Тепловые машины

г. Затем пар снова поступает  в компрессор и цикл повторяется.

 

Двигатель Карно  и его КПД.

В начале ХIХ века процесс  преобразования теплоты в механическую работу подробно изучал французский  ученый Н.Л. Сади Карно (1796-1832). Он намеревался  определить способы повышения КПД  тепловых машин, однако исследования привели  к изучению основ термодинамики.

Как вспомогательное средство для своих исследований он на бумаге изобрел идеализированный тип двигателя, который теперь принято называть двигателем Карно.

В этом двигателе происходят обратимые процессы, т.е. протекающие  чрезвычайно медленно, так что  его можно рассматривать, как  последовательный переход от одного равновесного состояния к другому, причем этот процесс можно провести в обратном направлении без изменения  совершенной работы и переданного  количества теплоты. Например газ находящийся  в цилиндре с плотно прижатым к  стенке поршнем, который не имеет  трения, можно сжать изотермически, если сжатие производить очень медленно. Однако если в процессе участвуют  какие-либо еще факторы, например трение, то работа совершенная в обратном направлении не будет равна совершенной  при сжатии. Вполне естественно, что  обратимые процессы невозможны, поскольку  на их совершение потребуется бесконечно много времени. Но тем не менее  такие процессы можно моделировать со сколь угодной точностью. Все  реальные процессы необратимы, так  как могут присутствовать: трение, в газах - возмущения и многие другие факторы.

Двигатель Карно основан  на обратимом цикле, т.е. на последовательности обратимых процессов.

В двигателе Карно используется одноименный цикл (рис.8). В точке а начальное состояние системы. Сначала газ расширяется изотермически и обратимо по пути ab при заданной температуре T_H, например газ приходит в контакт с термостатом, имеющим очень большую теплоемкость. Затем газ расширяется адиабатически и обратимо по пути bc, при этом передача теплоты практически не происходит и температура газа падает до более низкого значения T_L.

На третьей стадии цикла  происходит изотермическое и обратимое  сжатие газа по пути cd, здесь газ  контактирует с холодным термостатом  при температуре Т_L. И наконец газ адиабатически и обратимо сжимается по пути da возвращаясь, таким образом, в исходное состояние.

Несложно показать, что  результирующая работа численно равна  площади ограниченной кривыми.

К ПД двигателя Карно определяется также как и любого другого двигателя:

 

Однако можно показать, что его КПД зависит лишь от Т_Н и Т_L.

В первом изотермическом процессе ab совершаемая газом работа равна:

W_ab=nRT_Hln(V_b/V_a)

, где n - число молей  идеального газа, используемого  в качестве рабочего тела. Поскольку  внутренняя энергия идеального  газа не меняется, когда температура  постоянна, сообщаемая газу теплота  полностью переходит в работу ( в соответствии с первым началом  термодинамики):

½Q_H½=nRT_Hln(V_b/V_a)

Аналогично запишется  теплота отдаваемая газом в процессе cd:

½Q_L½=nRT_Lln(V_C/V_d)

Поскольку bc и da адиабатические процессы, получаем:

P_bV_b=P_cV_c и P_dV_d=P_aV_a

В соответствии с уравнением состояния идеального газа получаем:

 

С помощью несложных математических преобразований этих выражений получаем математическое выражение отображающее суть цикла Карно:

½QL½/½QH½=TL/TH

(7)

Таким образом КПД двигателя  Карно можно записать в виде:

h=1-½QL½/½QH½=1- TL/TH

(8)

Карно сформулировал следующую  теорему (являющуюся ещё одной формулировкой  второго начала термодинамики):

Все обратимые  двигатели, работающие между двумя  термостатами, имеют один и тот  же КПД; ни один необратимый двигатель, работающий междц теми же термостатами, не может иметь более высокого КПД.

Эта теорема определяет максиммально возможный КПД для любого необратимого (реального) двигателя.

Р ассмотрим идеальный цикл используемый в двигателях внутреннего сгорания, так называемый цикл Отто (рис. 9).

В этом цикле сжатие и  расширение смеси происходит адиабатически, а нагревание и охлаждение осуществляется при постоянном объеме. На рисунке 9 дана диаграмма идеального цикла  быстрого сгорания: 1-2 – адиабата сжатия, 2-3 -нагревание смеси при V=const (сгорание смеси), 3-4 адиабата расширения, 4-1 –  охлаждение смеси при V=const (выхлоп).

КПД идеального двигателя  построенного на основе цикла Отто рассчитывается аналогично. Однако, в  реальных двигателях КПД всегда несколько  ниже, чем КПД идеального двигателя. Этому способствуют 5 основных причин:

1. В действительном цикле рабочее тело из меняет свой химический состав в течение процесса сгорания.
2. Процессы сжатия и расширения не идут адиабатически, а протекают, сопровождаясь теплообменом со стенками цилиндра. Явление теплообмена со стенками цилиндра имеет место также и в процессе сгорания.
3. Процесс сгорания не происходит при постоянном объеме, а начинается в точке 2’ (рис. 10) и кончается после точки 3. В процессе сгорания тепло получается не извне, а за счет изменения химического состава рабочего тела. Химическая реакция сгорания не успевает закончиться полностью на линии сгорания (2-3), а продолжается в течение процесса расширения вплоть до момента выхлопа.
4. П роцесс охлаждения рабочего тела в действительности заменяется выхлопом и выталкиванием отработанных газов и последующим засасыванием рабочей смеси (линия 4’-4-5-1).
5. Процесс всасывания заканчивается позднее точки 1 (в точке 1’) так, что от точки 4’ до 1’ в цилиндре находится не постоянное количество рабочего тела.

 

КПД тепловых двигателей и второе начало термодинамики.

