Основные понятия Динамики

Основные понятия Динамики. 
Динамикой называется раздел теоретической механике в котором изучаются механические движения материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих. В динамике – главном разделе курса – на основе сведений из статики и кинематики и специальных законов динамики решаются задачи о связи сил и движений. Всякое механическое движение материальных тел происходит с течением времени в пространстве. Нет движения материальных тел вне пространства, также нет движения и вне времени. Время и пространство не могут существовать помимо и независимо от движения  материальных тел. Таким образом, они являются формами существования движущейся материи. Материальной точкой называется материальное тело, вращательными движениями которого по сравнению с поступательными, можно пренебречь. Таким образом необязательно понимать под материальной точкой тело очень малых размеров. Твердое тело движущееся поступательно, рассматривается как материальная точка. Материальная точка называется точка, на которую наложены связи, ограничивающие её движение. Законы динамики описывают механическое движение материальных тел по отношению к так называемым «неподвижным» или «абсолютным» осям координат и по отношению к осям, которые движутся поступательно и равномерно по отношению к неподвижным (инерциальные оси).

Силы. Классификация  по распространению. 
1)Сила тяжести – Ğ=mġ, ġ=9,81; 2)Сила трения – Ḟ_тр=fŇ; 3)Сила упругости – Ḟ_у=cλ; 3)Сила гравитационного взаимодействия – Ř=γ(Mm/r²⁾; 4)Сила вязкого трения – Ř=µṼ, µ-коэффиц. вязкости, Ṽ-скорость; 6)Сила аэродинамического сопротивления – Ř =1/2ρc_xS Ṽ, Ṽ -скорость движения тела, ρ-плотность среды в которой тело движется, c_x-безразмерный коэфф-т, определяемый экспериментально от вида тела, S-площадь миделя(площадь проекции тела на плоскость перпендикул. вектору скорости).

Свободные и несвободные тела. Связи. 
Свободным называют тело, которое не испытывает никаких препятствий для перемещения и пространстве в любом направлении. Несвободным, если тело связано с другими телами, которые ограничивают ею движение в одном или нескольких направлениях. Связи - тела, которые ограничивают движение рассматриваемого тела. Реакции связей - силы, противодействующие возможным движениям тела. Реакция связи всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела. 
Виды связей: 
Связь в виде гладкой (т. е. без трения) плоскости. В этом случае реакция связи всегда направлена по нормали к опорной поверхности. 
Связь в виде контакта цилиндрической или шаровой поверхности с плоскостью. 
Связь в виде шероховатой плоскости. Здесь возникают две составляющие реакции: нормальная Rn, перпендикулярная плоскости, и сила трения Rt, лежащая в плоскости. Полная реакция R, равная геометрической сумме. 
Гибкая связь, осуществляемая веревкой, тросом, цепью  и т. п. Реакции гибких связей направлены вдоль связей, причем гибкая связь может работать только на растяжение. 
Связь в виде жесткого прямого стержня с шарнирным закреплением концов. Здесь реакции всегда направлены вдоль осей стержней. Стержни при этом могут быть как растянутыми, так и сжатыми. 
Связь, осуществляемая ребром двугранного угла или точечной опорой. Реакция такой связи направлена перпендикулярно поверхности опирающегося тела.

Проекция  сил. 
Проекция силы на ось – это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси. 
Fx= Fcosα; 
Px= Pcosβ= P⋅cos90o=0; 
Rx= Rcosγ = -R⋅ cos(180o-γ). 

 Проекция силы на  ось может быть положительной, (0 ≤ α < π/2), равной нулю,(β = π/2 ) и отрицательной,(π/2 < γ ≤ π). Иногда для нахождения проекции силы на ось сначала нужно найти ее проекцию на плоскость, а потом проекцию на ось. 
Pz= P sinα; 
Px= (P cosα)cosβ; 
Py= (P cosα)cosγ = P cosα⋅ cos(90o-β).

 

Момент силы относительно точки. 
Моментом силы относительно точки O  называется результат векторного произведения радиуса-вектора, проведенного из точки O  в точку приложения силы, на вектор силы: Mo(F)= r F. 
Вектор Mo(F) перпендикулярен плоскости, в которой лежат радиус-вектор  r и вектор силы F , и направлен так, что если смотреть навстречу ему, видно силу, стремящуюся повернуть плоскость, в которой она лежит, против хода часовой стрелки. 
Численно момент силы равен 
Mo= r⋅ F sinα; r⋅ sinα = h;   Mo= Fh. 
Если силу перенести вдоль линии действия в другую точку, то величина и знак момента не изменятся: 
Mo= r⋅ F sinα = r1⋅ F1 sinα1 = Fh = F1h.

