Электрические цепи постоянного тока и методы их расчета

Напряжения  в электрической цепи с параллельно  соединенными сопротивлениями (рис. 1.6)

U = IR_экв = I₁R₁ = I₂R₂ = I₃R₃.

Отсюда  следует, что

,

т.е. ток в цепи распределяется между параллельными ветвями  обратно пропорционально их сопротивлениям.

По  параллельно включенной схеме работают в номинальном режиме потребители  любой мощности, рассчитанные на одно и то же напряжение. Причем включение или отключение одного или нескольких потребителей не отражается на работе остальных. Поэтому эта схема является основной схемой подключения потребителей к источнику электрической энергии.

Электрическая цепь со смешанным соединением элементов

Смешанным называется такое соединение, при котором в цепи имеются группы параллельно и последовательно включенных сопротивлений.

Рис. 1.7

Для цепи, представленной на рис. 1.7, расчет эквивалентного сопротивления начинается с конца схемы. Для упрощения расчетов примем, что все сопротивления в этой схеме являются одинаковыми: R₁=R₂=R₃=R₄=R₅=R. Сопротивления R₄ и R₅ включены параллельно, тогда сопротивление участка цепи cd равно:

.

В этом случае исходную схему (рис. 1.7) можно представить в следующем виде (рис. 1.8):

Рис. 1.8

На  схеме (рис. 1.8) сопротивление R₃ и R_cd соединены последовательно, и тогда сопротивление участка цепи ad равно:

.

Тогда схему (рис. 1.8) можно представить в сокращенном варианте (рис. 1.9):

Рис. 1.9

На  схеме (рис. 1.9) сопротивление R₂ и R_ad соединены параллельно, тогда сопротивление участка цепи аb равно

.

Схему (рис. 1.9) можно представить в упрощенном варианте (рис. 1.10), где сопротивления R₁ и R_abвключены последовательно.

Тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы (рис. 1.7) будет равно:

.

Рис. 1.10

Рис. 1.11

В результате преобразований исходная схема (рис. 1.7) представлена в виде схемы (рис. 1.11) с одним сопротивлением R_экв. Расчет токов и напряжений для всех элементов схемы можно произвести по законам Ома и Кирхгофа.

Соединение элементов  электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник»

В электротехнических и электронных  устройствах элементы цепи соединяются  по мостовой схеме (рис. 1.12). Сопротивления R₁₂, R₁₃, R₂₄, R₃₄ включены в плечи моста, в диагональ 1–4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3–4 называется измерительной диагональю моста.

Рис. 1.12

Рис. 1.13

В мостовой схеме сопротивления R₁₃, R₁₂, R₂₃ и R₂₄, R₃₄, R₂₃ соединены по схеме «треугольник». Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника R₂₄ R₃₄ R₂₃ звездой R₂ R₃ R₄ (рис. 1.13). Такая замена будет эквивалентной, если она не вызовет изменения токов всех остальных элементов цепи. Для этого величины сопротивлений звезды должны рассчитываться по следующим соотношениям:

(1.8)

;  ;  .

Для замены схемы «звезда» эквивалентным  треугольником необходимо рассчитать сопротивления треугольника:

(1.9)

;  ;  .

После проведенных преобразований (рис. 1.13) можно определить величину эквивалентного сопротивления мостовой схемы (рис. 1.12)

.

1.5. Источник  ЭДС и источник тока в электрических  цепях

При расчете и анализе электрических цепей реальный источник электрической энергии с конечным значением величины внутреннего сопротивления r₀ заменяют расчетным эквивалентным источником ЭДС или источником тока.

 
Рис. 1.14

Источник  ЭДС (рис. 1.14) имеет внутреннее сопротивление r₀, равное внутреннему сопротивлению реального источника. Стрелка в кружке указывает направление возрастания потенциала внутри источника ЭДС.

Для данной цепи запишем соотношение по второму закону Кирхгофа

(1.10)

E = U + Ir₀ или E = U - Ir₀.

Эта зависимость напряжения U на зажимах  реального источника от тока I определяется его вольт-амперной или внешней  характеристикой (рис. 1.15). Уменьшение напряжения источника U при увеличении тока нагрузки I объясняется падением напряжения   на его внутреннем сопротивлении r₀.

Рис. 1.15	Рис. 1.16

У идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление r₀ << R_н (приближенно r₀»0). В этом случае его вольт-амперная характеристика представляет собой прямую линию (рис. 1.16), следовательно, напряжение U на его зажимах постоянно (U=E) и не зависит от величины сопротивления нагрузки R_н.

 
Рис. 1.17

Источник  тока, заменяющий реальный источник электрической  энергии, характеризуется неизменным по величине током I_к, равным току короткого замыкания источника ЭДС  , и внутренним сопротивление r₀, включенным параллельно (рис. 1.17).

Стрелка в кружке указывает положительное направление тока источника. Для данной цепи запишем соотношение по первому закону Кирхгофа

I_к = I₀ + I; 

.

В этом случае вольт-амперная (внешняя) характеристика I(U) источника тока определится соотношением

(1.11)

I = I_к - I₀ = I_к - U/r₀

и представлена на рис. 1.18.

Рис. 1.18	Рис. 1.19

Уменьшение  тока нагрузки I при увеличении напряжения U на зажимах ab источника тока, объясняется увеличением тока Iо, замыкающегося в цепи источника тока.

В идеальном  источнике тока r₀>>R_н. В этом случае можно считать, что при изменении сопротивления нагрузки R_н потребителя Iо»0, а I»I_к. Тогда из выражения (1.11) следует, что вольт-амперная характеристика I(U) идеального источника тока представляет прямую линию, проведенную параллельно оси абсцисс на уровне I = I_к = E/r₀ (рис. 1.19).

При сравнении  внешних характеристик источника ЭДС (рис. 1.15) и источника тока (рис. 1.18) следует, что они одинаково реагируют на изменение величины сопротивления нагрузки. Покажем, что в обоих случаях ток I в нагрузке определяется одинаковым соотношением.

Ток в нагрузке R_н для схем источника ЭДС (рис. 1.14) и источника тока (рис. 1.17) одинаков и равен  .

Для схемы (рис. 1.14) это следует из закона Ома, т.к. при последователь-ном соединении сопротивления r₀и R_н складываются. В схеме (рис. 1.17) ток   распределяется обратно пропорционально сопротивлениям r₀и R_н двух параллельных ветвей. Ток в нагрузке R_н

,

т.е. совпадает по величине с током при подключении нагрузки к источнику ЭДС. Следовательно, схема источника тока (рис. 1.17) эквивалентна схеме источника ЭДС (рис. 1.14) в отношении энергии, выделяющейся в сопротивлении нагрузки R_н, но не эквивалентна ей в отношении энергии, выделяющейся во внутреннем сопротивлении источника питания.

Каким из двух эквивалентных источников питания  пользоваться, не играет существенной роли. Однако на практике, особенно при расчете электротехнических устройств, чаще используется в качестве источника питания источник ЭДС с внутренним сопротивлением r₀ и величиной электродвижущей силы Е.

В тех случаях, когда номинальное напряжение или  номинальный ток и мощность источника электрической энергии оказываются недостаточными для питания потребителей, вместо одного используют несколько источников. Существуют два основных способа соединения источников питания: последовательное и параллельное.

Последовательное  включение источников питания (источников ЭДС) применяется тогда, когда требуется создать напряжение требуемой величины, а рабочий ток в цепи меньше или равен номинальному току одного источника ЭДС (рис. 1.20).

Рис. 1.20

Для этой цепи на основании второго закона Кирхгофа можно записать

E₁ + E₂ + E₃ = I(r₀₁ + r₀₂ + r₀₃ + R_н),

откуда

.

Таким образом, электрическая цепь на рис. 1.20 может быть заменена цепью с эквивалентным источником питания (рис. 1.21), имеющим ЭДС E_э и внутреннее сопротивление rэ.

