Определение моментов инерции твердых тел методом трифилярного подвеса

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

 

 

                                

                                                                                                  Кафедра ЕН и ОТД

 

 

 

Лабораторная работа № 4                                                       Определение моментов инерции твердых тел методом                               трифилярного подвеса

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                     

 

   Заведующий кафедрой ЕН и ОТД:

                                                                                                                                                                                      Составил: Старший преподаватель

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                    

2010г.

Определение моментов инерции твердых тел методом                               трифилярного подвеса

 

 

Приборы и принадлежности:   1. Трифилярный подвес;

                                                                           2. Набор твердых тел, подлежащих измерению                                                                                                            

                                                                (диск, стержень, полый цилиндр);

                                                                3. Секундомер;

       4. Штангенциркуль;

5. Масштабная линейка.

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1.Эксперементальное определение  моментов инерции твердых тел.

2. Проверка теоремы Штейнера.

 

 

ТЕОРИЯ МЕТОДА

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси определяется выражением

                             J=∑∆miri²;                               J=∫r²dm;                     (1)               где ri расстояние элемента массы от оси ∆mi вращения.

 

1. Момент инерции J является мерой инертности при вращательном движении. Величина момента инерции зависит от массы данного тела и от распределения его массы относительно оси вращения.
2. Момент инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы можно найти теоретически. Возьмем, например, однородный сплошной цилиндр. Это тело, можно мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Цилиндр радиуса разобьем на концентрические слои толщиной dR (рис.1)

 

                   Рис 1.

 

 

 

Пусть радиус какого-то слоя R , тогда масса частиц, заключенных в этом слое будет:

                                        dm=2ΠRhpdR,                                           (2)

Где h – высота цилиндра;

p – плотность вещества цилиндра.

    Все частицы слоя будут  находиться на расстоянии R от оси, следовательно, момент инерции этого слоя будет:

                                DJ=dmR²=2ΠphR³dR;                                      (3)

    Тогда момент инерции  всего цилиндра:

                       J=∫dJ=∫R²dm=2Πhp∫R³dR=2Πph(R/4)                       (4)

   Поскольку масса цилиндра m=ΠR²ph, формула (4) запишется так:

                                                  Jс=1/2mR²цил.;                                            (5)

    Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус R, а внешний – R. Просто вычислить по формуле (4), интегрируя в пределе от R до R :

                              J=2Πph∫R³dR=2Πph(R /4- R /4);                          (6)

Так как масса полого цилиндра m=Πph(R²- R²), его момент инерции можно записать так:

                                          Jс=1/2m(R²+ R²);                                          (7)

    Таким же простым методом  можно вычислить момент инерции  любого тела, которое можно разбить на: совокупность колец, дисков: и т.д. Момент инерции неоднородных тел и тел произвольной формы определяется опытным путем. Например: при помощи трифилярного подвеса, как в данной работе. Если каким-то способом определить момент инерции тела относительно некоторой оси, проходящей через центр массы, то очень просто определить момент инерции тела относительно любой параллельной оси. Момент инерции зависит и от направления оси и от места её прохождения. Если нет специальной оговорки, то предполагается, что ось вращения проходит через центр инерции тела. Если ось сдвинута по отношению к центру инерции (рис. 2) на расстояние  d, то новый момент инерции J, будет отличен от момента инерции J относительно параллельной оси ССт, проходящей через центр инерции.

 

          

                                               J= Jс +md²;                                           (8)

    Данное выражение представляет собой теорему Штейнера, которая формулируется так:

Момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр инерции равен моменту инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр инерции, плюс произведение массы тела, на квадрат расстояния от оси до центра инерции.

    Кинетическая энергия  тела при вращении около неподвижной оси равна:

                                                    Wкин= Jω²/2;                                                (9)

 

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

 

    Трифилярный подвес, схема которого изображена на (рис 3, 4) состоит из диска радиуса R, подвешенного горизонтально на трех нитях к не подвижному диску несколько меньше радиуса r. Центры дисков расположены на одной вертикальной оси ООт. Повернем нижний диск около оси ООт на некоторый угол уо (не больше 6-7°) и отпустим его. Диск начнет совершать крутильные колебания около оси ОО^.

 

 

                       Рис.3                                                                   Рис.4

 

    При малых амплитудах колебания их можно приближенно рассматривать как гармонические, т.е. считать, что угол изменяется по закону синуса или косинуса:

                                               φ=φ sin(2П/T)t                                        (10)

    Здесь Т- период крутильных колебаний диска.

При повороте на угол φ диск поднимается на некоторую высоту h=c (рис. 4) и у него появляется дополнительная потенциальность энергия Eh - mgh (m – масса диска). Когда диск проходит положение равновесие, потенциальная энергия колебаний превращается в кинетическую энергию вращательного движения W=Jω²/2                                     

Согласно закону сохранения энергии:

                                                  mgh= Jω² max /2                                      (11)

 

Отсюда момент инерции диска равен:

                                             J=2 mgh/ω² max                                       (12)

   По этой формуле можно найти момент инерции диска J, если известна его масса m., максимальная угловая скорость W max и высота поднятия h.

    Для нахождения W max дифференцируем по t обе части уравнения (10), получается:

                        ω=dφ/dt=φ (2п/Т)cos(2п/Т)t,                              (13)

 

   Положив cos(2п/Т)t=1 скорость находят максимальную угловую диска

                                                              ωmax= 2пφ /Т                        (14)

где Т- период колебания. Высота h, на которую поднимается диск, находясь в крайнем положении, определяется из геометрических соображений (рис.4).

Из АВС: l ²=ВС²+(R- r)², а из ∆A B C-l²=BC²+A C²-BC²+R²+ r ²-2Rcosφ            (15)

 

Из двух равенств видно: BC²=BC²-2Rr (1-cosφ )-4Rr sm²(φ /2)                             (16)

 

    Из рис.4 видно что, ВС-ВС1=h. При малых амплитудах можно с допускаемой погрешностью положить ВС+ВС1=2l, и Sin (φ /2)≈  φ /2                                       (17)

    Проведя замены, получают: h=2l - 4Rr  ( φ² /2);   Откуда:   h= Rr φ²/ 2l              (18)

    По формулам (12, 14, 18) находят  момент инерции нижнего диска:

                                             J= (mgRr/4п²l)Т²                                                     (19)

 

    Равенство 19 является основной  расчетной формулой в этой  работе. Все величины, входящие в  ее правую часть, измеряются при  выполнении работы. По этой формуле  можно определить момент инерции  нагруженной платформы.

 

Выполнение работы

1. Определение момента инерции ненагруженной платформы – (нижнего диска)

 

   1. Измеряют радиус платформы R, радиус верхнего диска      и длину подвесов l. Масса платформы указана на установке.

2. Повернуть платформу на 10°, отпустив платформу измеряют секундомером время t, за которое происходит n=30-50 колебаний.

3. Определяют период колебаний Т.

4. Все измерения производят трижды и, результаты заносят в таблицу 1.

5. По формуле (19) вычисляют момент инерции ненагруженной платформы.

№	m	R	r	L	t	T	J0
1.
2.
3.
Сред.значение

                                                                                                                                   Таблица 1.

6.Рассчитывают абсолютную и относительною погрешности при измерении момента инерции платформы J0.

7.Окончательный результат записывают в виде J0 = J0 ± ∆J0

 

 

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ  ИССЛЕДУЕМОГО ТЕЛА.

 

1. Исследуемое тело кладут на платформу так, чтобы его центр тяжести сказался на оси вращения.
2. Определяют период колебаний нагруженной платформы.
3. По формуле (19) вычисляют момент инерции нагруженной платформы, приняв за сумму масс тела платформы.
4. Находят момент инерции тела Jс = J-Jо; Jо – момент инерции ненагруженной платформы.
5. Результаты опыта заносят в таблицу 2.
6. Измеренные значения моментов сравнивают с расчетным Jтеор рассчитанным, исходя из геометрии тела.

№	m	R	r	L	t	T	J	Jс
1.
2.
3.
Сред.значение

                                                                                                                                       Таблица 2.

 

 

3.ИЗМЕРЕНИЕ  МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА П ПОСЛЕДУЮЩЕЙ ПРОВЕРКОЙ РЕЗУЛЬТАТА ОПЫТА ПО ТЕОРЕМЕ ШТЕЙНЕРА

1. Оба тела располагают строго симметрично относительно оси вращения на известное расстояние d от неё и определяют их моменты инерции на таком расстоянии J1.

Момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси вращения находится по формуле J2= (J1-J0)/2

2. Зная расстояние d массу тела и момент инерции тела, положенного в центре платформы, проверяют теорему Штейнера.

3. Данные вносят в таблицу 3.

 

 

№	n	t	T	m	d	J1	J2	J2=Jс+md²
1.
2.
3.

                                                                                                                                       Таблица 3.

          Как следует из вывода, формула (19) справедлива при полном отсутствии потерь энергии на трение. Учет такого рода потерь весьма затруднителен, однако можно считать, что поправки оказываются невелики, если потери энергии незначительны.