Линейные и нелинейные цепи

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Ф. М. ДОСТАЕВСКОГО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

 

 

 

«Линейные и нелинейные цепи»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель:	Шефер К. И.
Специальность:	Радиофизика
Курс:	1
№ зачётной книжки:	1071201918
Преподаватель:	Шкуркин В. В.

 

 

 

 

 

Омск 2013 г.

Содержание

 

 

Введение…………………………………………………………………………3

 

1. Характеристики линейных цепей…………………………………………4
2. Цепи с обратной связью…………………………………………………..6
3. Устойчивость цепей с ОБ…………………………………………………7
4. Нелинейные цепи…………………………………………………………9
5. Нелинейное резонансное усиление……………………………………...11
6. Список используемой литературы………………………………………14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

При изучении надо обратить внимание на то, что передаточная функция K(jω) любой системы, в том числе с обратной связью, записывается в виде правильной дроби, т. е. в виде отношения двух степенных полиномов комплексной переменной jω. Такая запись существенно упрощает исследование цепей и позволяет применить универсальные типовые методы.

При рассмотрении частотных свойств необходимо чётко уяснить поведение АЧХ и ФЧХ минимально-фазовых и неминимально-фазовых цепей. Следует внимательно разобраться, почему цепи с распределёнными параметрами, например устройства, содержащие отрезки линий передач, относятся к классу неминимально-фазовых цепей. Существенной особенностью всех физически реализуемых цепей является отсутствие разрывов частотной зависимости ФЧХ.

При определении устойчивости важно уметь записывать комплексные передаточные функции каскадно-соединённых пассивных и активных усилительных элементов. Отметим также, что в активных цепях с обратной связью в одной области частот обратная связь может быть отрицательной, а в другой – положительной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характеристики линейных цепей

 

 

Линейной называется цепь, к которой применим принцип суперпозиции (наложения). В линейной цепи (ЛЦ) с постоянными во времени параметрами не образуются новые частоты на выходе. ЛЦ полностью описывается либо дифференциальным уравнением, либо передаточной функцией, либо импульсной характеристикой.

Любая линейная цепь с сосредоточенными параметрами описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами an и bm:

 

 

 

 

 

 

 

 

Порядок уравнения (5.1) определяется количеством реактивных элементов в цепи.

Передаточная функция (ПФ) K(jω) (или частотный коэффициент передачи) представляет собой отношение комплексных амплитуд выходного и входного гармонических сигналов заданной частоты ω:

При обобщении выражения K(jω) для случая комплексной частоты p = σ + jω получим ПФ в операторной форме или оператор-ный коэффициент передачи

Импульсная характеристика g(t) линейной системы – это отклик на единичный импульс δ(t), т. е. g(t) = f [δ(t)].

Переходная характеристика h(t) линейной системы – отклик на единичный скачок σ(t), т. е. h(t) = f [σ(t)].

Взаимосвязь временных и спектральных характеристик линейных цепей показана на рис. 5.1, где ППФ, ОПФ – прямое и обратное преобразование Фурье

 

 

 

ППЛ, ОПЛ – прямое и обратное преобразование Лапласа

 

 

Передаточную функцию цепи, называемую также частотным коэффициентом передачи, можно представить в виде

 

 

 

где K(ω) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цепи; ϕ(ω) – фазочастотная характеристика (ФЧХ) цепи; Re[K (jω)]и – действительная и мнимая части ПФ. Im[K (jω)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Важную роль, особенно при исследовании устойчивости цепи, играет амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) цепи, т. е. кривая в плоскости прямоугольных координат Re[K (jω)]и Im[K (jω)] или в плоскости полярных координат Kω и ϕω. В качестве примера на рис. 5.2 приведены АЧХ, ФЧХ и АФХ резонансного усилителя. Если между АЧХ и ФЧХ цепи существует однозначное соответствие, то такие цепи называются минимально-фазовыми (МФ), в противном случае – неминимально-фазовыми (НМФ). Следовательно, для МФ цепей при изменении одной из характеристик меняется и другая. К таким цепям относятся обычные четырехполюсники и другие цепи, в которых отсутствуют перекрестные связи и операторный коэффициент передачи K(p) которых не имеет нулей в правой полуплоскости комплексного переменного Kpp. К цепям НМФ относятся мостовые схемы, схемы балансного типа и др.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Некоторые свойства АЧХ и ФЧХ минимально-фазовых цепей:

1) логарифмическая АЧХ A (ω) =lnK (ω) является сопряженной по Гильберту ФЧХ ϕ (ω);

2) при  прохождении АЧХ через максимум  наклон ФЧХ отрицателен (dϕ(ω)/ dω<0);

3) участкам  с равномерной АЧХ или слабым изменением K (ω)соответствует линейная ФЧХ;

4) если для  всего диапазона ω K(ω)=K0 от 0 до ∞, то  ϕ (ω)=0.

 

Цепи с обратной связью (ОС)

В этих цепях выходной сигнал или его часть снова воздействует на вход (рис. 5.3). В общей постановке система с ОС может быть представлена двумя цепями (элементами) (рис. 5.3, а): прямой цепью (основным элементом) – активным четырехполюсником K (p) и цепью (элементом) обратной связи – как правило, пассивным четырехполюсником β (p).

ПФ всей системы в операторной форме

 

 

 

 

При замене p на jω получаем выражение для ПФ (см. рис. 5.3, б)

 

 

Произведение K (jω) β (jω)имеет смысл ПФ последовательного соединения четырехполюсников K (jω)и β (jω), т. е. ПФ разомк-нутой системы H (jω)

 

 

 

где H (ω) и ϕ( ω) – АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы

 

 

 

ReH= Re [H (jω)], ImH=Im[H (jω)]– действительная и мнимая части ПФ разомкнутой системы.

ПФ Koc (jω) часто называют ПФ замкнутой системы.

Если на некоторой частоте ω

 

 

 

т. е. введение ОС уменьшает модуль ПФ замкнутой системы и обратная связь для этой частоты называется отрицательной; в противном случае

 

 

 

– положительной.

Отрицательная ОС позволяет в ряде случаев улучшить характеристики цепей: стабилизировать коэффициент усиления, осуществить коррекцию АЧХ. Положительная

ОС используется в различных генераторах и в том числе в генераторах гармонических колебаний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Устойчивость цепей с ОС

 

 

Условие устойчивости заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений сис-тема возвращается в исходное состояние. Известно несколько кри-териев устойчивости, различающихся в основном по форме, а не по существу. Они подразделяются на две группы.

Алгебраические критерии. Уравнение (5.1) с нулевой правой частью, т. е.

 

 

 

 

будет описывать состояние покоя линейной цепи. После внешнего воздействия переходные процессы должны быть затухающими для возвращения цепи в исходное состояние покоя. Решение уравнения (5.13) имеет вид:

 

 

 

где  Ui – постоянные, pi=σi+jωi – корни характеристического уравнения

 

 

 

Следовательно, система устойчива, если действительные части σi всех корней характеристического уравнения (5.15) отрицательны. Это фундаментальное положение было обосновано А. М. Ляпуновым.

Поскольку левая часть уравнения (5.15) представляет собой знаменатель ПФ (5.3), корни уравнения (5.15) являются полюсами ПФ (5.3) и, следовательно, для устойчивости цепи необходимо, чтобы ПФ не имела полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной p.

Если цепи описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка, нахождение корней характеристического уравнения осложнено. В этом случае используют критерий Рауса-Гурвица: для того, чтобы действительные части всех корней уравнения (5.15) с вещественными коэффициентами bm были отрицательными и, следовательно, цепь была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы были положительными следующие величины:

1) коэффициенты b0,…, bm;

2) определители  Δ 1=bm−1

 

 

 

 

 

 

 3) все главные миноры определителей.

Достоинство этого критерия – относительная простота. Однако с возрастанием m увеличивается порядок определителей и вычисление их становится громоздким. Кроме того, он неприменим к системам с распределенными параметрами и неудобен при экспериментах, когда заданы не коэффициенты уравнения, а ПФ разомкнутой цепи. Алгебраические критерии не дают ясных указаний по переводу неустойчивой системы в устойчивую и наоборот.

