Простейшая форма движения – механическая

Лекция  №1.

  Простейшая  форма движения –  механическая.

  (Она  состоит в перемещении тел  или их частей друг относительно  друга.)

  Совокупность  тел – механическая система.

  Какие тела следует включить в систему, зависит от характера решаемой задачи. В частном случае система может состоять из одного единственного тела.

  Если  мы собираемся изучать движение какого-либо тела, то обязательно нужно указать  по отношению к каким другим телам  происходит данное движение.

  Движение  происходит как в пространстве, так  и во времени, потому что пространство и время исчисляемая форма существования материи, следовательно, для системы движения необходимо определить время. Время определяется при наличии часов, при этом под часами подразумевается любое устройство используемое для измерения промежутков времени между событиями и в силу однородности времени начало отсчета выбирается произвольно.

  Совокупность  неподвижных относительно друг друга  тел, относительно к которым рассматривается  движение и отсчитывающих время  часов, образуют систему отсчета.

  Движение  одного и того же тела относительно различных систем отсчета может  иметь различных характер.

  Типичная  задача механики заключается в том, чтобы, зная состояние системы в  начальное время t₀, а также законы управляющие движением, определить состояние системы во все последующие моменты времени.

  Отметим: ни одна физическая задача не может быть решена абсолютно точно, всегда получают ее приближенное решение. Степень приближения определяется характером задачи и целью, которую хотят достичь. При таком решении пренебрегают некоторыми факторами, которые в данном случае не существенны.

  Тело, размерами которого можно пренебречь – материальная точка.

  Вопрос  о том, можно ли данное конкретное тело рассматривать как материальную точку или нет, зависит не от размеров этого тела, а от условий задачи.

  Говоря  о каком-то теле как о материальной точке, мы абстрагируемся от его размеров.

  Вторая  абстракция, с которой приходится иметь дело в механике это абсолютно  твердое тело. Абсолютно твердое  тело – таких нет, но мы условно принимаем его за недеформируемое, т.е. по условию задачи деформацией можно пренебречь.

  Всякое  движение твердого тела можно разделить  на два основных вида:

    · поступательное;

    · вращательное.

Поступательное  движение – при нем любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат  на одной и той же прямой называемой осью вращения. Ось вращения может  находится и вне тела.

  Для того, чтобы описывать движение количественно приходится связывать его с телами, образующими систему отсчета, т.е. какую-либо систему координат. Тогда положение материальной точки можно определить, например, задать три числа x, y, z (координаты).

  Иметь дело с материальной точкой гораздо проще, чем с … телом; поэтому сначала рассмотрим механику материальной точки, а затем твердого тела.

  Материальная  точка при своем движении описывает  некоторую линию (траекторию). В зависимости  от формы траектории различают прямолинейное  движение, движение по окружности, криволинейное движение.

   Расстояние между точками 1 и 2 отсчитанное вдоль траектории называется путем, пройденным частицей (S).

  Прямолинейный отрезок 1–2 называется перемещением. При движении точки ее координаты и радиус-вектор изменяются с течением времени, поэтому для задания закона движения этой точки необходимо указать вид функциональных зависимостей от времени.

  Если  за сколь угодно малые промежутки времени частица проходит одинаковые пути, то это равномерное движение. В этом случае скорость (v), которой обладает частица в каждый момент времени, можно вычислить, разделив путь (S) на время (t).

  Разобьем  траекторию на бесконечно малые участки  длины DS.

   Каждому из участков сопоставим бесконечно малое приращение Dr. Пусть в момент времени t материальная точка M находится в положении, которое описывается радиус-вектором .

  Спустя  некоторое время Dt она переместится в M₁ с радиус-вектором r₁.

  

  Радиус-вектор материальной точки получит приращение:

  

  Разделив  это промежуток на соответствующий  промежуток времени Dt получим среднюю скорость.

  Отношение пройденного пути к промежутку времени  называется средней скоростью материальной точки за время Dt, или, точнее, за время между t и t + Dt.

  Если  брать все меньшие промежутки Dt, устремляя их к нулю, тогда соотношение DS на Dt в пределе даст значение скорости в момент времени t.

  Эта скорость называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки в момент времени t, и определяется выражением:

  Определение истинно и мгновенная скорость есть вектор направленный по касательной  к траектории движущейся точки, поэтому  в векторном виде она будет  иметь вид:

  Т.к. r = r(t) – это есть функция, то по определению производной

  Скорость  частицы (v) может изменятся со временем как по величине, так и по направлению. Быстрота изменения вектора v, как и быстрота изменения любой функции по времени, определяется производной вектора v по t. Обозначив эту производную через a, мы назовем ее ускорением материальной точки или частицы. Таким образом, по определению ускорения получаем:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Ускорением называется вектор равный первой производной вектора скорости или второй производной радиус-вектора по времени, т.е. можно записать:

  Заметим, что ускорение a играет по отношению к вектору v (скорости) такую же роль, какую вектор v играет к перемещению S или радиус-вектору r. Действительно,

   Из произвольной точки O₁ отложим вектор скорости движения точки во все возможные моменты времени.

  Конец вектора скорости называется скоростной точкой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Геометрическое место скоростных точек – это кривая, называемая годографом скорости.

  Ускорение a будет направлено по касательной к годографу. Когда материальная точка описывает траекторию, то соответствующая ей скоростная точка движется по годографу.

  В качестве примера найдем ускорение точки равномерно вращающейся по окружности радиуса r. Скорость v направлена по касательной к окружности радиуса r. Годографом служит окружность радиусом v с центром в точке O₁. Ускорение a направлено по касательной к годографу.

  Знак  «–» указывает на то, что ускорение  a и радиус-вектор r направлены противоположно, т.е. (смотри рисунок 1 выше).

  Ускорение a может быть представлено в виде:

нормали круговой траектории движения точки. Представим вектор скорости в виде:

касательной к окружности, указывающий направление  скорости, v – величина скорости, т.е. ее численное значение.

  При равномерном движении модуль скорости равен константе (v = const), меняется только направление вектора касательной. Тогда для такого случая:

  Сравниваем  с формулой ускорения через  n (1), получим:

  

  При dS = v×dt получим:

  

где r – радиус кривизны, – единичный вектор нормали кривой, 1/r называется кривизной кривой, т.е. кривизной называется величина обратная радиусу кривизны. В случае окружности r будет постоянным, следовательно 1/r тоже постоянна, т.е. в случае окружности кривизна постоянна на всей кривой.

  В общем случае произвольной гладкой кривой кривизна меняется от точки к точке. Непрерывно меняется и направление единичного вектора главной нормали .

  При равномерном движении ускорение  a направлено к центру, т.е. перпендикулярно траектории, но не так будет обстоять дело, когда скорость v ¹ const. Рассмотрим этот случай.

  

  Применяем подстановку, исходя из формул (1) и (2) получаем:

  

  Тангенсальное ускорение меняет скорость по величине, нормальное ускорение меняет скорость по направлениям.

   Действительно, если дана некая траектория, есть скорость v в начале и скорость v₁ во втором положении, перенесем параллельным переносом вектор v₁ в точку M₁, тогда мы видим, что вектор скорости получает приращение Dv.

  В результате, если уменьшать промежутки времени Dt к нулю, то оба соотношения

будут стремится к пределу