Розрахунок складного електричного кола постійного струму

І. Розрахунок складного електричного кола постійного струму

(теоретичні відомості)

Електричне коло - це сукупність пристроїв та об'єктів, що утворюють шлях для електричного струму, електромагнітні процеси в яких можуть бути описані за допомогою понять про електрорушійну силу, струм та напругу. Складне електричне коло - це розгалужене електричне коло, що має дві і більше активних гілок.

Розрахувати електричне коло - це означає за заданими параметрами джерел електричної енергії та опорів пасивних елементів визначити струми у всіх гілках електричного кола. За відомими струмами потім розраховуються напруги на окремих ділянках кола, потужності, що віддаються джерелами та споживаються приймачами.

Метод контурних струмів є одним з основних методів розрахунку лінійних кіл постійного струму. Метод оснований на застосуванні І та II законів Кірхгофа, він дозволяє скоротити число розв'язуваних рівнянь, що суттєво спрощує рішення поставленої задачі. Досягається це шляхом попереднього визначення проміжних умовних величин - контурних струмів.

Загальне число рівнянь повинно бути рівним числу невідомих струмів, тобто числу гілок електричного кола р. Кількість рівнянь, що складається за І-м законом Кірхгофа, повинна бути на одиницю меншою за кількість вузлів, бо тільки в цьому випадку вони будуть незалежні. Тобто, за І-м законом Кірхгофа складається q–1 рівнянь.

Кількість рівнянь за ІІ-м законом Кірхгофа визначається кількістю незалежних контурів або кількістю невідомих струмів (кількістю гілок схеми) мінус кількість уже складених рівнянь.

Для визначення контурних струмів достатньо рівнянь, складених по ІІ-му закону Кірхгофа. Для зручності складення цих рівнянь напрямок контурних струмів обирають єдиним для усіх контурів, які обходять в цьому напрямку.

Контурним струмом називається умовний розрахунковий струм, що протікає через усі елементи тільки даного контуру. Контурні струми позначаються на схемах вигнутими стрілками.

Незалежним контуром називається контур електричного кола, що відрізняється від інших контурів хоча б однією гілкою. Якщо при розрахунку виявиться, що струм має від'ємне значення, то це означає, що його дійсний напрям протилежний вибраному.

Перший закон Кірхгофа дійсний для будь-якого вузла електричного кола і формулюється наступним чином: «Алгебраїчна сума струмів у вузлі електричного кола дорівнює нулю»:

Струми, які течуть до вузла, вважаються додатними, а які витікають – від'ємними. Для електричного кола, яке має q вузлів, за першим законом Кірхгофа можна скласти (q–1) незалежних рівнянь.

Другий закон Кірхгофа дійсний для контуру електричного кола і формулюється наступним чином: «Алгебраїчна сума електрорушійних сил (ЕРС) в довільному контурі електричного кола дорівнює алгебраїчній сумі падінь напруг на пасивних елементах цього контуру»:

де m – число джерел ЕРС в даному контурі; n - число пасивних елементів у цьому контурі.

 

Для складання рівнянь за II законом Кірхгофа необхідно:

• обрати позитивні напрями струмів у гілках;
• довільно задатися напрямком обходу контуру;
• зі знаком «+» беремо ЕРС і спади напруг від тих струмів, напрямок яких співпадає з напрямком обходу контуру і навпаки.

 

На рис. А показано приклад двоконтурного електричного кола, в якому І11 та І22 – контурні струми. Струми І1 та І2 у опорах R1 та R2 дорівнюють відповідним контурним струмам: струм І3 у опорі R3, що є взаємним для обох контурів, дорівнює різниці контурних струмів І11 та І22, оскільки ці струми направлені у гілці R3 назустріч один одному. При цьому, якщо додатній напрямок невідомого (шуканого) струму в гілці R3 прийняти співпадаючим з напрямком контурного струму І11, то струм у гілці буде дорівнювати І11 – І22. В іншому випадку він буде дорівнювати І22 – І11.

Число рівнянь, що записуються по другому закону Кірхгофа, дорівнює числу незалежних контурів, тобто для електричної схеми з числом вузлів q і числом гілок р задача знаходження контурних струмів зводиться до рішення системи p–q+1 рівнянь. Так, в схемі на рис. А q=2, р=3; відповідно, число рівнянь дорівнює 3–2+1 (число незалежних контурів).

