Круглый волоконный волновод со ступенчатым профилем показателя преломления

Круглый волоконный волновод со ступенчатым профилем показателя преломления.

 

1. Постановка задачи.

Введём систему координат x,y,z,  которая представляет собой правую тройку. Волоконный световод можно представить в виде диэлектрического цилиндра радиуса a и диэлектрической проницаемости n1 (жила), помещённого в пространство, заполненное диэлектриком n2 (оболочка). Ось симметрии цилиндра направим вдоль оси z системы координат. (Рис.1) Диэлектрики положим изотропными, т.е. диэлектрическая проницаемость не зависит от направления вектора электрического поля. Будем считать, что диэлектрики имеют такое малое поглощение, что им можно пренебречь. Также допускаем, что диэлектрики не восприимчивы к магнитному полю, что во многих случаях реализуется на практике.

Задача формулируется следующим образом:

1.Определить параметры данной  структуры, (n1 ,n2 ,a)  при которых в ней возможно распространение электромагнитных волн вдоль оси z, которые локализованы в жиле и прилегающей к ней области.

2.Определить пространственное  распределение электромагнитного излучения распространяющегося вдоль оси z, которое поддерживается в такой структуре.

Отличие такого приближенного рассмотрения от реальных волокон состоит в том, что диэлектрик n2 не простирается до бесконечности, а может иметь конечные размеры и внешнюю границу в виде цилиндра с осью z в качестве оси симметрии. Если рассматривать только такие возбуждения электромагнитных волн в волокне, которые сосредоточены в основном в жиле, то можно пренебречь эффектами, связанными с конечным размером оболочки, при условии, что он достаточно велик. Количественную оценку этого критерия можно будет сделать ниже. Также реальные волокна могут иметь заметное поглощение, но этот вопрос мы не будем рассматривать, как и вопрос о влиянии изгибов волокна, которые тоже имеют место в работе с реальными волокнами. Ещё мы не учитываем анизотропных свойств диэлектрика, из которого изготовлено волокно. Таким образом, решение, которое может быть получено в такой постановке, является в сильной степени приближенным. Но, несмотря на это, оно вполне приемлемо в случаях малого поглощения и малых радиусов закругления изотропного волокна. Такая ситуация имеет место, например, в случае связного волокна.

2. Уравнения Максвелла для поля в волокне.

Существует два подхода к решению поставленной задачи. Первый – на основе геометрической оптики, а второй – на основе уравнений Максвелла. Каждый из этих подходов обладает своими преимуществами, но второй метод является общим, поэтому он и использовался для решения задачи.

Запишем уравнения Максвелла с учётом отсутствия свободных зарядов, могущих создавать ток, и наличия изотропного немагнитного диэлектрика :

  (0.a)         (1.a)

 (0.b)  { и , , , }”   (1.b)

 (0.c)         (1.c)

 (0.d)         (1.d).

Где ep=(np)2, а p=1для жилы и p=2 для оболочки. Решения этих уравнений будем искать в виде гармонических во времени колебаний:

,  (2,a)

. (2,b)

Где амплитуды и не зависят от времени. В выражениях (2) физически осмысленное значение несёт только действительная часть выражения стоящего слева. Однако сами амплидуды и уже не обязаны быть чисто действительными величинами. Наоборот, только в случае комплексных и , выражения (2) обладают всей полнотой. Что бы это показать, необходимо просто разделить мнимые и действительные части одного из уравнений (2):

 (2.c)

 

 

 

  Из уравнений Максвелла можно получить выражения для этих комплексных амплитуд:

 (3.a)

 (3.b)

 (3.c)

 (3.d)

Теперь, сами функции и представим в виде ряда Фурье:

  (4.a),

  (4.b).