 

 

Можно также сказать, что  численно момент силы относительно точки  равен удвоенной площади треугольника (OAB), основанием которого является сила, а высотой – плечо h: 
S∆OAB= 1/2 Fh ; Mo(F) = Fh = 2S∆OAB

 

 

 

Уравнения равновесия плоской произвольной системы  сил. 
При равновесии произвольной плоской системы сил уравнения равновесия могут быть записаны в виде 
∑xi=0; 
∑yi=0; 
∑Mo=0, 
причем оси и точка O , относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. 
Уравнения равновесия также могут быть записаны иначе: 
∑xi =0; 
∑MA=0; 
∑MB=0. 
Здесь ось Ox  не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A  и B. 
∑MA=0; 
∑MB=0; 
∑MC=0.

Законы  Ньютона. 
В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений над движением тел и проверенные обширной общественно-исторической практикой человечества. Систематически эти законы были впервые изложены Ньютоном. 
I закон Ньютона 
Существуют такие системы отсчета, которые называются инерциальными, относительно которых тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела или действие других сил скомпенсированно. II закон Ньютона 
Ускорение тела прямопропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе: 
 
III закон Ньютона 
Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. 
 
Из законов Ньютона сразу же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона говорит, что, как бы тела ни взаимодействовали, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает закон сохранения импульса. Далее, надо потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только от модуля разности координат этих тел . Тогда возникает закон сохранения суммарной механической энергии взаимодействующих тел:  
Законы Ньютона являются основными законами механики. Из них могут быть выведены все остальные законы механики.

Основной закон  динамики. 
Произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

 

Математически этот закон выражается векторным равенством . При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость   ma = F. 
Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса которой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот. 
Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т.е. равнодействующей , равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид или . 
Степень свободы тела – это направление его возможного движения.

 

 

 

СМТ – свободное  материальное тело. 
НМТ – несвободное материальное тело.

Основной закон динамики в координатных осях. 

 

 

 

ma_x=∑F_kx 
ma_y=∑F_ky 
ma_z=∑F_kx 
a=√a_x²+a_y²+a_z²

Основной закон динамики в осях естественного трехгранника. 

 

 

mã_τ=∑Ḟ_k^τ 
mã_n=∑Ḟ_kⁿ 
0= ∑Ḟ_k^b 
m(V²/ρ)=∑ Ḟ_kⁿ, m(dṼ/dt)=∑ Ḟ_k^τ 
a^τ=dV/dt; v=dS/dt

x=f(t)

Задачи  динамики. 
Первая задача динамики заключается в том, что зная силы приложенные к телу можно определить: 
а) для СМТ – закон движения 
б) для НМТ – закон движения и реактивные силы 
Второй(основная, главная) задача динамики заключается в том, что зная закон движения тела можно определить: 
а)для СМТ – активные силы действующие или приложенные к телу 
б)для НМТ – активные и реактивные силы.

Законы сохранения движения. 
В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений над движением тел и проверенные обширной общественно-исторической практикой человечества. Систематически эти законы были впервые изложены Ньютоном. 
I закон Ньютона 
Существуют такие системы отсчета, которые называются инерциальными, относительно которых тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела или действие других сил скомпенсированно. II закон Ньютона 
Ускорение тела прямопропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе: 
 
III закон Ньютона 
Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. 
 
Из законов Ньютона сразу же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона говорит, что, как бы тела ни взаимодействовали, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает закон сохранения импульса. Далее, надо потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только от модуля разности координат этих тел . Тогда возникает закон сохранения суммарной механической энергии взаимодействующих тел:  
Законы Ньютона являются основными законами механики. Из них могут быть выведены все остальные законы механики. 
Если сумма сил приложенных к телу=0, то тело не меняет направления м величины своей скорости. 
Если сумма проекций сил приложенных к телу на какую-либо ось=0, то вдоль данной оси тело сохраняет свою скорость неизменной.

Сила инерции. 
Пропорциональна ускорению движения тела и противоположна этому ускорению. 
 
Принцип д'Аламбера 
Если к силам активным и реактивным, действующим на тело, добавить силу инерции, то их геометрическая сумма будет=0 
mã=∑Ḟ_k+∑ Ř 
0=∑Ḟ_k+∑ Ř 
∑Ḟ_k+∑ Ř+ Ḟ^и=0 – принцип д'Аламбера