Суму опорів, що входять в контур, називають власним опором контура, а опір, що належить одночасно двом або декільком контурам, - взаємним опором цих контурів. Позитивні напрямки контурних струмів задаються довільно. Напрямок обходу кожного контура приймається зазвичай співпадаючим з обраним позитивним напрямком контурного струму; тому при складанні рівняння за другим законом Кірхгофа падіння напруги від данного контурного струму у власному опорі контура береться зі знаком «+». Падіння напруги від струму суміжного контура у взаємному опорі береться зі знаком «-», якщо контурні струми в цьому опорі направлені назустріч один одному, як, наприклад, в схемі на рис. А, де напрямок обох контурних струмів обрано по ходу годинникової стрілки.

Для даної електричної схеми (рис. А) з двома незалежними контурами можуть бути складені два рівняння по другому закону Кірхгофа:

де R1+R3 та R2+R3 – власні опори контурів 1 і 2; R3 – взаємний опір контурів 1 і 2 (знак «-» в рівняннях обумовлений вибором позитивних напрямків контурних струмів).

Якщо дана електрична схема містить n незалежних контурів, то на підставі другого закону Кірхгофа отримується система з n рівнянь:

 (*)

де Enn - контурна ЕРС в контурі n, тобто алгебраїчна сума ЕРС, що діють в даному контурі; ЕРС, які співпадають з напрямком обходу контура, беруться зі знаком «+», а спрямовані зустрічно - зі знаком «-»;

Rnn - власний опір контура n;  Rnk – взаємний опір контурів n і k.

Взаємні опори Rnn візьмуться зі знаком плюс, оскільки обхід контура приймається співпадаючим з позитивним напрямком контурного струму Inn. Взаємні опори Rnk візьмуться зі знаком мінус, коли струми In та Ik спрямовані в них зустрічно.

Рішення системи рівнянь (*) відносно шуканих контурних струмів може бути знайдено за допомогою визначників системи. Загальне рішення системи n рівнянь відносно струму Inn:

  (**)

де – визначник системи;

 – алгебраїчне доповнення, отримане із визначника шляхом викреслювання і стовпця і m строки та помноження отриманого визначника на (і+m-1).

 

Рекомендується наступний порядок розрахунку електричного кола постійного струму методом контурних струмів:

1. Довільно задати напрямок струмів у гілках.
2. Вибрати незалежні контури і задати напрямок в них контурних струмів, наприклад, за годинниковою стрілкою.
3. Визначити контурні ЕРС, власні і загальні опори контурів, обходячи контури у напрямку контурних струмів.
4. Скласти систему рівнянь. При складанні такої системи складові в лівій частині із власними опорами контурів беруться зі знаком «+», а із загальними опорами - з «-».
5. Розв'язати складену систему рівнянь одним із способів, відомих з алгебри.
6. По контурним струмам визначити дійсні струми у гілках, використовуючи співвідношення.

 

IІ. Баланс потужностей

При протіканні струму по елементах електричного кола має місце безповоротне перетворення енергії джерел на інші види енергії (теплову, механічну, світлову і т.д.). При цьому згідно закону збереження енергії, робота і потужність джерел електричної енергії будь-якого кола повинні дорівнювати роботі і потужності усіх споживачів цього кола.

У лівій частині рівняння балансу потужностей записується сума потужностей, що віддаються джерелами ЕРС. Права частина рівняння є сумою потужностей окремих приймачів. При підрахунку балансу потужностей у ряді випадків може виявитися, що потужність, яка віддається джерелом електричної енергії, від'ємна. Це матиме місце в тих випадках, коли ЕРС Е і струм І джерела направлені протилежно. В цьому випадку джерело працює в режимі споживача. Прикладом такого режиму роботи джерела може служити процес зарядки акумуляторних батарей.

У теорії електричних кіл баланс потужностей може використовуватися для перевірки правильності визначення струмів. Дійсно, рівняння балансу потужностей для електричного кола виконуватиметься тільки за умови точного розрахунку струмів у цьому ланцюзі.

 

Тому додатково для перевірки правильності розрахунку складемо рівняння балансу потужностей: «Алгебраїчна сума потужностей, що віддаються джерелами електричної енергії, дорівнює арифметичній сумі потужностей, що споживаються приймачами»

, або 

Добуток Ек Ік береться зі знаком «+», якщо напрямки ЕРС та струму в гілці співпадають, тобто джерело віддає енергію в коло. Добуток Ек Ік береться зі знаком «-», якщо напрямки ЕРС та струму в гілці протилежні, тобто джерело споживає енергію.