Проблемы современной кристаллографии

 

 

 

                        

0	1	2	3	4	5	6	0
1	2	3	4	5	6	0	1
2	3	4	5	6	0	1	2
3	4	5	6	0	1	2	3
4	5	6	0	1	2	3	4
5	6	0	1	2	3	4	5
6	0	1	2	3	4	5	6

0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	2	2	2	2	2
3	3	3	3	3	3	3	3
4	4	4	4	4	4	4	4
5	5	5	5	5	5	5	5
6	6	6	6	6	6	6	6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упаковочных пространств 7-го порядка ровно 8.

Оказывается, число плоских  упаковочных пространств порядка N равно сумме делителей числа N.

Критерий упаковки (полимино, поликуба)

Поставим задачу: существует ли для заданного полимино трансляционная упаковка с заданным коэффициентом  упаковки. Наложим дополнительные условия: пусть полимино в любом месте  одинаково ориентировано и можно получить из одного независимого полимино упаковку с помощью параллельных переносов из решётки трансляций.

Критерий упаковки: для того, чтобы существовала трансляционная упаковка полимино из p клеток с коэффициентом упаковки  необходимо и достаточно, чтобы в одном из упаковочных пространств n-го порядка в произвольно расположенном полимино, веса всех клеток были попарно различны.

                      p = 7 k = 1, т.е. упаковка будет являться и                                                                       

                       N = 7                                  разбиением.

 

Каждое упаковочное  пространство, в котором критерий выполняется, определяет вариант искомой  упаковки.

Проверим критерий упаковки для N = 7.

 

 

 

 

 

- трансляционная упаковка.

Разбиение плоскости  на полимино

 

 

 

 

 

 

 

 

Кодировка упаковок полимино в плоскости

Трансляционная упаковка традиционно описывается параметрами  решётки трансляций и координатами атомов в долях элементарной ячейки. МДМ позволяет предложить другой способ упаковок с использованием упаковочных пространств. Для каждой из N ячеек фундаментальной области упаковочного пространства определяется код – цифра от 0 до 3 по следующему правилу: если есть граница полимино сверху и слева, то цифра 3, если только сверху, то цифра 2, если только слева, то цифра 1, если не сверху, не слева, то 0. Правая и нижняя сторона не анализируются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученные N цифр вместе с упаковочным пространством определяют всю упаковку. Для того, чтобы определить код упаковки нужно:

1. выяснить какое упаковочное пространство задаёт упаковку;
2. восстановит веса упаковочного пространства;
3. найти коды N клеток фундаментальной области.

      Упаковочное    пространство            

         Код упаковки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгоритм нахождения упаковки с двумя трансляционно-независимыми полимино

1. Порядок упакованных пространств N определяется по формуле:

, где

- число клеток 1-го полимино;

- число клеток 2-го полимино;

- число пустых клеток.

2. Строятся все упаковочные пространства N-го порядка;
3. В каждом из упаковочных пространств:

а) сначала в произвольное место помещается первая фигурка и проверяется критерий упаковки;

б) если критерий выполняется, то во второй фигурке выделяется одна клетка и этой клеткой полимино помещается на все незанятые первым полимином веса. Каждый раз, проверяем критерий упаковки с учётом весов, занятых первым полимино.

Упаковочное пространство, в котором критерий упаковки выполняется  для обоих полимино, определит  искомую упаковку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модель послойного роста разбиений упаковок или  графов

   Процесс кристаллообразования  является одной из фундаментальных  задач кристаллографии. Кристаллы  образуются, как правило, либо  из расплава, либо из раствора, либо из газовой фазы. Модель  послойного роста основана, во-первых, на то, что в результате должна образоваться определённая кристаллическая структура, во-вторых, на предположении, что молекулы к зародышу присоединяются послойно, т.е. со всех сторон. Модель чисто геометрическая, в ней не учитывается модель взаимодействия частиц.

   В готовом разбиении  или упаковки пространства или  плоскости на некоторые замкнутые  области, например полимино или  поликубы, выделяется затравка –  одна или несколько замкнутых  областей. После этого к выбранной  затравке добавляются все фигуры, соседние с затравкой, например, многоугольники, имеющие с затравкой общую границу (участок границы). Повторяя этот процесс многократно получается фигура, которая с ограниченным радиусом совпадает с многогранником – многогранником послойного роста. В двумерном случае с многоугольником послойного роста.

   Модель послойного роста в периодических разбиения позволила сначала экспериментально, а затем и строго математически доказать, что в периодических упаковках разбиения всегда формируется многогранник роста, геометрия которого не зависит от выбора затравки, а зависит только от графососедства фигур разбиения упаковки и решётки трансляции.

 

Алгоритм построения многогранника послойного роста  разбиения упаковки или графа  в периодическом случае

 

1) Выбирается произвольна фигура и находятся векторы, соединяющие эту фигуру с трансляционно-эквивалентными фигурами в нескольких первых координационных окружениях;

 

2) Для каждого полученного вектора определяется его «длина» - минимальное число фигур, которые необходимо пройти, чтобы попасть в соответствующую фигуру из исходной.

3) Каждые вектор уменьшаем в число раз соответствующее его длине. В результате получаем векторы «звезды».

4) Аналогичную процедуру поделываем для других трансляционно-независимых фигур.

5) Многоугольник роста (многогранник роста) будет совпадать с наименьшим выпуклым многоугольником, описанным вокруг звезды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Использование послойного роста для выявления структурообразующих контактов кристаллической структуры

 

Разбиение или упаковка задаёт в пространстве граф связности  фигур разбиения. В первом приближении  связанными (соседними) можно счаитать фигуры (вершины графа), у которых  есть хотя бы одна общая грань (ребро в двумерном случае). Так как для кристаллических структур справедлив принцип плотной упаковки, разбиение или упаковку соответствующую кристаллической решётки можно получить двумя способами:

• аппроксимировать молекулы поликубами и тогда получим упаковку (или разбиение) поликубов;
• построение областей Вороного-Дирихле.