С физической точки зрения действие выражений (2) и (4) представляет собой разложение по плоским волнам с дискретным спектром значений bq , бегущих вдоль z. Подставив такое разложение в выражения (3), получим выражения для и , которые представляют собой распределения амплитуд бегущих вдоль z электромагнитных волн:

 

  (5.a)

  (5.b)

  (5.c)

  (5.d)

Где - единичный орт в направлении оси z. Параметр bq  называют константой распространения. Его можно интерпретировать как фазовую скорость распространения вдоль z определённого распределения поля и в поперечном сечении волокна.  Далее, разложим векторы амплитуд электрического и магнитного полей на продольные и поперечные составляющие:

(6.a), где ,

(6.d), где ,

Из уравнений (5) и (6):

  (7.a)

  (7.b)

      (7.c)

      (7.d)

Эти уравнения можно спроецировать на ось z и на плоскость (x,y). Для проекции на ось z:

  (8.a)

  (8.b)

А для проекции на плоскость (x,y) :

  (9.a)

  (9.b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью выражений (8) и (9) можно однозначно выразить поперечные составляющие через продольные:

  (10.a)

 (10.b)

И наоборот:

  (11.a)

  (11.b)

Важной является зависимость поперечных компонент от продольных. С её помощью, зная только решения для продольных составляющих, можно восстановить все остальные компоненты поля. Теперь остаётся определить решения только для продольных компонент и .

 

 

3. Уравнение Гельмгольца для продольных компонент.

Вернёмся к уравнениям (3) для амплитуд монохроматических колебаний электромагнитного поля. Действуя на первые два уравнения операцией rot() используя равенства (3) получим выражения:

 (12.a)

 (12.b)

В соответствии с представлением амплитуд и в виде набора бегущих волн (4) из этих уравнений можно получить выражения для амплитуд бегущих вдоль оси z волн:

 (12.a)

 (12.b)

И проецируя эти уравнения на ось z, выделим выражения только для продольных компонент поля. В итоге получим для них уравнения Гельмгольца на плоскости(x,y):

 (12.a),

 (12.b),

где оператор D в выбранной системе координат имеет вид:

.

Решения этих уравнений и определят вид зависимостей и в поперечном сечении волокна. Как видно, связи между этими двумя уравнениями нет. Однако это не означает, что продольные компоненты электрического и магнитного полей независимы друг от друга. Эта связь имеет место, тесно связана с граничными условиями в местах разрыва показателя преломления, и в дальнейшем она проявиться. Поперечные компоненты поля найдутся с помощью зависимостей (10) , и, тем самым, мы полностью определим вид монохроматического электромагнитного поля в волокне:

 (13.a)

 (13.b)

Решения для не монохроматических полей можно представить в виде суммы (интеграл Фурье) таких зависимостей для каждой частоты w взятых с определенным весом, который определяется спектром этого возбуждения. В дальнейшем будем рассматривать только монохроматическое возбуждение.

3. Решения.

Как было показано выше, задача свелась к тому, что необходимо решить скалярные уравнения в частных производных (12). Фактически надо решить только одно уравнение, поскольку решение второго имеет похожий вид. В связи с круговой симметрией задачи решение уравнений (12) удобно искать в полярных координатах (рис 2). Запишем одно из уравнений (12) в полярных координатах:

 (13)

Опять же, благодаря круговой симметрии решения уравнения (13) можно представить в виде произведения двух функций. Первая функция зависит только от радиуса r, а вторая - только от угла j (метод разделения переменных):

 (14)

Подставляя (14) в (13):

Теперь, разделив всё уравнение на величину Y(r)×c(j)¤r2 , перенесём в правую часть выражение, зависящее только от одной переменной:

Каждая часть этого выражения зависит только от одной, своей переменной. Это означает, что левая и правая части этого уравнения определяет некоторое число l2, которое остаётся одним и тем же для всех возможных значений r и j. Следовательно, функция от угла c(j) должна удовлетворять уравнению:

 (15). (l=>0)

 

Откуда получим выражение для c(j):

 (16)

Значения постоянной l должны быть целыми и действительными, потому что только в таком случае поле будет удовлетворять условию самосогласованности c(j)=c(j+2p). Поскольку показатель преломления не имеет разрывов в своём угловом распределении, то и электромагнитное поле тоже будет иметь непрерывное угловое распределение. А так, как угловые координаты j и j+2p соответствуют одной и той же точке в пространстве для заданного значения координаты r, то должно выполняться условие самосогласованности. Если рассматривать случай r=a, то тогда следует говорить о значении показателя преломления как о пределе функции n(r) слева и справа от точки a (рис 3). Для каждого такого предела будет иметь место соответствующий предел функции распределения электромагнитного поля. Итак

l=0,1,2…  .

Выражение (16) определяет функцию c(j) с точностью до комплексного множителя A1. Без ущерба для дальнейших выводов, можно принять A1=exp(i×d),где d-некоторое число, тогда выражение (16) примет вид:

 (16,a)

В такой записи явно просматривается роль d, как угла поворота углового распределения c(j) относительно выбранной системы координат. Подставив (16,a) и (14) в (13) получим уравнение для функции от радиусаY(r):

 (17)

Теперь следует конкретизировать вид выражения (17) для областей жилы и оболочки. На рисунке 3 представлен профиль показателя преломления n(r). Для области жилы e1=(n1)2, а для области оболочки: e2=(n2)2. Будем рассматривать только такие значения констант распространения bq, значения которых лежат в пределах:

(18).

Удобно ввести величину эффективного показателя преломления nq:

 (19)

Тогда условие (18) можно представить в более наглядном виде:

 (20)

Это условие не является случайным, поскольку, как будет ниже показано, только в этом случае поле может быть локализовано в жиле и некоторой прилегающей к ней области.

 В таком случае, выражение будет иметь разные знаки в зависимости, от того для какой области записывается уравнение (17). В области жилы оно принимает положительные значения, а в области оболочки – отрицательные. Примем обозначения:

 (21.a) и

 (21.b).

Эти константы являются положительными при выполнении условия (18). Выпишем уравнения (17) для жилы и оболочки с помощью этих констант:

 (22.a)

 (22.b)

И, произведя замены переменных r’=+|uq|r для первого уравнения, и r’’=+|vq|r для второго, получим следующие уравнения в области жилы и оболочки:

  (23.a)

 (23.b)

Эти два уравнения известны как уравнение Бесселя (23.a)  и модифицированное уравнение Бесселя (23.b). Их решения хорошо известны. Из этих решений выберем те, которые являются конечными в области их рассмотрения. Так, для уравнения (23.a) выберем функции Бесселя первого рода Jl(r’), а для уравнения (23.b) выберем модифицированные уравнения Бесселя второго рода Kl(r’’). Характерный вид этих функций показан на рисунках 4 и 5.Видно, что функция Jl(r’) является ограниченной, а функция Kl(r’’) стремиться к бесконечности при стремлении к нулю r, и стремиться к нулю при неограниченном увеличении r. Такой выбор функций хорошо согласуется с условием локализации поля в жиле и её окрестности. Здесь же отметим, что такая локализация оказывается возможной только в случае выполнения условия (20). Если величина эффективного показателя преломления будет меньше чем n2, то уравнения (17) в области оболочки приняло бы вид уравнения (22.a),а его решения вид функций Бесселя первого рода. А эти функции имеют осциллирующий слабо затухающий характер. Поэтому поле, описываемое такими функциями, не было бы локализовано в окрестности жилы, а простиралось бы далеко в оболочку. Но мы такие поля рассматривать не будем, поэтому в соответствии с условием (20), функция Y(r) имеет следующий вид:

 (24)

 

А сами продольные компоненты поля представляются в виде:

  (25.a)

 (25.b)

Где A1, A2, B1, B2 некоторые постоянные, которые нужно определить.

Теперь используя эти выражения и формулы (10) получим вид поперечных составляющих электромагнитного поля. В полярных координатах это будут радиальные и тангенсальные компоненты Er и Ej. для электрического поля и Hr и Hj. для магнитного.

 

Вид поперечных компонент электромагнитного поля:

 (26.a)

 (26.b)

 (26.c)

 (26.b)

Где штрихи означают производную по аргументу функции, а не по r. Тем самым, характер пространственной зависимости поля определён с точностью до четырёх коэффициентов A1, A2, B1, B2.

4. Характеристическое уравнение и классификация мод.

Теперь остаётся найти значения постоянных коэффициентов в (25) и набор значений констант распространения bq. Это можно сделать, если удовлетворить граничным условиям, которым должно подчиняться электромагнитное поле на границе раздела двух сред. В нашем случае это означает, что продольные и тангенсальные компоненты должны быть непрерывными:

 (27.a)

 (27.b)

 (27.c)

 (27.d)

Система уравнений (27) определяет связь между коэффициентами A1, A2, B1, B2. Эта система является линейной относительно этих коэффициентов, и сводиться к виду: