Методы математического моделирования

 

 

 

 

Курсовая работа на тему:

«Методы математического  моделирования»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва, 2010.

Расчет энергии Гиббса и свободной  энергии Гельмгольца с помощью  уравнения состояния BWR-LK

Потенциалы Гиббса и Гельмгольца  необходимы при описании процессов  конденсации и парообразования. С их помощью можно рассчитать точку росы газа по углеводородам  и по воде. Потенциал Гельмгольца, еще его называют свободная энергия  Гельмгольца, определяется как:

(3.99)

Потенциал Гиббса, или энергия  Гиббса определяется как

(3.100)

Эти термодинамические потенциалы являются аддитивными величинами, поэтому  можно ввести мольные потенциалы Гиббса и Гельмгольца.

	(3.101)
	(3.102)

Запишем полный дифференциал потенциала Гельмгольца:

(3.103)

Учитывая уравнение (3.13) из (3.103) получим:

(3.104)

Или не в удельных величинах:

(3.105)

Рассмотрим энергию Гельмгольца  реального газа, находящегося в состоянии  с некоторым давлением  и температурой . Известно, что для малых давлений газ находится в идеальном состоянии, для которого мы можем просто рассчитать все потенциалы, зафиксировав, как говорится выше, один из них. Рассмотрим изотермический процесс, при котором газ приводится в интересующее нас состояние. Для такого процесса можно записать:

(3.106)

Тогда энергию Гельмгольца  в интересующем состоянии можно  найти, проинтегрировав уравнение (3.106):

(3.107)

Здесь некоторое опорное идеально газовое состояние, в котором мы задаем граничные условия для термодинамических потенциалов. В теории потенциала всегда есть произвол в выборе начала отсчета энергии, так как физический смысл имеет не значение потенциала, а его изменение вдоль интересующей нас траектории.

К сожалению мы не знаем как зависит давление от объема, поэтому для того, чтобы получить интересующее нас выражение для энергии Гельмгольца придется сделать замену переменных в интеграле (3.107). Перейдем от интегрирования по объему к интегрированию по давлению:

(3.108)

Тогда интеграл (3.107) можно записать в виде:

(3.109)

Из уравнения состояния (3.49) имеем:

(3.110)

Тогда интеграл из (3.109) перепишется в виде:

(3.111)

К сожалению, мы не знаем как зависят коэффициенты сжимаемости простого и эталонного вещества от давления, поэтому для того, чтобы взять интегралы придется сделать еще одну замену переменных. Рассмотрим сначала первый из двух интегралов. Учитывая, что мы знаем зависимость коэффициента сжимаемости от приведенного объема (3.50), перейдем к переменной интегрирования . Из (3.50) имеем:

(3.112)

Тогда можно записать, что: 

(3.113)

Воспользовавшись уравнениями (3.50) и (3.51) запишем:

(3.114)

Все интегралы в формуле (3.114) берутся в элементарных функциях:

(3.115)

Подставляя выражения (3.115), (3.113) и (3.111) в выражение для энергии Гельмгольца (3.109) с учетом (3.49) получим:

(3.116)

Где - энергия Гельмгольца простого вещества в искомой точке, - энергия Гельмгольца эталонного вещества в искомой точке, которые рассчитываются по одной формуле:

(3.117)

Формулу (3.117) можно заметно упростить, если учесть, что в качестве опорного состояния выбрано идеально газовое состояние, для которого коэффициент сжимаемости стремится к единице. Отсюда следует, что в опорном состоянии удельные объемы будут стремиться к бесконечности и всеми членами, кроме логарифма в (3.117) можно пренебречь. Так как разность логарифмов равна логарифму отношения, запишем:

(3.118)

Из (3.50) следует:

(3.119)

Тогда (3.118) можно записать в виде:

(3.120)

Здесь стоит напомнить, что  функция давления и температуры, так как для расчета энергии Гельмгольца в некоторой точке, сначала потребуется найти удельные объемы простого и эталонного вещества в этой точке из формулы (3.51), а затем уже, подставив найденные удельные объемы в формулы (3.120) и (3.116) найти значение потенциала Гельмгольца в нужной точке.

Рассчитать потенциал  Гиббса теперь не составит труда. Действительно, с учетом уравнения состояния  можно записать:

(3.121)

где потенциалы Гиббса для  простого и эталонного вещества будут  заданы в виде:

(3.122)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы.

     

«Физико-математическая модель и алгоритм расчета однофазного  потока газа в магистральных газопроводах с гладкостным внутренним покрытием  и рабочим давлением до 30 Мпа », Часть 1, ВНИИГАЗ, 2010.