КПД тепловой машины определяется следующей формулой:

 

h=W/½QH½

(5)

 

, где W - полезная работа  совершенная этой машиной, Q_H - теплота сообщенная этой машине (Q взято под знак модуля, в связи с тем, что тепловой поток может иметь разное направление).

По закону сохранения энергии  получаем соотношение:

½Q_H½=W+½Q_L½

, где ½Q_L½ - количество теплоты отводимой при низкой температуре.

Т аким образом, W=½Q_H½-½Q_L½, и КПД двигателя можно записать в виде:

 

Из этого соотношения  видно, что чем больше будет КПД  двигателя, тем меньше будет теплота½Q_L½. Однако опыт показал, что величину ½Q_L½ невозможно уменьшить до нуля. Если бы это было осуществимо, то мы получили бы двигатель с КПД 100%. То, что такой идеальный двигатель, непрерывно совершающий рабочие циклы, невозможен, составляет содержание ещё одной формулировки второго начала термодинамики:

Невозможен такой  процесс, единственным результатом, которого было бы преобразование отобранной у  источника теплоты Q, при неизменной температуре, полностью в работу W, так, что W=Q.

Эта утверждение известно как формулировка второго начала термодинамики Кельвина-Планка.

Существует также аналогичное  утверждение относительно холодильника, высказанное Клаузисом:

Невозможно осуществить  периодический процесс, единственным результатом, которого был бы отбор  теплоты у одной системы при  данной температуре и передача в  точности такого же количества теплоты  другой системе при более высокой  температуре.

 

Уравнение Ван-дер-Ваальса.

В реальных тепловых двигателях используются реальные газы. Как было замечено поведение их заметно отклоняется, например, при высоком давлении, от поведения идеального газа. Ян Д. Ван-дер-Ваальс (1837-1923) исследовал эту проблему с точки зрения МКТ и в 1873 году получил уравнение более точно описывающее поведение реальных газов. Свой анализ он основывал на МКТ, но при этом учитывал:

1. Все молекулы имеют конечные размеры (классическая МКТ ими пренебрегает)
2. Молекулы взаимодействуют друг с другом всё время, а не только во время столкновений.

Предположим, что молекулы газа представляют собой шарики с  радиусом r. Если считать, что такие  молекулы ведут себя подобно твердым  сферам, то две молекулы будут сталкиваться и разлетаться в разные стороны  при расстоянии между центрами равным 2r. Таким образом, реальный объем, в  котором могут двигаться молекулы несколько меньше, чем объем V сосуда содержащего газ. Величина этого "недоступного объема" зависит от объема молекул  газа и от количества этих молекул. Пусть b представляет собой "недоступный  объем" в расчете на один моль газа. Тогда в уравнении состояния  идеального газа нужно заменить V на V-nb, где n - число молей газа, и мы получим:

P(V-nb)=nRT

Если разделить это  выражение на n и считать, что величина v==V/n является объемом, который занят  одним молем газа (v - удельный объем), то получим:

P(v-b)=RT

(9)

 

Это соотношение показывает, что при данной температуре давление

P=RT/(v-b)

будет больше, чем в идеальном  газе. Это происходит потому, что  уменьшение объема означает, что число  столкновений со стенками возрастает.

Следует учесть гравитационное взаимодействие между молекулами, равное:

F~m₁m₂

, где m₁ и m₂ - массы молекул.

Внутри газа силы притяжения действуют на молекулу во всех направлениях. Однако на молекулу, находящуюся на краю газа действует результирующая сила, направленная внутрь. Молекулы, которые  направляются к стенке сосуда, замедляются  этой направленной результирующей силой  и, таким образом, действуют на стенку с меньшей силой; следовательно, эти молекулы создают меньшее  давление, чем в том случае, когда  силы притяжения отсутствуют. Уменьшенное  давление будет пропорционально  числу молекул, приходящихся на единицу  объема в поверхностном слое газа, а также числу молекул в  следующем слое газа, создающим направленную внутрь силу. Поэтому можно ожидать, что давление уменьшится на величину пропорциональную (N/V)². Поскольку N=nN_A можно записать (N/V)²=( nN_A/V)²= N_A²/v²; следовательно, давление уменьшится на величину пропорциональную 1/v². Если для определения давления используется выражение (9), то получаемое давление нужно уменьшить на величину a/v², где a - коэффициент пропорциональности.

Т аким образом, мы имеем:

 

И

a

v²

 

a

ли 

(P + )(v - b) = RT

 

Это и есть уравнение Ван-дер-Ваальса. Где a и b - для разных газов различны и определяются путем подгонки для  каждого конкретного газа. Следует  заметить, что при низкой плотности  газа уравнение Ван-дер-Ваальса сводится к уравнению состояния идеального газа.

Однако ни ураневние Ван-дер-Ваальса, ни какое другое уравнение состояния, которое было предложено, не выполняются  точно для всех газов при любых  условиях. Но тем не менее это  уравнение очень полезно, и, поскольку  оно достаточно точно определяет поведение газа, его вывод позволяет  глубже проникнуть в природу газов  на микроскопическом уровне.

 

Список литературы:

1. Д. Джаконли "ФИЗИКА", I том, Москва "МИР", 1989 г.

Douglas C. Gianconli, "General Physics", Prentice-Hall, Inc., 1984

2. Дж. Орир "Популярная Физика", Москва " МИР", 1969 г.

Jay Orear, "Fundamental Physics", John Willey-New York, 1967

3. Кл. Э. Суарц "Необыкновенная физика обыкновенных явлений", I том, Москва "НАУКА, главная редакция физико-математической литературы, 1986 г.

Clifford E. Swartz, " Phenomenal Physics", the State University of New York at Stony Brook, 1981