Определение количественных показателей надежности при помощи доверительных интервалов

, (2.1) 

где Тн и Тв - соответственно нижняя и верхняя границы средней наработки до отказа, где лежат и Т0.  

Вероятность того, что значение Т0 выйдет за заданный интервал называется уровнем значимости:  

 (2.2) 

Значения доверительных  вероятностей b обычно принимают равными 0,9; 0,95; 0,99. Соответствующие им уровни значимости составят 0,1; 0,05; 0,01. Доверительная вероятность b , определяемая выражением (2.1), характеризует степень достоверности результатов двусторонней (то есть с определением верхней и нижней границ) оценки.  

Доверительный интервал для средней наработки  до отказа при равных вероятностях a /2 выхода за правую (верхнюю) и левую (нижнюю) границы для экспоненциального распределения [11, 19] определяется по выражению  

, (2.3) 

где и - значения (хи-квадрат) при параметрах и 1 - ; 2r = k - число степеней свободы, для вероятностей P = и Р = 1 - соответственно.  

Когда вычисляется  только нижняя граница, то  

. (2.4) 

В выражениях (2.3) и (2.4) - суммарная наработка до отказа по отказам, зафиксированным во время эксперимента. Значения определяются по таблице П-1 квантилей распределения (хи-квадрат).  

Таким образом, для заданных уровней значимости a и числа степеней свободы k по таблице (см. прил. 1) находят соответствующие значения, подставляют в выражение (8.3) и находят Tн и Tв. Величина a задается в зависимости от требований, предъявляемых к анализируемой системе. Как известно, для экспоненциального закона и , и выражения оценки надежности верхнего и нижнего значений вероятности безотказной работы имеют вид  

, где  ; (8.5)  

, где .

Из рис. 8.2 видно, что по практическим соображениям более  важно определить Pн(t). Если значение Pн(t) удовлетворяет заданному уровню надежности Pзад(t) на интервале времени от 0 до t, то истинное значение:  

Это говорит  о запасе надежности анализируемого устройства на интервале времени  от 0 до t.  

Для определения  Tн и Tв по выражениям (8.3) и (8.4) необходима суммарная наработка . В табл. 8.1 приведены формулы вычислений суммарной наработки для наиболее распространенных планов проведения испытаний [3, 19].  

Таблица 8.1

Определение суммарной  наработки для соответствующих  планов испытаний

Примечание: - момент (время) r-го (последнего отказа), r - количество отказов; - время j-го отказа, 1 Ј j Ј r.  

Рассмотрим пример оценки Tн по [19].  

Пример. В результате наблюдений за эксплуатацией неремонтируемых  однотипных устройств зафиксированы 12 отказов. После двенадцатого отказа наблюдения прекращаются. Значения наработки до отказа (в часах): 58, 110, 117, 198, 387, 570, 610, 720, 798, 820, 840, 921.  

Оценить среднюю  наработку до отказа заданного типа устройства, предполагая экспоненциальный закон распределения времени  наработки до отказа.  

Решение.  

Из условия  задачи следует, что наблюдения организованы по плану (N, U, r); N = 100, = 921 ч. В табл. 8.1 по указанному плану находим суммарную наработку всех устройств:  

;  

;

Точечная оценка средней наработки до отказа

ч. 

Зададимся доверительной  вероятностью b = 0,9, тогда a = 0,1. Ограничимся односторонней оценкой (Tн). Нижнюю доверительную границу Tн при a = 0,1 определим по выражению (8.4) и по прил. 1:  

ч. 

Можно с 90%-й уверенностью утверждать, что истинное значение средней наработки до отказа не ниже 4950 ч, и по этой оценке можно определять и другие показатели надежности, например .

В данном пособии  рассмотрен вопрос интервальной оценки параметров экспоненциального распределения. В специальной литературе, приведены  примеры интервальной оценки для  более сложных законов распределения (например, при нормальном законе распределения  в [11, 12], при усеченном нормальном законе распределения в [19]).