения  скоростей   и   после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние d (рис. 1.21.3), то есть расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости   налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей   и  шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m1 = m2 = m эти законы принимают вид:

 

  Первое  из этих равенств означает, что  векторы скоростей  ,   и   образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, то есть он прямоугольный. Угол между катетами   и   равен 90°.

 

 

7. Центр масс. Закон его  движения. Уравнение движения тела  переменной массы. Формула Циолковского.

Центром масс системы материальных точек называется точка  , радиус-вектор   которой определяется из соотношения

 , (36)

 и   - масса и радиус-вектор  той точки,   - масса системы.

Соответственно  координаты центра масс равны

,   и   . (37)

Для сплошного тела массой   координаты его центра масс

,  ,  , (38)

 - элемент массы  тела,   - координаты этого элемента.

Закон движения центра масс: произведение массы   системы на ускорение   центра масс равно сумме внешних сил, действующих на эту систему

 . (39)

 Уравнение  движения тела переменной массы       

Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением  ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива). 
      Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m–dm, а скорость увеличится до величиныv+dv. Изменение импульса системы за время dt будет равно:

 
где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:

 
      Если на систему действуют внешние  силы, то   или dp = Fdt. Тогда Fdt = mdv + udm, или 
 
                                                                       (2.12) 
 
где член   называют реактивной силой F_p. Если вектор u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится. 
      Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид: 
 
                                                                           (2.13) 
 
Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского. 
      Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая F = 0 и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:

 
откуда

 
или

 
где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени v=0, а стартовая масса ракеты составляет m₀, то C = u*ln m₀. Следовательно, 
 
                                        (2.14) 
 
      Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского. Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы: 
      а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m₀; 
      б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты. 
      Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости v и u намного меньше скорости света c.

 

8. Полная механическая  энергия системы. Закон сохранения  механической энергии.

Полной механической энергией E называют сумму потенциальной и кинетической энергий.E = E_п + E_к.

Сумма кинетической и потенциальной энергий  системы тел называется полной механической энергией системы.	E = Ep + Ek
Учитывая, что при совершении работы A = DEk и, одновременно, A = - DEp, получим: DEk = - DEp или D(Ek + Ep)=0 - изменение суммы кинетической и потенциальной энергий (т.е. изменение полной механической энергии) системы равно нулю.	DEk = - DEp
Значит, полная энергия системы  остается постоянной:   E = Ep + Ek = const. В замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется. (Или: полная механическая энергия системы тел, взаимодействующих силами упругости и гравитации, остается неизменной при любых взаимодействиях внутри этой системы).	E = Ep + Ek = const
Например, для тела, движущегося  под действием силы тяжести (падение; тело, брошенное под углом к  горизонту, вертикально вверх или  движущееся по наклонной плоскости  без трения):  .