Рис. 1.21

Рис. 1.22

При параллельном соединении источников (рис. 1.22) соединяются между собой положительные выводы всех источников, а также их отрицательные выводы. Характерным для параллельного соединения является одно и то же напряжение U на выводах всех источников. Для электрической цепи на рис. 1.22 можно записать следующие уравнения:

I = I₁ + I₂ + I₃; P = P₁ + P₂ + P₃ = UI₁ + UI₂ + UI₃ = UI.

Как видно, при параллельном соединении источников ток и мощность внешней  цепи равны соответственно сумме  токов и мощностей источников. Параллельное соединение источников применяется  в первую очередь тогда, когда номинальные ток и мощность одного источника недостаточны для питания потребителей. На параллельную работу включают обычно источники с одинаковыми ЭДС, мощностями и внутренними сопротивлениями.

1.6. Режимы работы  электрической цепи

При подключении к источнику питания различного количества потребителей или изменения их параметров будут изменяться величины напряжений, токов и мощностей в электрической цепи, от значений которых зависит режим работы цепи и ее элементов.

Реальная  электрическая цепь может быть представлена в виде активного и пассивного двухполюсников (рис. 1.23).

Рис. 1.23

Двухполюсником  называют цепь, которая соединяется  с внешней относительно нее частью цепи через два вывода а и b – полюса.

Активный  двухполюсник содержит источники электрической  энергии, а пассивный двухполюсник их не содержит. Для расчета цепей  с двухполюсниками реальные активные и пассивные элементы цепи представляются схемами замещения. Схема замещения пассивного двухполюсника П представляется в виде его входного сопротивления

.

Схема замещения активного двухполюсника  А представляется эквивалентным источником с ЭДС E_э и внутренним сопротивлением r_0э, нагрузкой для которого является входное сопротивление пассивного двухполюсника R_вх = R_н.

Режим работы электрической цепи (рис. 1.23) определяется изменениями параметров пассивного двухполюсника, в общем случае величиной сопротивления нагрузки R_н. При анализе электрической цепи рассматривают следующие режимы работы: холостого хода, номинальный, короткого замыкания и согласованный.

Работа  активного двухполюсника под  нагрузкой R_н определяется его вольт-амперной (внешней) характеристикой, уравнение которой (1.10) для данной цепи запишется в виде

(1.12)

U = E_э - Ir_0э.

Эта вольт-амперная характеристика строится по двум точкам 1 и 2 (рис. 1.24), соответствующим режимам холостого хода и короткого замыкания.

1. Режим холостого  хода

В этом режиме с помощью ключа SA нагрузка R_н отключается от источника питания (рис. 1.23). В этом случае ток в нагрузке становится равным нулю, и как следует из соотношения (1.12) напряжение на зажимах ab становится равным ЭДС E_э и называется напряжением холостого хода U_хх

U = U_хх = E_э.

Рис. 1.24

2. Режим короткого  замыкания

В этом режиме ключ SA в схеме электрической  цепи (рис. 1.23) замкнут, а сопротивление R_н=0. В этом случае напряжение U на зажимах аb становится равным нулю, т.к. U = IR_н, а уравнение (1.12) вольт-амперной характеристики можно записать в виде

(1.13)

.

Значение  тока короткого замыкания I_к.з соответствует т.2 на вольт-амперной характеристике (рис. 1.24).

Анализ  этих двух режимов показывает, что  при расчете электрических цепей  параметры активного двухполюсника E_э и r_0э могут быть определены по результатам режимов холостого хода и короткого замыкания:

(1.14)

E_э = U_хх; 

.

При изменении тока в пределах   активной двухполюсник (эквивалентный источник) отдает энергию во внешнюю цепь (участок I вольт-амперной характеристики на рис. 1.24). При токе I<0 (участок II) источник получает энергию из внешней цепи, т.е. работает в режиме потребителя электрической энергии. Это произойдет, если к зажимам аb двухполюсника присоединена внешняя цепь с источниками питания. При напряжении U<0 (участок III) резисторы активного двухполюсника потребляют энергию источников из внешней цепи и самого активного двухполюсника.