Парадокс близнецов

Для того чтобы обнаружить движение Земли относительно неподвижного эфира, Майкельсон решил измерить время прохождения светового луча по горизонтальному направлению движения Земли и направлению, перпендикулярному к этому движению. Если существует эфир, то время прохождения светового луча по горизонтальному и перпендикулярному направлениям должно быть неодинаковым; но никакой разницы Майкельсон не обнаружил. Тогда для спасения гипотезы об эфире Лоренц предположил, что в горизонтальном направлении происходит сокращение тела в направлении движения.

Полностью отрицательный результат  опыта Майкельсона стал для Эйнштейна 18 лет позже решающим экспериментом для доказательства того, что никакого эфира как абсолютной системы отсчета не существует.

 

3. Преобразования Лоренца в подвижной и неподвижных системах.

В соответствии с двумя постулатами специальной теории относительности между координатами и временем в двух инерциальных системах К и К' существуют отношения, которые называются преобразованиями Лоренца.

Для вывода преобразований Лоренца  будем опираться лишь на “естественные” допущения о свойствах пространства и времени, содержавшиеся еще  в классической физике, опиравшейся  на общие представления, связанные  с классической механикой:

1. Изотропность пространства, т.е. все пространственные направления равноправны.

2. Однородность пространства и  времени, т.е. независимость свойств пространства и времени от выбора начальных точек отсчета (начала координат и начала отсчета времени).

3. Принцип относительности, т.е.  полная равноправность всех инерциальных  систем отсчета.

Различные системы отсчета по-разному  изображают одно и то же пространство и время как всеобщие формы  существования материи. Каждое из этих изображений обладает одинаковыми  свойствами. Следовательно, формулы  преобразования, выражающие связь между  координатами и временем в одной - “неподвижной” системе  с координатами и временем в другой - “движущейся” системе , не могут быть произвольными.

Наша задача в точной формулировке сводится к следующему. Каковы значения х', у', z',t' некоторого события относительно системы К', если заданы значения х, у, z, t того же события относительно системы К? Соотношения должны быть выбраны так, чтобы для одного и того же светового луча (причем для любого) относительно К и К' выполнялся закон распространения света в пустоте. Эта задача пространственного расположения систем координат решается следующими уравнениями:

z'=z

 
Эта система уравнений носит  название «преобразования Лоренца». [3²] Но если бы вместо закона распространения света мы молчаливо исходили из представлений старой механики об абсолютном характере времени и протяженности, то вместо этих уравнений преобразования мы получили бы уравнения

x'= x - vt,

y' = y,

z' = z,

t' = t.

Последнюю систему уравнений  часто называют «преобразованием Галилея». Преобразование Галилея выводится из преобразования Лоренца, если в последнем скорость света с положить равной бесконечно большому значению.

В классической механике пространство и время рассматриваются как  понятия независимые  друг от друга. Из преобразований Лоренца вытекает тесная связь между пространственными  и временными координатами: не только пространственные координаты зависят  от времени, но и время зависит  от пространственных координат, а также  от скорости движения системы отсчета.

Преобразования Лоренца и релятивистский закон сложения скоростей соответствуют  принципу инерции. Действительно, если тело движется равномерно и прямолинейно относительно одной инерциальной системы  отсчета , то оно будет двигаться прямолинейно и равномерно относительно любой другой инерциальной системы.

Таким образом, преобразования Лоренца  выражают общие свойства пространства и времени для любых физических процессов. Эти преобразования, как  это выяснилось в процессе доказательства, составляют непрерывную группу, называемую группой Лоренца. В этом факте, в  наиболее общем виде отображаются свойства пространства и времени, раскрытые  теорией относительности.

Изображение преобразований Лоренца на плоскости  Минковского.

Первыми наиболее поражающими следствиями  преобразований Лоренца являются: сокращение движущихся масштабов в направлении  движения и замедление хода движущихся часов. С точки зрения повседневных представлений о пространстве и времени эти следствия кажутся парадоксальными.

Исчерпывающее, но всегда кажущееся  несколько формальным, разъяснение  этих кинематических явлений дается на плоскости x, ct, если в соответствии с правилами четырехмерной геометрии Минковского изобразить на ней сетку координат "неподвижной" и сетку координат "движущейся" системы.

Преобразования Лоренца оставляют  инвариантным (неизменным) интервал между любыми двумя событиями, определяемый согласно (a), как в этом легко убедиться подстановкой в (l) в (b).

Совмещая первое событие с моментом t = 0 и началом отсчета системы  и вводя симметричные обозначения координат и времени интервал между вторым и первым событием можно написать в виде (o) Четырехмерная геометрия, определяемая инвариантностью интервала этого уравнения, качественно отличается от обычной евклидовой геометрии, определяемой инвариантностью расстояния, т.е. (m) или от простого четырехмерного обобщения геометрии, где инвариантом считается (n) В евклидовых геометриях, определяемых (m) или (n), квадрат "расстояния" всегда положителен, и, следовательно, "расстояние" является действительной величиной. Но в четырехмерной геометрии, определяемой интервалом (о), являющимся аналогом "расстояния", квадрат интервала может быть положителен, отрицателен или равным нулю. Соответственно, в этой псевдоевклидовой геометрии интервал может быть действительной или мнимой величиной. В частном случае он может быть равен нулю для несовпадающих событий.

Иногда кажется, что качественное различие между четырехмерной евклидовой геометрией и четырехмерной псевдоевклидовой геометрией стирается, если, воспользовавшись предложением Минковского, считать время пропорциональным некоторой мнимой четвертой координате, т.е. положить

В этом случае квадрат интервала  запишется как т.е. с точностью до знака совпадает с (n). Однако в силу мнимости это выражение, так же как и (o), может иметь различные знаки и, таким образом, качественно отличается от (n).

В силу инвариантности интервала качественное различие связи между событиями  не зависит от выбора системы отсчета, и действительный, или времениподобный, интервал ( ) остается действительным во всех системах отсчета, мнимый же, или пространственноподобный, интервал ( ) также остается мнимым во всех системах отсчета.

Все эти особенности псевдоевклидовой геометрии могут наглядно проиллюстрированы на плоскости Минковского .

Отрезками 0a и 0b на этой плоскости  изображены соответственно единичные  масштабы временной оси  и пространственной оси . Кривая, выходящая вправо из точки a, является гиперболой, описываемой уравнением а кривая, выходящая вверх из точки b, является гиперболой, описываемой уравнением

Таким образом, точка начала координат  и все точки, лежащие на гиперболе, выходящей из точки a, разделены единичным  времениподобным интервалом. Точки же, лежащие на гиперболе, выходящей из точки b, отделены от начала координат пространственноподобным интервалом.

Пунктирная линия, выходящая параллельно  оси  из точки a, изображает точки с координатами , а линия, выходящая из точки b параллельно оси , изображает точки с координатами .

На этой же плоскости нанесены линии  и , изображающие соответственно точки с координатами и , а также линии, проходящие через и

и соответственно изображающие точки с координатами

. Эти линии изображают координатную сетку системы .

Из рисунка видно, что переход  от системы S к системе соответствует переходу от прямоугольных координат к косоугольным на плоскости Минковского. Последнее следует также непосредственно из преобразований Лоренца, которые можно записать также в виде где или в виде (p) где и очевидно,

Но преобразования (p) тождественны преобразованиям перехода от декартовых координат к косоугольным. При этих преобразованиях времениподобные векторы, т.е. векторы, направленные из начала отсчета в точки, лежащие выше линии OO', в любой системе координат также останутся времениподобными, т.к. концы векторов лежат на гиперболах. Следовательно, и пространственноподобные векторы во всех системах координат останутся пространственноподобными.

На плоскости Минковского видно, что "пространственная" проекция единичного вектора на ось равна 1, а на ось равна , т.е. меньше 1.  Следовательно, масштаб, покоящийся в системе , при измерении из системы S оказался укороченным. Но это утверждение обратимо, ибо "пространственная" проекция вектора Ob на ось равна Ob, т.е. в системе меньше, чем , являющийся единичным вектором.