От этих недостатков свободны геометрические критерии.

Геометрические (частотные) критерии. Из (5.8) следует, что при = 1усиление Koc(jω) бесконечно возрастает, т. е. система становится неустойчивой. Следовательно, если АФХ (годограф) H(jω) разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (1, j0), то замкнутая система устойчива и наоборот. Это условие называется критерием устойчивости Найквиста.

Вместо АФХ могут быть использованы обычные АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Если при изменении частоты ω от 0 до ∞ фаза ϕН не достигает 0, или n⋅2π(где n – целое), то замкнутая система устойчива при любом значении H=Kβ. Если H=Kβпри любой частоте меньше единицы, то замкнутая система устойчива при любой ФЧХ.

Система неустойчива, если имеются частоты, на которых одновременно выполняются два условия:

 

 

 

 

Критерий Найквиста получил наибольшее применение в радиотехнике и радиоэлектронике. Известен также ряд других геометрических критериев устойчивости, например критерий Михайлова и критерий пересечений, которые широко используются в автоматике при анализе систем регулирования.

 

 

 

 

 

Нелинейные цепи

Рассматриваются преобразования сигналов, осуществляемые в нелинейных цепях, для которых оператор является нелинейной функцией. L

Если в результате преобразования функциональная структура сигнала сохраняется, а изменяется значение параметров a, то это преобразование параметров сигнала; если функциональная структура изменяется, то будет иметь место преобразование функциональной структуры сигнала.

Нелинейные преобразования подразделяются на информационные и безынформационные. Первые связаны с введением или извлечением информации, т. е. с преобразованием параметров сигнала – модуляция и детектирование. Преобразования функциональной структуры сигналов, как правило, являются безынформационными. К ним относятся: нелинейное резонансное усиление, умножение и деление частоты, транспонирование спектра, ограничение и др.

Обобщенная структурная схема многих преобразований представляет собой соединение нелинейного преобразователя (НП) и линейного преобразователя (ЛП) (рис. 10.1, б). На вход НП подается один или несколько сигналов, а на его выходе получается сложный спектр, состоящий из комбинационных составляющих исходных сигналов. Назначение ЛП состоит в выделении полезного продукта преобразования, т. е. той части спектра сигнала , которая соответствует требуемому преобразованию.

 

 

 

 

 

 

На рис. 10.2, а изображена принципиальная схема преобразователя сигналов. Здесь НЭ – нелинейный безынерционный элемент (транзистор, лампа, ИМС); Z (jω)– комплексное сопротивление ЛП, т. е. частотно-избирательного фильтра. Наиболее часто используются две основные схемы фильтров: параллельный колебательный контур (рис. 10.2, б) – в тех случаях, когда полезным продуктом является колебание высокой (или промежуточной) частоты; параллельный RC-фильтр (рис. 10.2, в) – для случаев выделения составляющих низкой частоты.

 

 

 

 

 

Выделение полезных составляющих с помощью фильтров показано на рис. 10.3; при этом чтобы уменьшить возможные линейные (частотные) искажения должна быть правильно обеспечена полоса пропускания фильтра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Качество нелинейного преобразования оценивается с помощью целевой функции Y=f(X) – характеристики преобразования, которая связывает определенный (информативный) параметр полезного продукта с соответствующим параметром YX входного сигнала. В зависимости от вида (назначения) преобразования эта характеристика имеет уточняющее название: колебательная (амплитудная), модуляционная, детекторная и др.

Так как вредные продукты преобразования могут быть не подавлены полностью фильтром Z(jω), то имеют место нелинейные искажения преобразованного сигнала. В этом случае характеристика преобразования является нелинейной функцией. Качество преобразования тем выше, чем линейнее функция Y= f(X), т. е. чем меньше паразитных составляющих в выходном сигнале и чем больше изменяется при единичном изменении YX (чем больше крутизна Sxy характеристики преобразования).