Определение погрешности измерений

Все сказанное выше о погрешностях относится к погрешностям отдельного измерения. Однако важнее знать, насколько может уклоняться от истинного значения x среднее арифметическое < x> , полученное по формуле (3) для n повторных равноточных измерений. Теория показывает, что средняя квадратичная погрешность среднего арифметического S равна средней квадратичной погрешности отдельного результата измерений S_n, деленной на корень квадратный из числа измерений n, то есть

(5)

Это фундаментальный закон возрастания  точности при росте числа наблюдений.

Пусть a означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного на величину, не большую, чем Dx. Вероятность a в этом случае носит название доверительной вероятности, а интервал значений измеряемой величины от < x> - Dx до < x> +Dx называется доверительным интервалом.

Определим доверительный интервал. Чем большим будет установлен этот интервал, тем с большей вероятностью x_ист попадает в этот интервал. С другой стороны, более широкий интервал дает меньшую информацию относительно величины x_ист. Если ограничиться учетом только случайных погрешностей, то при небольшом числе измерений n для уровня доверительной вероятности a полуширина доверительного интервала (2) равна

(6)

где t_a,n - коэффициент Стьюдента.

(Работа с таблицей)

Таблица 1. Коэффициенты Стьюдента. a =0,68 a =0,95 a =0,99  n  ta ,n  n  ta ,n  n  ta ,n  2   2,0  2 1 2,7  2 6 3,7  3  1,3  3  4,3   3  9,9  4  1,3  4  3,2  4  5,8  5  1,2  5  2,8  5  4,6  6  1,2  6  2,6  6  4,0  7  1,1  7  2,4  7  3,7  8  1,1  8  2,4  8  3,5  9  1,1  9  2,3  9  3,4  10  1,1  10  2,3  10   3,3  15  1,1  15  2,1  15  3,0  20  1,1  20  2,1  20  2,9  30  1,1   30  2,0  30  2,8  100  1,0   100  2,0  100  2,6

Смысл понятий "доверительный интервал" и "доверительная вероятность" состоит в следующем: пусть a =0.95, тогда можно утверждать с надежностью 95%, что истинное значение величины xист не отличается от оценки (3) больше, чем на ± D xсл. Значения коэффициентов ta ,n в зависимости от a и n табулированы (см. табл. Чтобы окончательно установить границы доверительного интервала необходимо расширить его с учетом систематической погрешности Dxсист. Систематическая погрешность, как правило, указана в паспорте или на шкале прибора, а в простейших случаях может быть принята равной половине цены деления младшего разряда шкалы. Обычно (хотя, строго говоря, и неверно) суммарная погрешность определяется как корень квадратный из суммы квадратов случайной и систематической погрешностей:

(7)

Определенная согласно (7) величина Dx является абсолютной погрешностью. Очевидно, что при одном и том же значении Dx результат может оказаться достаточно точным при измерении некоторой большой величины, тогда как при измерении малой величины его точность будет недостаточной. Например, пусть имеется возможность измерять линейные размеры с погрешностью Dx=1 мм. Ясно, что это заведомо превышает необходимую точность при измерении, скажем, размеров комнаты, но измерение окажется слишком грубым при определении толщины монеты. Таким образом, становится понятной необходимость введения относительной погрешности, которая определяется как

(8)

и выражается, обычно, в процентах. Как видно, выражение (8) позволяет оценить величину погрешности по отношению к самой измеряемой величине. Очевидно, что в тех случаях, когда измеряемая величина представляет собой условное число, например, астрономическое время в данный момент (но не интервал времени между двумя событиями), пространственная координата (но не расстояние между двумя точками) и т.п., определение относительной погрешности смысла не имеет. Действительно, точность определения текущего времени по одним и тем же часам одинакова и в 12 часов, и в 1 час.

Рассмотрим теперь случай, когда при повторении измерений в одних и тех же условиях устойчиво получаются одинаковые значения x=x₀. В этом случае систематическая погрешность настолько превышает случайную, что влияние случайной погрешности полностью маскируется. Истинное значение x отнюдь не равно x₀. Оно, по-прежнему, остается неизвестным, и для него можно записать x=x₀±Dx, причем погрешность Dx определяется в данном случае воспроизводящимися от опыта к опыту ошибками, связанными с неточностью измерительных приборов или метода измерений. Такую погрешность Dx, как отмечалось, называют систематической. Для более точного определения физической величины x в данном случае необходимо изменить постановку самого опыта: взять прибор более высокого класса точности, улучшить методику измерений и т.п.

Рассмотрим, каким образом оценить  случайную погрешность косвенно измеряемой величины y, которая является функцией некоторого числа m непосредственно измеряемых величин x_i, т.е.

(9)

Само среднее значение <y> можно найти из известной функциональной зависимости (9), подставляя в качестве аргументов усредненные по всем проведенным опытам значения непосредственно измеренных величин < x_i> . Соответствующие вычисления показывают, что абсолютная погрешность Dy в этом случае определяется по формуле

(10)

где обозначает так называемую частную производную.

Частная производная - это такая  производная, которая вычисляется  от функции f по аргументу x_i , притом как все остальные аргументы считаются постоянными.

Относительная погрешность для косвенно измеряемой величины y определяется как

(11)

Формулу (10) применяют в тех случаях, когда в зависимости (9) измеряемые величины x_i входят, в основном, в виде слагаемых, а формула (11) оказывается особенно удобной тогда, когда правая часть (9) представляет собой произведение величин x_i . Учитывая простую связь между абсолютной и относительной погрешностями d =Dy/< y> , легко по известной величине Dy вычислить d и наоборот. Рассмотрим применение формул (10) и (11) на примере. Пусть функциональная зависимость косвенно измеряемой величины y от непосредственно измеряемых величин x_i имеет следующий простой вид:

.

Поскольку функция y представляет собой сумму двух слагаемых, находим частные производные

и подставляем их в формулу (10):

,

причем абсолютные погрешности D x₁ и D x₂ должны быть предварительно определены, как указано выше, по формулам (4) - (7).

Пусть теперь функциональная зависимость  косвенно измеряемой величины y от непосредственно измеряемых величин x_i имеет следующий вид:

.

В этом случае для определения погрешности  косвенно измеряемой величины y воспользуемся формулой (11). Для этого сначала найдем логарифм, а затем - частные производные:

Подставляя в (11), найдем

.

 

4. Закрепление материала

1. Что является основной задачей физического эксперимента?

Правильный ответ: Основной задачей физического эксперимента является измерение численных значений наблюдаемых физических величин.

 

2. Что называется измерением?

Правильный ответ: Измерением называется операция сравнения величины исследуемого объекта с величиной единичного объекта.

 

3. Что всегда содержит результат всякого измерения?

Правильный ответ: Результат всякого измерения всегда содержит некоторую погрешность.

 

4. Что называется относительной погрешностью?

Правильный ответ: Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.

 

5. Какие виды погрешностей физических величин существуют?

Правильный ответ: Погрешности физических измерений принято подразделять на систематические, случайные и грубые.

 

6. Какими факторами вызываются систематические факторы?

Правильный ответ: Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений.

 

7. Напишите формулу средней квадратичной погрешности среднего арифметического S.

Правильный ответ:  

 

5. Домашнее задание: О.2, Д.1 Написать реферат