Аналогично дело обстоит и с "временными"  проекциями на оси  и Отрезок , изображающий в системе процесс, длящийся единицу времени, в системе S будет проектироваться как , т.е. как процесс, длящийся меньшее время, чем Oa=1. Следовательно, ход часов, покоящихся в системе , при измерении из системы S окажется замедленным. Легко проверить, что это явление также обратимо, т.е. ход часов, покоящихся в системеS, оказывается замедленным в системе .

 

4. Парадокс близнецов

Парадокс  близнецов окутан романтикой межзвездных  перелетов и туманом неверных толкований. Широкую известность  он получил благодаря формулировке Поля Ланжевена (1911 г.), которая в  популярном пересказе звучит следующим  образом:

Один  брат-близнец остаётся на Земле, а  второй отправляется в космические  странствия с околосветовой скоростью. С точки зрения домоседа, двигающийся относительно него путешественник имеет замедленный ход времени. Поэтому при возвращении он окажется моложе. Однако, с точки зрения космонавта двигалась Земля, поэтому моложе должен оказаться брат-домосед.

Слово "парадокс" имеет несколько  значений. Например, парадоксальны  многие выводы теории относительности, так как они противоречат привычным представлениям. В такой парадоксальности, конечно, нет ничего плохого. Любая новая теория "непривычна" и требует смены старых представлений. Однако, при описании истории с близнецами "парадокс" является синонимом "логического противоречия". Проведя рассуждение об одном и том же событии (встреча братьев) двумя различными способами, мы получаем разный результат. Конечно, в непротиворечивой теории подобного происходить не должно.

Парадоксу близнецов посвящена  обширнейшая литература. Общепринятое объяснение состоит в следующем. Для того, чтобы братья могли непосредственно сравнить свой возраст, одному из них (путешественнику) необходимо вернуться, а для этого испытать этапы ускоренного движения, перейдя в неинерциальную систему отсчета. Поэтому полной симметрии между братьями нет. Естественно, подобное снятие парадокса не объясняет, почему именно космонавт должен стать моложе. Кроме этого, сразу возникает следующее возражение: "если всё дело в ускорении, то этапы разгона и торможения можно сделать сколь угодно короткими (для каждого наблюдателя!) по сравнению с произвольно длинными и симметричными этапами равномерного движения".

На это отвечают, что  расчет, в рамках общей теории относительности, дает одинаковый для каждого брата  ответ. Конечно, гравитация к этому  расчету не имеет никакого отношения, и используемая при этом дифференциальная геометрия служит математическим аппаратом  описания неинерциальных систем отсчёта. Подобные расчёты абсолютно верны, однако физические причины произошедшего с братьями при этом часто оказываются скрытыми. Наш анализ мы начнем с замечания о том, что возвращаться брату-путешественнику, необязательно. Ему достаточно затормозить, перейдя в систему отсчета, связанную с Землёй. Находясь далеко, но оставаясь относительно друг друга неподвижными, братья без труда могут синхронизировать своё время и выяснить как разошлись их часы (физические и биологические). При желании можно, конечно, рассмотреть новый старт космического корабля и его возвращение на Землю. Однако ни каких новых эффектов при этом не произойдет, и все времена необходимо будет просто умножить на два. По большому счету, нет даже необходимости и в ускоренном старте с Земли. Можно рассмотреть одновременное рождение братьев в двух различных инерциальных системах отсчета, когда они пролетали друг мимо друга. Оставляя в стороне физиологические детали подобного рождения, подчеркнем, что, когда братья находятся в различных системах, но в одной пространственной точке, они легко могут согласовать начальный момент времени (факт их рождения). В результате относительности одновременности части двигающейся системы отсчета, расположенные по ходу её движения, "находятся в прошлом", а части против движения — в будущем. И чем дальше они от точки рождения братьев , тем сильнее эффект: